СОЦИАЛЬНАЯ ФИЗИКА

К разделам сайта:          Домой        Примеры       Теория индексов      Банки      Физика

   к основам матричной квантовой  экономики      

К НАЧАЛАМ ВОЛНОВОЙ ЭКОНОМИКИ.

В экономической практике любое явление A (в дальнейшем его будем именовать "объект") условно относят к одному из трёх уровней: мега-, макро- и микро-, но для сравнения на любом уровне необходимо иметь объект B, принадлежащий тому же уровню. В оценках наблюдения состояние объекта B играет роль эталона, т.е. содержащаяся в нём информация используется для описания аналогичной информации в объекте A и преподносится в виде определённого бинарного отношения упорядоченной парой  a = AaB = (A, B) множества G = A´B. В  соответствии k = (A, B, g) предполагается, что g – график бинарных соответствий α, составляющими которого являются элементы множеств A и B, и (B, A) = - a Î k^-1 = (B, A, -g).

В качестве математического критерия оценки соответствия в статистических методах анализа наблюдений, как правило, строится  положительно определённый симметричный функционал μ(k) = μ(g) >= 0 (μ(k^-1) = μ(-g) = μ(g)) [1]. Из рефлексивности отношения следует существование оценок μ(A, A) = D(A) и μ(B, B) = D(B) и, если положить D(A) ≠ μ(A, B) и D(B) ≠ μ(B, A) = μ(A, B), то прходим к неравенству

 s²(a) ≠ μ² (a),         s²(a) = D(A)D(B).

Добавляя к правой части последнего неравенства функционал Г(a) = ν²(a), получаем метрическое тождество

                                                   s²(a) = μ² (a) + (ν(a)/h^)2.                                                  (1)

которое устанавливает связь между римановым пространством с дистанционной функцией μ(a) и симплектическим пространством, построенным на этом римановом пространстве, с дистанционной функцией ν(a). Здесь метрические функции разных метрических пространств связываются метрическим коэффициентом h.

Не нарушая общности, можно полагать, что μ(a) даёт вероятностную оценку сходства объектов со свойствоми множнств A и B такую, что при полном совпадении их свойств A = B имеем μ(a) = 1, а при несовместимости A∩B = ∅ μ(a) = 0, и удовлетворяет неравенствам 0 <= μ(a) <= 1. Тогда функционал ν(a) даёт оценку расхождения объектов, является антисимметричным, ν(- a) = - ν(a) и удовлетворяет неравенствам -1 <= ν(a) <= +1;  при полном сходстве A и B ν(a) = 0, а в случае несоизмеримости  |ν(a)| = 1. Более того, можно полагать, что не только состояния сравниваемых объектов зависят от времени t, но и каждый входящий в тождество (1) функционал  от времени  зависит явно.

Как функционал сходства μ(a), так и функционалы расхождения ν(a) и Г(a), при их применении по отдельности, не описывают  полную картину поведения объекта. Поэтому построим измерительную функцию y = y(a, t) такую, чтобы она содержала одновременно оба функционала. Эту функцию определим равенством y*y = ‹y|y› =  s²(a) и в силу (1) возьмём её  в виде

          y = |y› =  y(a, t) = μ(a, t) – i ν(a, t)/h = λ(a, t)exp(-iq(a, t)/ h) = λexp(- iq/ h).              (2)

Из (1) функции (2) получаем двойственную измерительную функцию

          y* = ‹y| =  y*(a, t) = μ(a, t) + i ν(a, t)/h = λ(a, t)exp(iq(a, t)/ h) = λexp(iq/ h),           (3)

которая с функцией (2) комплексно сопряжена и такая, что y*(a, t) = y(- a, t). Обе эти функции характеризуются двумя величинами:  амплитудой λ = (μ² + (ν/h)²)^1/2 и величиной q = h arctg(ν/hμ). Последняя величина определяет качественное расхождение явлений из A и B и отражает их внутренние структурные различия [2].  Множитель h определяется как масштабный коэффициент метрической связности риманова и симплектического пространств.

