СОЦИАЛЬНАЯ ФИЗИКА

К разделам сайта:          Домой        Примеры       Теория индексов      Банки      Физика

   к основам матричной квантовой  экономики      

ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА.

Векторы и их произведения. Не нарушая общности изложения, множество X будем рассматривать как множество возможных состояний некоторого явления (объекта) даже в том случае, когда это множество состоит из состояний различных объектов. Для того, чтобы иметь представление о состоянии объекта x, нужно для сравнения иметь, по крайней мере, хотя бы одно  другое возможное его состояние y. Элементы любого множества определяется некоторым свойством e, признаком, и по этому признаку можно выстроить критериальные оценки состояний. Если x содержание свойства e у объекта в состоянии x, а y содержание свойства e у данного объекта в состоянии y, то будем писать x = le и y = me. В случае, когда критериальные оценки объектов совпадают, будем писать l = m  и говорить, что объекты по данному признаку неразличимы. В дальнейшем полагаем, что в общем случае критериальные оценки принадлежат полю действительных R либо комплексных чисел C и что каждый объект множества X обладает рядом свойств. Как правило, если это условие не оговаривается , то предполагается, что оценки лежат в поле действительных чисел.

Возьмём произвольный элемент y Î X и будем полагать, что система j = (j ₁, j ₂, ..., j _n) выделяет у состояния y полную систему значимых признаков y_j = j_jy, j = (1, 2, ..., n). Если ввести некоторую агрегатную характеристику y данного состояния, то получаем, что она разлагается, как латентная характеристика, в систему элементарных признаков y_j. Такое разложение удобно представить  аддитивной формой

y = y₁+ y₂ + ... + y_n .

Зафиксируем элемент y из X и рассмотрим подмножество элементов X_y множества X , у которых система j  также выделяет значимые свойства. Это подмножество будем считать окрестностью элемента y. Тогда для любого x Î X_y имеет место аналогичное представление

x = x₁ + x₂ + ... + x_n .

Поскольку величины x и y обладают одним и тем же агрегатным свойством e, т.е. x = jx = xe, и, соответственно, x_j = x^j e_j , j = {1, 2, ...n}, то получаем разложение

x = xe = x¹e ₁+ x²e₂ + ... + xⁿe_n .

Здесь мы название  состояния x заменили его оценкой x, при этом полагая, что если оценки для некоторых объектов совпадают, то такие объекты в данной признаковой системе j  неразличимы.

Пусть x > 0 и  x^j >=  0 для всех  j . Разделив последнее равенство на величину x, приходим к соотношению

e = 1e = l¹e ₁+ l²e₂ + ... + lⁿe_n .

Видим, что коэффициенты правой части этого равенства неотрицательны и каждый коэффициент  l¹ = x^j / x >=  0 можно рассматривать в качестве доли j-го признака в формировании агрегатного свойства.

Таким образом, система j  - это определённая в окрестности X_y фиксированного состояния y локальная пространственная система координат, в которой каждому состоянию x Î X_y из данной окрестности ставится в соответствие вектор

x = x¹e ₁+ x²e₂ + ... + xⁿe_n

и элемент (точка) x = (x¹, x², ..., xⁿ) аффинного пространства X такой, что x = y + x. Следовательно, присоединённое в точке y к аффинному пространству X_y пространство  X_y является векторным и при анализе состояний объекта в области X_y значимости факторов его описания можно воспользоваться мощным математическим аппаратом векторной алгебры, в частности, использовать, введённые в работах Гамильтона и Грасмана в середине девятнадцатого столетия скалярные и векторные произведения, которые в работах Грасмана названы внутренним и внешним произведениями, соответственно, и исторически для которых вводились различные обозначения, которые принимаются и сегодня. Например, в работах Грасмана для векторного произведения введено обозначение [a, b]. Несколько позже Гибсом были введены обозначения, соответственно, a·b и a´b. В 1903 г. Хинричи предложил обозначать скалярное произведение символом (a, b). В данной работе мы для вектора примем обозначения Дирихле a = |a>, а для эрмитово сопряжённого вектора введём обозначения a* = <a|.  Скалярное произведение, как свёртку векторов, будем обозначать либо выражением a*b, либо выражением <a|b>. Тогда <a|b>* = <b|a>.

