МЕТРИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ НА СТРУКТУРАХ 

Пусть структурная схема организации задана категорией

K = (Ob, Н)

и функторы Р и Q определяют два её состояния как векторы

х = Р(K ) = xФ,   у = Q(K ) = hY

Здесь количественные и качественные характеристики зависят как от состояния объектов структуры, так и от состояния связей между ними. Но, можно допустить, что

x = Р(Оb),  Ф = Р(Н),   h = Q(Ob), W= Q(H).

Если объекты качественно подобны, то из условия подобия х = lу следует количественное отношение

ò p dm = ò p dm

В этом случае сравнение объектов можно проводить по внешним агрегатным количественным признакам.

Сложность сравнения появляется тогда, когда возникает потребность в сравнении разнокачественных объектов, т.е. когда Ф и Y различны,  в том числе объектов с переменной структурой, т.е. когда Y = Y (K )   Ф= Ф(K ' ), где K  и K ' различны [1].

Рассмотрим множество объектов X, которые сравниваются с объектами другого множества Y. Объекты у множества Y будем называть эталонами. Основное назначение эталона обусловим тем, что содержащаяся в нём информация служит для оценки содержания аналогичной информации в объектах множества X. Для сравнения выбранного объекта с эталоном необходимо построить ту или иную функцию предпочтения m ,  которая даёт оценку информации, в единицах её содержания в эталоне. Данную функцию определим как меру сходства объекта с эталоном. Обычно меру строят на бинарных отношениях множества X´Y с её значениями на множестве действительных чисел. Простейшая функция предпочтения, которая обращает пространство X в линейное пространство со стандартной топологией, индуцируется любой евклидовой метрикой, вводимой на X´Y положительно определённой симметричной билинейной формой m: Z = X´Y. Эту функцию запишем в виде

m(z) = f(y)(x) = y*x, z Î Z,  

где отображение f: Y -> Y* осуществляет преобразование пространства эталонов в сопряжённое ему векторное пространство Y*. Учитывая симметрию метрической функции, введём функцию h: X —> X* такую, что имеет место отношение

m* = m(z*) =h(x)(y) = x*y,    z* = (y, x) = -z Î Z* ,

где х* Î X*, и продолжим её на пространства Х´Х* и Y´Y*. В силу симметрии заключаем, что справедливо равенство m* = m, которое даёт возможность нормировать пространствами Y  и X

s(x) = m^1/2(x, x) ,   s(y) = m^1/2(y, y)

и, воспользовавшись неравенством Коши-Буняковского, получить основное метрическое тожество на пространстве бинарных отношений X´Y, тождество Пифагора,

s² =m² + n² ,

где введено обозначение

s = s(z) = s(x)s(y).

Учитывая, что из подобия х = lу следует равенство s(x) = s(x)  заключаем, что функционал v = ± Г^1/2(z), где Г(z) = Г(х, у) – определитель Грама, построенный на векторах х и у, определяет меру отличия объекта наблюдения х от фиксированного эталона у.

В большинстве задач экономической практики в качестве эталонов берут элементы того же множества. В этом случае Y ⊂ X и метрическая функция m обращает множество X в многообразие римановой структуры, которая позволяет выбором евклидовой структуры в окрестности эталона сравнивать, путём суммирования малых длин векторов, отрезки траекторий и направления эволюции объектов в этой окрестности.

Метрическая функция v дуальна метрической функции m. Если последняя является мерой сходства объектов, то функция v служит мерой их расхождения. Очевидно, в оценках можно с равным успехом использовать и ту и другую. Если мера сходства определяется скалярным произведением, то мера расхождения определяется кососкалярным произведением и, точно так же, как мера сходства задаёт на данном многообразии риманову структуру, кососкалянное произведение определяет на этом многообразии симплектическую структуру. Симплектическая структура позволяет измерять "площади" ориентированных двумерных поверхностей, суммируя поверхности малых параллелограммов, что даёт возможность проводить анализ в пространстве возможностей эволюции, используя его пространственные характеристики такие, например, как кривизны пространства в окрестности эталона и т.п. В метрическом тождестве на тернарном отношении (х, у, е), где е - единичный элемент пространства эталонов, реализуется гегелевское диалектическое единство качества, количества и меры.

Введём новую комплексную метрическую функцию, которая даёт полное описание состояния объекта

F = F(z) = m(z) - in(z) = sU,    U = e^j,

где введены обозначения

j = Arth e ,    e = -in / m ,

и определим комплексно сопряжённую ей функцию

                      F* = sU* = m* - in* = `F = F(z*),       U* = e ^-j

так, что отношение

F*F = s ²

в развёрнутом виде представляет равенство

F(y, x)F(x, y) = D(x)D(y),

которое утверждает, что если состояния объекта наблюдения и эталона независимы и описаны полным образом, то оценка D системы z = (х, у) равна произведению оценок состояния каждой из них и это соотношение сохраняется и в будущие моменты времени [2]

D(z) = F*(t, z)F(t, z),   z = z(t).

Новая метрическая функция представляет собой единство количественной меры, характеризуемой её модулем s    и меры качества, которая определяется унитарным оператором U. Оператор качества даёт оценку структурных преобразований при возможном переходе наблюдаемого объекта из одного состояния х в другое у возможное состояние, при этом предполагается, что его гипотетически возможное возвращение в исходное состояние не меняет первоначального состояния системы z.

Модуль

s = m(1 - e ²)^1/2

доставляет оценку агрегатных значений количественных величин сравниваемых объектов, а аргумент

j = -iq / h

выражается через масштабированную величиной h характеристику структурных сдвигов

q = h arctg(n / m).

и позволяет оценивать качественные отклонения объекта наблюдения от эталона путём отображения с экспоненциальной шкалы на линейную шкалу.

Введённая здесь постоянная величина h играет роль масштабного метрического коэффициента при сопоставлении качественного сходства и различия объекта с эталоном. При малом качественном различии имеем приближённое равенство

q / h = n / m ,

из которого следует, что эта постоянная является соизмерителем метрических пространств (Z, m ) и (Z, v ), которые определяют риманову и построенную на ней симплектическую структуры в пространстве возможных состояний X´Y в окрестности эталона.

Рассматривая наблюдение как процесс перехода объекта из одного состояния в другое, то когда в этом процессе не происходят качественные сдвиги, заключаем, что величина q = 0, при этом, унитарный оператор обращается в тождественный. С ростом качественных сдвигов данный угловой показатель монотонно возрастает. Таким образом, с ростом качественного различия монотонно возрастает абсолютная величина аргумента j унитарного оператора. Но, для перевода объекта из одного состояния в другое необходимо приложить некоторое усилие, импульс. Следовательно, оператор U = U(j) характеризует ту составляющую равнодействующей импульса, которая приводит в рассматриваемом переходном процессе к качественным изменениям.

Если метрическую функцию записать в виде нелинейного среднего [3]

F = e ^{– M / h},   M =h(-j + ln s),

то сопряжённая функция примет вид

F* = -M* / h,    M* = -h(-j + ln s). 

Литература.

1.    Адамов В.Е. Факторный индексный анализ /М., Статистика, 1977.

2.    Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика, т. VIII  /М., 1989.

3.    Маслов В.П. Нелинейное среднее в экономике /Мат. заметки, 2005, т.78, вып. 3.