Метрическая функция (2) выстраивает оценки состояния одного объекта A по отношению состояния другого объекта B. Эти состояния могут быть фиксированы во времени. Они могут описывать состояния одного и того же объекта в разные моменты времени, т.е. быть различными точками на траектории его эволюции. Любая из точек A и B на такой траектории может быть эталоном при оценке промежуточного состояния M объекта на данной траектории, как, например, при оценках индексами Ласпейреса и Пааше [3]. Объект B можно полагать подвижной или неподвижной целью [4], в том числе, например, и в задачах целевого планирования и управления. В задачах управления объекты A и B могут отражать состояния выпуска продукции и расхода ресурсов В таком случае под структурой производственного процесса  понимается характеристика преобразования ресурсов в продукцию. В последнем случае измерительная функция (2) будет описывать, так называемую, модель объекта с переменной структурой [5].

Дифференцируя измерительную функцию (2) по временному фактору, приходим, к так называемому, волновому уравнению [6]

                                               ih∂_ty = Hy,   H = ∂_tq + ih∂_t(ln λ).                                         (4)

Для сопряжённой метрической функции получаем уравнение 

                                                         ih∂_ty* = -Hy*.                                                             (5)

Коэффициент H в правой части этих равенств  играет роль линейного оператора и называется гамильтонианом. К данному уравнению приводят многие задачи в прикладных науках – физики, психологии, социологии. В монографии [7] рассмотрено множество частных случаев этого уравнения с их решениями, ряд из которых, несомненно, применим и в экономической практике. 

Предположим, что частота w = ∂_tq/h  структурных изменений значительно меньше относительной скорости изменения амплитуды λ: w << ∂ ln λ/∂t. Тогда y ≈ λ и в качестве измерительной функции можно с достаточной точностью использовать критерии, построенные на основе различного рода средних, формул евклидова расстояния, расстояния Махаланобиса, различного рода производственных функций, позиномов [10], рядов экспонент [11] и т.п. Это опирается на тот факт, что измерительная функция в этом случае легко интерполирует через настоящее результаты измерений перемещения объекта из прошлого в будущее, т.е. определяет окрестность в точке "настоящего" так, что кривая в этой точке гладкая. В таком случае будем говорить, что имеет место классический экономический анализ.

Совершенно иначе обстоит дело при противоположной ассимптотике, когда справедливо неравенство w >> ∂_t(ln λ). Здесь процесс эволюции носит  существенно "волновой" характер и "настоящее" является лишь предельной точкой из "прошлого" и это "прошлое" весьма туманно определяет "будущее". Математически это означает, что измерительная функция y в текущей точке M кривой эволюции не имеет производной в обычном смысле, а любая величина, принятая для описания эволюции объекта, определяется как среднее значение оператора Q, полученного на основе наблюдений этой переменной

                                                   q = <y|Q|y>/<y|y>.                                                                 (6)

В силу нормировки измерительных функций можно полагать, что <y|y> = 1, а из условия действительной величины средней вытекает самосопряжённость оператора Q.

Выражение (4) остаётся справедливым как для дискретного случая, так и случая непрерывного. Полагая измерительные функции нормированными и рассматривая оператор в качестве отображения Q: y(U,t) -> y*(V,t) области U, измерительной функцией на которой является y, в область V с измерительной функцией y*, т.е. как соответствие Q = (y(U, T), y*(V, T), y(U, T)´y*(V, T)), величину (5) можно записать в интегральной форме в виде определённого интеграла по области W = U´V

                                                                                 q(t) = ‹y|Q|y› = ò_W y*(y,t)Q(x,y,t)y(x,t)dxdy.                                   (7)

Здесь ядро интеграла Q(x,y,t) зависит от рода и результата измерений в конфигурационном пространстве W = U´V. Его можно интерпретировать как оператор - проектор наблюдаемого явления M в пространстве U с измерительной функцией y в пространство V эталона A (или B), измерительной функцией в котором является сопряжённая функция y*.

