СОСТОЯНИЕ ОБЪЕКТА В ФАЗОВОМ  ПРОСТРАНСТВЕ

Будем под объектом понимать любую систему, а под его состоянием – систему действительных чисел, - систему действительных численных значений описывающих этот объект факторов. Набор факторов описания различных состояний объекта будем считать фиксированным. Их количество обозначим числом n. Совокупность всех допустимых состояний объекта обозначим символом X  и определим это множество как аффинное пространство. Таким образом, если z Î X, то величина z является допустимым состоянием объекта и описывается системой числовых значений n факторов

            (1)                   q = (q¹, q², …, qⁿ) = (qⁱ:  i Î N ={1, 2, …, n} ),

которые будем называть обобщенными координатами элемента z и записывать в виде

            (2)                                   z = z(q).  

    В частности можно положить z = q.

Отметим, что обобщённая координата (1) может выступать в качестве структурированного вектора, в частности, прямоугольной матрицей с n элементами. В общем случае (1) может быть тензором с n элементами, определёнными на поле действительных чисел. Если полагать, что на множестве допустимых состояний начало координат не фиксировано, то это множество будем рассматривать как аффинное пространство.

На множестве допустимых состояний определим присоединённое векторное пространство X как группу параллельных переносов автоморфизмом

             (3)                                F(X): X ® X    

так, что если u Î X, и отображение F(u) соответствует переходу из состояния x = z(q_o) в состояние z = z(q), имеем

            (4)                              z = F(u)(x) = x + u.

Заметим, что здесь сумма элементов x и z пространства X, как двух точек, не определена, но их разность z – x определяется как переходный процесс из состояния x в состояние z, как элемент u присоединённого пространства X.

Будем говорить, что X - группа преобразований, действующая на множестве допустимых состояний объекта, причём, из определения (4) следует, что это действие аддитивно и транзитивно. Из (4) также следует, что существует отображение

            (5)                                 Q : X´X ® X

такое, что

            (6)                                z = F(Q(x, z), x),     x, z Î X,

и обладающая свойствами:

            (7)                         Q_x :  x ® Q(x, z) – биекция X ® X,

  (8)                                     Q(x, y) +Q(y, z) = Q(x, z),   x, y, z Î X,

  (9)                                     Q_x^-1(u) = F(u)(x) = x + u.

Размерности аффинного пространства состояний объекта и присоединённого векторного пространства совпадают и будем полагать, что они равны n. Следовательно имеет место представление

           (10)                                u = z(q) – z(q_o) = z – x = (u¹, u², …, uⁿ).

В присоединённом пространстве положительно-определённой билинейной формой

           (11)                                 D(u) = å _{i, jÎN} g_ijuⁱu^j

определим евклидову структуру, которая определит в этом пространстве длину вектора ||u|| = s(u) = D^1/2(u), а на множестве допустимых состояний объекта определит дистанцию между любыми двумя возможными состояниями x = (x¹, …, xⁿ) и y =(y¹, …, yⁿ)

            (12)                       r(x, y) = (å _{i, jÎN} g_ij(xⁱ - yⁱ)ⁱ(x^j - y^j) )^1/2.

Соотношению (4) можно давать различную интерпретацию. Предположим, что проводится наблюдения за фиксированным состоянием объекта x. В результате наблюдений получаем значения z. Тогда вектор u можно интерпретировать как результат отклонения наблюдений, ошибку наблюдений.

Поставим в соответствие в присоединённом векторном пространстве состояниям x, z векторы x, z, соответственно. На практике часто полагают X = X. Тогда

            (13)                              z = F(u)(x) = x + u

и таким способом на каждом векторном пространстве можно ввести естественную аффинную структуру.

   Предположим, что справедливо соотношение (13), которое запишем в виде

            (14)                                  z = x + Dx,

полагая u = Dx и D(x) = const. Тогда в силу однородности оценки (11) имеем

            (15)                              DD(x) = 2m(Dx, x) = 2m(u, x) =  0,

 т.е. векторы x и u ортогональны.

 Из равенства (14) следует, что векторы z, x и u лежат в одной плоскости и если в этой плоскости пространства X ввести систему координат так, чтобы вектор x был направляющим оси абсцисс, а ортогональный ему вектор u был направляющим оси ординат, то данным векторам можно поставить три точки z, x и, соответственно. Первым двум точкам будут отвечать реальные допустимые состояния, третьей точки поставим в соответствие мнимое состояние. Чтобы выделить реальные состояния, для обозначения мнимого состояния введём мнимую единицу i и обозначение

             (16)                                 u =iy,

где величину y будем полагать действительной. Получим

            (17)                                                                     z = x + iy.

 Таким образом, если, например, проводятся статистического наблюдения за объектом, то выражение (17) даёт интерпретацию наблюдения z на координатной плоскости Z в виде точки (x, y), абсцисса которой даёт результаты наблюдения, а ордината – ошибку наблюдения; при изучении движения объекта выражение (17) даёт кинематическое представление зависимости между его положением и импульсом; в производственной модели представлением (17) можно описывать состояние объекта наблюдения в соответствии, например, между выручкой x и затратами y. В физическом представлении координатную плоскость Z называют фазовой плоскостью.

Пусть Q - координатная область определения допустимых состояний объекта. Зафиксируем в ней две точки q и q_o. Им будут отвечать два состояния z = z(q) и x = z(q_o). Полагая, что это достаточно близкие состояния, разложим первое в окрестности второго в степенной ряд по степеням разности dq = q - q_o

             (18)                              z = å _nÎN (D_q⁽ⁿ⁾z(q_o) / n!)(dq)ⁿ = T_j x,

где введён дифференциальный унитарный оператор  

             (19)                                      T_j = e^j,  j = dq×Ñ_q,

переводящий состояние x в состояние z.

Если ввести обозначение

             (20)                                        j = i(dq×p)/h,

то выражение принимает вид

            (21)                                         z = Ux,

где

            (22)                                        U = e^i(dq×p)/h     

унитарный оператор, переводящий состояние x в новое состояние z, который определяется с помощью такой физической характеристики как импульс

            (23)                                         p = -ihÑ_q.

Линеризация (21) приводит к представлению (17), где

           (24)                                         y = - idq×Ñ_qx.