ОПЕРАТОР ПЛОТНОСТИ

И ЕГО СЕЛЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА

Записанное для состояний х = А*Y и у = ВY метрическое тождество принимает вид

х*Ру = x*Qy + x*Ry,

где операторы плотности Р, Q, R удовлетворяют свойствам;

Р =AYY*B* = Q*,   Q = ВYY*А* = Р*   R = Р - Q = Q* - Q = - R*,

из которых следует, что все три входящие в метрическое равенство выражения определяются заданием только одного оператора плотности, оператора Q или оператора Р. При условии полноты YY* = I метрического пространства состояний Р = АВ*. Действительно, если X -подпространство евклидова пространства и х, у Î X, то можно построить оператор Р как плотность произведения квадратов их норм, и, следовательно, можно построить операторы сходства Q и расхождения R. Более того, для следа оператора Р получаем равенство

Tr Р = р.

Пусть х, у Î X и состояние у является эталоном для оценки состояния x:. Эту оценку запишем в виде

m = m(x, у) = y*x.

Тогда

m² =у*М(х,у)х,

где для оператора плотности введено обозначение

М(х,у) =ху*. 

Левую часть основного метрического тождества можно представить в виде

s² = y*М(у, х)х

и в общем случае считать, что s ¹ m следовательно, М(у, х) ¹  М(х, у). Поскольку имеет место равенство

М*(у, х) = М(х, у),

то из основного метрического тождества находим

R(х, у) = М(у, х) - М(х, у) = - R(y, х)

и при качественном подобии состояний х = lу получаем соотношения

М(y, x) = M(x, y) = lМ(х, х) = lМ(х).

Обозначение

М(х, х) = М(х)

принимается, когда в качестве измерительного эталона выступает само состояние. В этом случае

m(x,x) = D(x) = Tr М(х)

и

М*(х) =М(х).

При нормировании состояния x имеем Tr М(х) = 1 и x определяется как чистое состояние. Аналогичное выражение получаем D(x, у) = s²(х, у) = D(x)D(y):

D(x, у) = Tr (M(x)M(y)) = Tr M(x) Tr M(y).

При х = AY  среднее значение наблюдаемой А в состоянии, которое описывается оператором М = М(Y), будет равно

а = Tr (MA) = Tr (AM).

Для чистого состояния y = Y  оператор М удовлетворяет равенству

М ² = М,

из которого следует, что все его собственные значения равны либо нулю, либо единице.

Но, из условия, что след  равен единице, заключаем, что единице равно только одно его собственное значение. Так как действие оператора М на произвольный элемент х Î X есть разложение этого элемента по собственным функциям е_j, (свойствам) оператора М

Мх = xⁱe_i

и

M(e_k)e_j = d_kje_j,

то из соотношения

M(e_j)x = x^je_j

следует, что действие оператора М(е_j) на произвольный элемент х Î X даёт оценку j-го свойства в данном элементе, отделяя это свойство от влияния всех остальных свойств. Следовательно, оператор М(е_j) действует как проектор множества X на числовую ось, направляющим вектором которой является собственный элемент е_j, этого оператора.

В качестве примера сравним расчётное состояние у с фактическим состоянием x на примере планирования эволюции некоторого объекта. Предположим, что на основании прошлого опыта прогнозируемое состояние определено вектором у. Фактически же наблюдаем состояние x. Естественно в основу метрики для сопоставления векторов положить скалярное произведение m = у*х. Поскольку задача сопоставление амплитуд s(х) и s(у) данных векторов решается достаточно просто, то возникает проблема описания их ориентации, т.е. задача сравнения направлений их масштабных векторов, которые и примем за x и у, полагая s(х) = s(у) = 1.

Задачу интерпретируем следующим образом. Представим, что объект из одного допустимого состояния у переходит в другое допустимое состояние х. Происходит качественный скачок, индуцируемый некоторой функцией активации внутренних параметров данного состояния, структурными сдвигами. Геометрически этот переход представим как непрерывный процесс поворота системы координат в пространстве X, построенной в виде многогранника Френе. Ограничиваясь ускорениями первого порядка, получаем систему координат как естественный трёхгранник Френе, в котором вектор у определяет одну из координатных осей и в которой вектор x фиксируется двумя полярными углами q и j  так, что его можно рассматривать в качестве единичного комплексного вектора

x = [a, b] = [cos q / 2; e^ij sin q / 2]

Если записать квадрат меры

|m|² = y*M(x) y,  

то приходим к заключению, что оператор плотности - матрица

 M(x) = [aa*   bb ;   ba*   bb*  ], 

описывает чистое состояние x, т.к. М² =М. Поскольку орбитальный момент отсутствует, то представим его тождественным оператором поворота I,  а поворот вектора у определим спином s = ½s , где оператор s = (s₁, s₂, s₃)  выражается через матрицы Паули (|s| =1/2). Тогда оператор плотности М, определяющий полный момент объекта со следом равным единице, можно записать в виде

M = xs + ½ I.

Условие M² = М будет выполняться, если ||x||² = 1. Координаты вектора a в исходной системе определяются через его компоненты a и b  по формулам:

x¹ = |a|² - |b |² = cos q,  x² = 2Re(ba*) = sin q cos j,

x³ = 2Im(ba*) = sin q cos q.