Естественно, интерполирование динамики рассматриваемой характеристики объекта вести с опорой на построенную оценку среднего (7), а среднюю величину производной функции q(t) определить как производную средней

d_xq(t) = ‹y|d_xQ|y›,

где производная оператора определена выражением

                                                         d_xQ = ∂_xQ + [H, Q].                                                   (8)

Выражение

                                                    [H, Q] = i/h (HQ – QH)                                                 (9)

является скобкой Пуассона. Если оператор явно не зависит от времени, то (8) сводится к выражению (9).

Объекты, операторы Q которых явно не зависят от времени и коммутативны с гамильтонианом, называются сохраняющимися. Для таких объектов d_xq = 0, т.е. среднее значение величин остаётся постоянным во времени, Q = const на временном горизонте наблюдения T.

Рассмотрим случай, когда гамильтониан явно не зависит от времени, и введём обозначение H = hw(a).  В этом случае (4) уравнение принимает вид

∂_xy = -iwy

и для метрической функции получаем выражение y = f(a)exp(-iw(a)t). Как отмечено выше, при медленно меняющейся относительной величине амплитуды метрической функции, величина w(a) совпадает со скоростью качественных изменений в эволюции объекта.

Видим, что эволюция объекта на данном переходном отрезке из состояния A в состояние M носит, как бы, волновой характер и можно ввести волновые параметры процесса эволюции объекта такие, как угловую частоту n(a) = 2pw(a), длину волны l = c/w, где с = с(a) - скорость распространения волны, модуль  k = 2p/l = 2pn/c = w/c   волнового вектора k, задающего направление распространения волны; поскольку это связано с перемещением некоторой формы материи, то  можно ввести количество движения p = hk, необходимое для перехода объекта из состояния A  в состояние M, и, пусть гипотетическую, энергию E = hw(a), связанную с этим перемещением [8]. 

Для сохраняющегося процесса в промежутке T, если положить H = E = const, уравнение (4) принимает вид

ih ∂_ty = Ey.

Его решением будет функция

                                               y = f(a)exp(- iwt),     w = hE =const.                                  (10)                                                       

В таком случае будем говорить, что на интервале T объект находится в стационарном состоянии. Отметим, что в стационарном состоянии величина E фиксирована.

Разобьём временной интервал T = [t_0, t_n] на n достаточно малых интервалов T₁, T₂, …, T_n точками t₁, t₂, …,t_n-1 и будем полагать, что на каждом таком интервале T_j, j = {1, 2, …, n}, объект находиться в стационарном состоянии с фиксированной величиной E_j. Для каждого уровня E_j  получаем своё метрическое уравнение

ih ∂_ty_j = E_jy_j

и свою метрическую функцию

                                    y_j(a_j,t) = f_j(a_j)exp(- iw_jt_j),     t_j Î T_j.                                  (11)

Операция разбиения временного интервала T равносильна разбиению интервала переходного процесса из состояния A в состояние M. Если ввести обозначения M₀ = A и M_n = M и каждой точке  t_j на интервале (A, M) поставить точку M_j, то можно полагать, что на интервале (M_j-1, M_j), в силу его малости, объект находится в стационарном состоянии, которому отвечает значение метрической функции (11).

Для записи выражения метрической функции y на интервале T воспользуемся принципом наложения – принципом суперпозиции состояний, и представим выражение для метрической функции в виде линейной комбинации метрических функций (11)

y = y(a,t) = a^jy_j = å_jÎN a^jf_j(a_j)exp(- iw_jt).

Все коэффициенты a_j этой линейной комбинации неотрицательные и их сумма равна единице. При t принадлежащим T_j a^j = 1, все остальные коэффициенты обращаются в нуль, и метрическая функция y совпадает со значением метрической функции  y_j в промежутке T_j, т.е. перемещение квантуется. 

Пусть точка M принадлежит интервалу (A, B) кривой динамики объекта. Перейдём к пределу при M -> B. Если предположить, что точка B отражает настоящее время в эволюции объекта, то это настоящее будет обладать волновым свойством, которое  является суперпозицией множества элементарных процессов y_j: 

y = a^jy_j[1]

 где каждый коэффициент a^j отвечает доле участия соответствующей составляющей в формировании "волны" в точке B, волны, возникающей в текущий момент времени t_j.