Рассматривая скалярное произведение как матричное произведение матрицы-строки на соответствующую матрицу-столбец, получаем, что результатом является агрегатный скалярный показатель. Это матричное произведение векторов, результатом которого будет скаляр, назовём внутренним произведением векторов. Если рассматривать матричное произведение векторов вида |a><b|, то результатом будет матрица, т.е. объект не являющейся вектором (хотя такую матрицу снова можно рассматривать в качестве вектора - структурированного вектора размерности n², n = card X. Не последуем за Грасманом, оставим за векторным произведением его название "векторное" произведение, а произведение |a><b| векторов, результатом которого будет матрица, будем называть внешним произведением векторов. Получаем, что для одних и тех же векторов |a> и |b> можно определить  внутреннее произведение <a|b>, результатом которого является скаляр, и внешнее  произведения векторов |a><b|, результатом которого будет квадратная матрица. При этом имеем: |a><b|* = |b><a|.

Пусть последовательность {e_k: k = {1, 2, ..., n} является ортонормированным базисом пространства X, т.е. <e_i|e_j> = d_{i j}. В пространстве X введём оператор

I = ∑ⁿ_{k =1} |e_k><e_k|.

Это условие полноты пространства, т.е. условие того, что в данной системе базисных векторов можно описать состояние любого вектора |a> пространства X и в этом пространстве не существует других свойств, которые могут дополнить данное описание. Тогда |a> = a^k|e_k>, где a^k = <e_k|a>, I|a> = |a>, <a|I|a> = <a|a> и для любых векторов |a>, |b> из X имеет место равенство <b|I|a> = <b|a>. Векторное пространство E, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством. В евклидовом пространстве E можно определять длины векторов и углы между ними, определить евклидову норму ||a|| = <a|a>^1/2 и евклидову метрику r(a, b) = ||a - b||, справедливо неравенство Коши-Буняковского

|<a|b>| ≠ ||a|| ||b||.  

Полное евклидово пространство H называется гильбертовым пространством. Гильбертово пространство не обязательно конечномерно, т.е. может n -> ∞ . Например, пространство l₂ всех суммируемых с квадратом последовательностей |x> = x = {x¹, x², ...}, для которых ряд ∑^∞_k |x^k|² < ∞ сходится является гильбертовым пространством. В пространстве l₂ скалярное произведение и норма векторов определяются по формулам

<x|y> = ∑^∞_{k =1} x^k`y^k,       ||x|| = s(x) = (∑^∞_{k =1} (|x^k|²))^1/2.

Вторым примером можно привести пространство L₂(X) квадратично суммируемых на множестве X функций. Здесь скалярное произведение и норма для функций f ,  g из L₂(X) определяется по формулам

<f|g> = ∫_x `f  g dm ,        s(f) =  ||f|| = (∫_x | f  |² dm)^1/2.

Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то такие векторы называются ортогональными, а если для x Î H и для любого y из L Ì H  выполняется равенство x*y = 0, то x будет ортогонален к подпространству L (x ^ L). Множество всех векторов x из E, ортогональных подпространству L, называется ортогональным дополнением и обозначается L^{^}. Если L замкнутое пространство в H и L^{^} его ортогональное дополнение в H, тогда каждый вектор z Ì H  допускает единственное разложение z = x + y. Здесь x элемент множества X, а y элемент его ортогонального дополнения в H.

Скалярное произведение <y|x> = y*x будем рассматривать как функционал J: H -> H*, определённый равенством J(y) = f_y, где ||J(y)|| = ||y||, J(x + y) = J(x) + J(y), J(λx) = `l J(x). Следовательно, f_y(x) = y* x = <y|x>. В силу изометричности отображения J  сопряжённое пространство H* к гильбертову пространству H будем отождествлять с самим гильбертовым пространством H.