С помощью оператора плотности можно рассматривать системы, которые не приводятся к "чистым состояниям" как, например, динамический вариант объектов финансовой системы - системы банков. Здесь значения наблюдаемой величины А усредняются по её квантовым состояниям - локальным параметрам квантования: капиталу банка, активам, кредитам, депозитам и т.п. Полученные же средние величины а_к усредняются по всему ансамблю данных финансовой системы а = р^ка_к. Где р^к является вероятностью обнаружения средней величины а_к в данном ансамбле и в сумме равны единице. Последнее даёт возможность ввести обобщённый оператор плотности М = р^кМ_к, след которого равен единице и а = Тr(МА), но для которого условие М² = М уже выполняться не будет.

Соотношение  M(e_j) x = x^je_j показывает, что для фундаментальной последовательности {e_j : j Î N} можно построить оператор М, для которого элементы e_j - будут собственными элементарными состояниями, определяемые как чистые состояния и для которого справедливы свойства

M(e_j)M(e_k) = d_jk M(e_k),     å_jÎN M(e_j) = I,

а действие оператора M(e_j) на любой элемент х Î X выделяет в нём количество х ^j      элементарного качества, которое определяется метрической функцией F_j  = e_j. 

Обозначим символом X аффинное множество (множество объектов, событий), а символом X - присоединённое к нему векторное пространство (пространство всевозможных допустимых переходов данных объектов). Таким образом, если х событие, то х = j(х) будет его описание в карте j = {e_j: j Î N}. События х и у будут совместимыми, если предшествующие измерения одной из них не отражаются на измерениях другой. Отсюда следует, что операторы М(х) и М(у) независимы и, если ввести оператор М(ху) для такого составного измерения, в котором одновременно значение x ставится в соответствие событию х, а значение у - событию у, то получаем

М(ху) = М(х)М(у) = М(у)М(х).

Составное событие х называется полным набором событий x_k, k Î К, если каждая пара в наборе совместима и не существует никаких других событий совместимых с каждым событием набора, за исключением, быть может, самого события х. Оператор плотности полного составного события x = {x₁ , x ₂ , …, x_|K|} определяется по формуле

M(x) = Õ_kÎK M(x_k).

Величина x является состоянием полного события. В пространстве X оператор М(х) даёт максимально возможное описание составного события с помощью селективных измерений М(х_к), k Î К.

Если для измерения состояния объекта х используется эталон у, то состояние   объекта,   воспринимаемое   как  x,   зависит   от   эталона   и, следовательно, матрица плотности в определении его меры так же будет зависеть от эталона. В этом случае оператор плотности запишется в виде

М(х,у) =ху*.

В случае скалярной меры транзитивность применения эталона у определяется равенством

M(x, a)M(b, y) = d_ab M(x, y).

Пусть а, b, с, d Î X. Тогда метрический функционал m(a, b) = a*b и оператор плотности М(с, d) = cd* определяются на множестве Х´Х. Если X n-мерное векторное пространство, то множество значений метрического функционала принадлежит полю К действительных или комплексных чисел, а операторы плотности будут принадлежать множеству квадратных матриц порядка п² . Если b является эталоном a, a d служит эталоном с, то в силу равенства

m(a, b)m(c, d) = a*M(b, c) d

с должно быть эталоном b. Как частный случай отсюда следует, что если b = lс, то

m(a, b)m(c, d) = l a*M(c) d

Аналогичное соотношение получаем для операторов

M(a ,b)M(c, d) = m(b, c)M(a, b).

Следовательно, если d служит эталоном с, ас является эталоном а, то d будет эталоном а.

При обозначении,

g = M(b, c)d,   h = am(b, c),

получаем

m(a, b)m(c, d) = m(a, g),

M(a, b)M(c, d) = M(a, h),

т.е. множество M - левый, а К - правый Х-модули, которые в рассматриваемом случае связаны при любых а, b, с, d Î X коммутативным отношением

m(b, c)M(a, d) = M(a, d)m(b, c).

и если система {e_j: j Î N} является базисом пространства X, то система

{M_a = M(e_i , e_j): i, j Î N}

будет базисом пространства Х´Х. Любой элемент A Î Х´Х можно разложить по данному базису. В a-представлении это разложение принимает вид

A = A^aM_a ,

Здесь суммирование осуществляется по всем значениям мультииндекса a = (i, j) Î N´N, а коэффициенты разложения определяются как коэффициенты Фурье

A^a = m^a(A) = e_i*A e_j = Tr(AM^b),  M^b = (M_a)* = M(e_j, e _i),

a = (i, j),   b = (j, i).

Для произведения операторов А и 

B = B^gM_g ,    g = (k, l).

в a-представлении получаем (p = (i, l))

AB = å _jÎN d ^k_j m^a(A)m^g(B)M_p

где

m^a = eⁱA e_j

и для эрмитово сопряжённого базисного элемента введено обозначение

eⁱ = e_i*

Отсюда находим

m^p(AB) = å _jÎN d ^k_j m^a(A)m ^b(B) = å _kÎN m ^ik(A)m ^kl(B).

Это формула вычисления элемента произведения матрицы В на матрицу А.