Из предыдущего следует, что в той или иной мере волновое описание динамики присуще большинству экономических явлений. Ярким примером служат рыночные показатели фондовых и валютных бирж. Для игроков этих бирж хорошо известны общие положения, например, волновой теории Эллиотта [13]. График изменения одного из биржевых индексов приведён на рис. 1.

Рис.1. График изменения отношения американского доллара к японской

иене на валютной  бирже Forex. 

Из графика хорошо виден волновой характер изменений. Есть волны сравнительно длинные, а есть короткие. Эти волны как бы накладываются друг на друга и на длинных волнах появляется "рябь". Каждая такая волна порождается очередным энергетическим действием – биржевым слухом, политическими, экономическими и социальными новостями. Например,

02:54 18/03  DJ: ГОВОРЯТ НА РЫНКЕ: Резервный банк Австралии взял "длительную паузу" в своей денежно-кредитной политике – Lehman

Ясно, что в описании  явления количество |N| элементарных волновых процессов в формировании основной метрической функции y может быть неограниченным. Однако при моделировании экономических процессов это число ограничено и соответствует количеству собственных значений гамильтониана  H, т.е. определяется решением задачи Hy = Ey на собственные значения, а в экономических задачах гамильтониан представляется конечной матрицей наблюдений. Число n = |N| отвечает числу координатных осей, полученных, например, методами многомерного шкалирования [9].

 В соответствии с принципом суперпозиции измерительная функция в любой точке M области W представляет линейную комбинацию элементарных измерительных функций – собственных функций оператора Гамильтона, вычисленного в этой точке.

Запишем значение для сопряжённой измерительной функции в виде

<y| = (a^jy_j)* = y_j*(a^j)* = a_jy^j

и рассмотрим соотношение нормировки 

1 = <y|y> = a_ja^k<y_j|y_k>.   

Из условия ортогональности собственных метрических функций

<y_j|y_k> = d_jk

имеем

a_ja^k = å|a^j|² = åp^j,

где p^j = |a^j|²  определяет вероятность обнаружения элементарного волнового процесса y_j. Отсюда находим, что коэффициенты измерительных функций y = |y> и y* = <y| определяются по формулам

a^k = <y_k|y>,    a_k = <y|y_k>.

Предположим, что в области W = U´V наблюдается объект Q и оценка появления объекта определяется усреднением наблюдений

q = <y|K|y> = ò_W y(y,x)K(x,y)y(x,y)dxdy

где K(a) – некоторый линейный оператор, зависящий от рода и процесса измерений, y(a) – измерительная функция на области W, построенная указанным выше способом. Здесь для упрощения записи применяется её свойство: y*(x, y) = y*(a) = y(-a) = y(y, x).

Пусть y_j(x) и y^k(y) - являются собственными функциями ядра K(x,y) подынтегральногоj выражения, и имеет место представление

K(x, y) = y^k(y)K^r_ky_j(x).

Разложим по собственным функциям ядра измерительные функции

y(x,y) = a^j(y)y_j(x),  y(y, x) = y^k(y)a_k(x)

и подставим их в подынтегральное выражение. Получим

q = b^ksjK^r_sb_krj = b*Kb,

где введены обозначения:

b^ksj = ò_V y^k(y)y^s(y)a^j(y)dy,         b_krj = ò_U y_k(x)y_r(x)a_j(x)dx.

При замене переменных a = Cb (a* = b*C*) получаем следующее выражение для средней величины оценки появления объекта в области W

q = <a|L|a> = l^j(a_j)*a^j = p_jl^j, p_j = (a_j)*a^j = |a^j|² >0,  

из которого заключаем, что оценка l^j присутствия  j-го объекта в области W наблюдается с вероятностью p_j, т.е. приходим к тому же самому результату, что и в предыдущем случае: для каждой экономической величины в квантовой теории приводится в соответствие определённый линейный оператор.

Пусть объект не подвергается никаким внешним воздействиям. Для его описания введём систему координат. Эта система определит пространство действия объекта и его положение в текущий момент. Если на объект не оказывают воздействие никакие внешние усилия, то все его положения в данном пространстве эквивалентны и, можно утверждать, поскольку гамильтониан связан с энергетическим воздействием среды на объект, что в этих условиях гамильтониан будет инвариантен к преобразованиям системы координат. В частности, сохранится при параллельных её преобразованиях.

