СОЦИАЛЬНАЯ ФИЗИКА

К разделам сайта:          Домой        Примеры       Теория индексов      Банки      Физика

   к основам нерелятивистской квантовой экономики      

ТОЖДЕСТВО ГЕЙЗЕНБЕРГА В АНАЛИЗЕ ДАННЫХ

При изучении объекта a любой природы, прежде всего, фиксируется некоторое аффинное пространство A, которому этот объект принадлежит. Затем строится та или иная система координат, которая даёт возможность выделить характерные свойства объекта. Свойства a определяются отношением к другим объектам {a₁, a₂, …, a_n}, принадлежащих данному аффинному пространству. Система объектов вместе с исходным фиксированным объектом {a, a₁, a₂, …, a_n} определяет репер A, который даёт возможность выделить в пространстве A n свойств. Очевидно, эти свойства характеризуют a лишь в некоторой достаточно малой его окрестности, но условно их можно распространить на элементы всего аффинного пространства и, если рассматривать в окрестности a другую точку x пространства A, то имеет место представление

x = a + x,

где второе слагаемое, понимаемое как различие двух элементов аффинного пространства

x = x – a,

является элементом нового, векторного пространства R, с координатами

xⁱ = a_i – a.

С другой стороны, элемент векторного пространства можно рассматривать в динамическом варианте как непрерывный переход из одного состояния в другое состояние за определённый временной интервал. Таким образом, векторное пространство определяется фиксированием точки аффинного пространства, пространства состояний объекта. В таком  понимании сложение векторов и умножение их на скаляр являются непрерывными операциями и топология, связывающая эти пространства, индуцируется любой евклидовой метрикой, дистанционной функцией

d(a, x) = s(x),

где мера, стоящая в правой части равенства, определяется скалярным произведением, вводимым на векторном пространстве с помощью положительно определённой симметричной билинейной формы, для которой введём следующие обозначения:

D(x) = s ²(x) =m(x, x) = x*x.

В аффинном пространстве рассмотрим два допустимых состояния y и x, например, план и факт. Им будут отвечать два элемента векторного пространства, два переходных процесса y и x, соответственно, из некоторого фиксированного состояния a. Каждой паре (x, y) элементов аффинного пространства будет отвечать бинарное соответствие z = (x, y) на R´R. Неравенство Коши-Буняковского

s(z) = s(x)s(y) >= m(z)

для дисперсии приводит к равенству

D = m ² + G,

где G = G(z) - определителель Грама, является неотрицательной функцией, которая может быть представлена в виде G = (n / h) ². Здесь n = n(z) -  новая метрическая функция такая, что если функция m служит мерой сходства состояний x и y, то функция n  будет мерой из расхождения, а постоянная  h служит коэффициентом их метрической связности.

Предыдущее равенство можно интерпретировать как тождество Пифагора

s ² = m ² + (n / h) ²

и при задании скалярным произведением метрической функции сходства метрическая функция расхождения будет функцией от неё

n = n(m).

Определим функцию Гамильтона

H =  ½ D

и представим её в виде

H = F*F + l,

где функция F и эрмитово ей сопряжённая F* имеют вид

F = (m + in / h) / 2^1/2,    F* = (m - in / h) / 2^1/2,

а слагаемое l является произвольной постоянной.

Подстановка этих функций в предыдущее равенство приводит к условию

nm - mn = 2lih.

Если воспользоваться произволом постоянной l и положить её равной 1/2, то получим следующее перестановочное соотношение

nm - mn = ih.

Из данного равенства по индукции можно получить равенства

n ⁿm - mn ⁿ = ihnn ^n-1,   n ^{- n}m - mn ^-n = -ihnn ^{- (n+1)},

из которых по определению производной Гато следует справедливость равенства

f (n)m - mf(n) = ihf  ^'_m (n)

для любой аналитической функции  f (n).

Рассмотрим соотношение

𝜇𝜈 – 𝜈𝜇 = -ih

и будем полагать, что 𝜇 = 𝜇(𝜈).  Аналогично предыдущему, можно считать, что существует аналитическая функция, удовлетворяющая равенству

g(𝜇)𝜈 – 𝜈g(𝜇) = -𝘪𝘩𝘨'(𝜇),

или

𝜈𝘨(𝜇) – 𝘨(𝜇)𝜈= 𝘪𝘩𝘨'(𝜇).

Отсюда находим, что имеет место обобщение равенства Гейзенберга

𝘧(𝜈)𝘨(𝜇) – 𝘨(𝜇)𝘧(𝜈) = 𝘪𝘩𝘧'(𝜈)𝘨'(𝜇).

Здесь  𝜇 является внутренним произведением пары элементов 𝘹, 𝘺 множества 𝘟, а выражение 𝜈 связано с внешним их произведением соотношением

𝜈² = 𝛤(𝘹,𝘺) = 𝘋(𝘣) = 𝘣*𝘣 = |𝘣|²,

т.е. оператор 𝜈 можно полагать равным ориентированному среднеквадратическому отклонению бивектора 𝘣.

Для оператора Гамильтона будет справедливо конструктивное выражение, определяемое среднеквадратическим выражением

𝛫 = ((𝘨²(𝜇) + 𝘧²(𝜈))/2)^1/2

посредством двух аналитических функций качественного сходства рассматриваемых объектов, функции 𝘨, и их качественного расхождения (функции 𝘧), т.е.

𝛨 = 𝛫².