Пусть f , g элнменты L₂(X), L₂ - гильбертово пространство, и a Î L*₂(X) ограниченный функционал такой, что a(f) = <g|f>, ||a|| = ||g||. Рассмотрим  в пространстве L₂(X) гиперплоскость P = ker(a) = {h: a(h) = 0} и найдём наилучшее приближение этой гиперплоскостью функции f. Так как L^{^} состоит из всех функций вида lg, где l действительное или комплексное число, то элемент наилучшего приближения будет равен h = f - lg, где величина l определяется условием принадлежности h пространству L,

a(h) = a(f) - la(g) = 0.

Откуда находим

l = a(f)/a(g)= <f | g>/D(g),           D(g) = <g | g>.

Следовательно,

h = f - <g^o|f>g^o,    r(f, P) = ||f - h|| = |l| ||g|| = |<g^o| f>|,     g^o = g / s(g),     ||g^o|| = 1.

Пусть H гильбертово пространство над полем действительных или комплексных чисел и x = |x>  один из его элементов. Пусть в окрестности данного элемента введена карта j , в которой имеем представление x = x^ke_k, k = N = {1, 2, ..., n} и card N = n -> ∞ . Если e_i*e_j = d_ij, то система базисных векторов является ортонормированной. В гильбертовом пространстве ортонормированные базисные системы  применяются для ортогональных разложений векторов (или рядов Фурье). Числа x^k называются коэффициентами Фурье вектора x относительно данной ортонормированной базисной системы, а разложение x = x^ke_k - рядом Фурье. Ряд Фурье называется сходящимся в H, если последовательность частичных сумм ряда

s_n = ∑ ⁿ_k=1 x^ke_k

имеет предел, т.е. lim||s - s_n|| = 0, и вектор s называется суммой ряда. Для разложения в ряд Фурье вектора x выполняется неравенство Бесселя

 ∑ ^∞_k=1 |x^k|² <=  || x||².

Знак равенства выполняется только тогда, когда ряд Фурье сходится к x. Если равенство выполняется для любого x из H, то данное равенство называют равенством Парсеваля. В случае выполнения равенства Парсеваля в гильбертовом пространстве H, если имеем разложение некоторого элемента в этом пространстве в ряд Фурье, то получаем, что коэффициенты l^k = |x^k| / ||x||  разложения агрегатного свойства этого пространства входят в разложение единицы

1 = ∑ ^¥_k=1 p^k,            p^k = (|x^k| / ||x||)² >= 0,

и могут быть интерпретированы в качестве доли присутствия соответствующего элементарного свойства в состоянии x объекта, а величины p^k - в качестве вероятностей присутствия этого свойства в данном состоянии.

В экономической теории при анализе состояния явлений, как правило, не встречается неограниченная декомпозиция. Хотя в описании явлений могут встречаться сложные многоуровневые модели, суммарное число факторов в них всё же ограничено. В этом случае можно говорить, что состояние явления описывается частичной суммой ряда Фурье, или полиномом

P(x) =  ∑ ⁿ_k=1 x^ke_k

наилучшего приближения, т.е. полиномом с коэффициентами, определяемыми по формулам

x^k = <e_k|x>.

Система векторов K = {e_k: k = 1, 2, ..., n} подпространства E  пространства H  порождает в E наименьшее замкнутое подпространство L, совпадающее с линейной оболочкой L = span K, натянутой на подсистему K. При условии L = E система K будет полной в E. Если система K не полна в E, то величина наилучшего приближения в E определяется по формуле

r(x, L_n) = ||x - s_n|| = (||x||² - ∑ ⁿ_k=1 |x^k|²)^1/2.

Если система K  полна в гильбертовом пространстве H, то её ортогональное дополнение K^{^} равно нулю. Критерием полноты системы K является одно их условий: либо ряд Фурье разложения вектора сходится к самому вектору, либо выполняется условие Парсеваля.

|| x||² = ∑^∞_k=1 |x^k|².