Предположим, что в некоторой системе координат состояние объекта описывается совокупностью значений n факторов x = (x¹, x², …, xⁿ) на множестве X и функция y: X -> R, - измерительная функция состояний. Будет говорить, что в этой системе координат объект находится в точке x и оценка этого состояния определяется значением y(x). Подвергнем систему координат бесконечно малому смещению с помощью параллельного переноса на величину dx = (dx¹, dx², …, dxⁿ). Тогда объект перейдёт из точки x в точку x' = x + dx = (x¹ + dx¹, x² + dx², …, xⁿ + dxⁿ), а оценка его состояния в новой системе координат изменится и будет равна величине y(x').

Функцию y(x') разложим по формуле  Тейлора в окрестности точки x по степеням разности dx = x' – x

                                    y(x') = y(x) + dxC_xy(x) + dx² C_x²y(x) + o(|dx|²),                             (12)    

где введено обозначение градиента функции y:

C_xy = (∂y/∂x¹, ∂y/∂x², …, ∂y/∂xⁿ) = (∂/∂x¹, ∂/∂x², …, ∂/∂xⁿy), C_x = (∂/∂x¹, ∂/∂x², …, ∂/∂xⁿ).

Если смещения малы, то, удерживая в (12) лишь первые два члена ряда, получим

y(x') = (1 + d_xC_x)y(x) =  Oy,                                           

где   O = 1 + dxC_x - оператор сдвига.

В силу сохранения гамильтониана H его действие будет коммутативно с оператором сдвига O   т.е. O(Hy) = H(Oy). Это приводит к условию C_xH – HC_x = 0, которое и отражает отсутствия действия на объект внешнего импульса, или момента, воздействия. Точнее, если на объект, находящийся на траектории его эволюции в состоянии x воздействовал некоторый импульс p, то он при выполнении данного условия сохраняется и в течение всего перехода объекта в другое состояние x'. Следовательно, оператор C_x отвечает с точностью до постоянного множителя полному импульсу воздействия на объект, каждый его член ∂_k = ∂/∂x^k – импульсу отдельного фактора, а условие

CH – HC = 0

определяет закон сохранения импульса.

При выполнении неравенства C_xq >> C_xln L мы выходим за границы классической экономической теории меры. В этом случае в эволюции объекта при незначительных вариациях аргументов могут происходить значительные качественные изменения и сравнивать приходиться два существенно структурно различных состояния. Пренебрегая влиянием амплитудных изменений, приходим к уравнению C_xy = (- i C_xq)y.

Введём оператор импульса p = - ih C_x. Будем иметь py = (- C_xq)y. Отсюда следует условие сохранения оператора качественных сдвигов p:

                                                            [p,H] = i(pH – Hp)/h = 0.                                                   (13)

Оператор p в квантовой теории называют оператором импульса [6] (или оператором моментов [10]), поэтому и последнее равенство называют условием сохранения импульса или условием сохранения момента, поскольку качественный сдвиг соответствует изменению направления касательного вектора к траектории эволюции объекта при переходе объекта из состояния x в состояние x', его повороту. Выражение  [p,H] называется скобкой Пуассона.

Запишем действия момента в покоординатной форме p_jy = - ih ∂y/∂x^j, продифференцируем обе части этого равенства по аргументу x^k, умножим на –ih и изменим порядок дифференцирования. Получим p_kp_jy = (- ih)² p_jp_ky. Отсюда следует соотношение (p_jp_k – p_kp_j)y = 0, или [p_j, p_k]y = 0, и классическое условие для моментов  [p_j, p_k] = 0.

Здесь удобно привести ещё два равенства для скобок Пуассона [x^j, x^k] = 0 и [p_j, x^k] =  . Первое из них очевидно.  Для  второго имеем

[p_j, x^k]y =  i(- ih∂_j x^k – x^k(- ih∂_j))/h y =   d^k_j y.

Вданном случае мы рассматриваем коммутатор двух функций f и g в виде выражения

 [f, g] =  i(fg – gf)/h,

где fg = fCg и gf = gCf определяем как композиции функций. Для коммутаторов моментов f = p с функцией координат g = g(x) и координат g = x с функцией моментов f = f(p) справедливы равенства

pg(x) – g(x)p = -ihC_xg,    f(p)x – xf(p) = - ihC_pf,

соответственно. Отсюда следуют взаимно двойственные выражения, связывающие координаты и моменты

p =  - ihC_x,   x = ihC_p,

где

C_x = grad_x = (∂_j = ∂/∂x^j: j Î N) = (∂₁, ∂₂, …, ∂_n), ∇_p = (∂^k = ∂/∂p_k: k Î M) = (∂¹, ∂², …, ∂^m), n = |N|, m = |M|.

При этом для любых j, s из N и k, r из M имеем

[∂_j, ∂_s] = 0,        [∂^k_, ∂^r] = 0,       [∂_j, ∂^k] =  d^k_j.

Заключаем, что между фиксированием объекта, в какой либо точке x на траектории эволюции, и действующим в этой точке моментом существует некоторая неопределённость.

Действительно, пусть x_o – произвольная точка траектории. Будем полагать, что она отвечает настоящему моменту времени. Зафиксируем некоторую окрестность траектории, принадлежащую прошлому и прилегающую к настоящему g = (x_o - dx, x_o) и предположим, что среднее значение момента на интервале g равно p_o. Тогда относительно метрической функции y получаем уравнение p_oy = - ihС_xy,решая которое находим y = a(p)exp(i p_ox/h), где x из g и функция u(p) отлична от нуля только в области g.

Коэффициент этой функции представим интегралом Фурье

a(p) =  ò_g  u(x)exp(-ipx/h)dx,

получим

y =  ò_g u(x)exp(-i(p-p_o)x/h)dx.

Для того чтобы такой интеграл был заметно отличен от нуля, необходимо чтобы периоды осциллирующего множителя exp(-i(p-p_o)x/h) были сравнимы с размерами области g, в которой отлична от нуля функция u(x). Это значит, что коэффициент метрической функции a(p) должен отклоняться от нуля лишь для значений аргумента p, при которых произведение (p – p_o)dx = dpdx эквивалентно величине масштабного коэффициента метрической связности h, т.е. dpdx ~ h по каждому измерению j. Такое соотношение называется соотношением неопределённости.

Из соотношения неопределённости следует, что чем ближе мы приближаемся к точке x_o, т.е. чем точнее фиксируем настоящее, тем менее точной становится компонента p. Менее точно определяются характеристики вращательной симметрии q, угловая скорость, круговая частота и т. п. В частности, если объект точно фиксируется в некоторой точке x_o траектории, т.е. dx = 0, то величина dp становится равной бесконечности. Это свидетельствует, что в этой точке равновероятны любые значения характеристики q. И наоборот, если объект имеет строго фиксированный момент p, то равновероятны все его положения на траектории эволюции. Эти соотношения неопределённости были установлены в 1925 году Гейзенбергом и легли в основу развития квантовой физики.

Литература.

1. Брандт З. Статистические методы анализа наблюдений. /М., Мир, 1975.

2. Идлис Г.М. Единство естествознания по Бору и единообразные взаимосвязанные периодические системы физики, химии, биологии и психологии. /Исследования по истории физики и маханики, 1990. //М., Наука, 1990.

3. Адамов В.Е. Факторный индексный анализ. /М., Статистика, 1977.

4. Ким Д.П. Методы поиска и преследования подвижных объектов. /М., Наука, 1989.

5. Розин Б.Б., Котюков В.И., Ягольницер М.А. Экономико-статистические модели с переменной структурой. /Н., Наука, 1984.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. /М., Наука, 1989.

7. Скотт Э. Нелинейная наука: рождение и развитие когерентных структур. /М., Физматлит, 2007.

8. Фок В.А. Начала квантовой механики. /М., ЛКИ, 2007.

9. Дэйвисон М. Многомерное шкалирование. /М., Финансы и статистика, 1988. 

10. Фок В.А. Начала квантовой механики. /М., ЛКИ, 2007.