СИСТЕМЫ ОТСЧЁТА

Предположим, что нам требуется решить ту или иную хозяйственную, экономическую, финансовую задачу для  хозяйственного объекта. В таком случае, прежде всего мы стремимся выделить при описании постановки задачи основные его параметры, по которым происходит индивидуализация. Но все явления в окружающем нас мире сложны и взаимосвязаны. Поэтому при решении данной проблемы мы прибегаем к приближенным методам отражения действия рассматриваемого объекта, к его идеализации в рамках постановки задачи, к построению своей модели функционирования объекта и его эволюции. Все это приводит к многообразию моделей описания действия одного и того же объекта.

Пусть    объект    наблюдается    в    конечномерном    евклидовом пространстве Е^п над полем P действительных R или комплексных С чисел, в котором метрика в окрестности фиксированного эталона а задаётся скалярным произведением m(х, у) = <y|G|x>. Евклидово пространство даёт возможность применять алгебраический аппарат к анализу количественных и качественных изменений эволюции объекта при его моделировании на качественном уровне соответствующим конечным набором количественных значений факторов, или в виде вектора

(1)                                  x = xⁱe_i = (x¹;x²;…;xⁿ)     

Вектор, с одной стороны, можно истолковать как алгебраический объект, с другой - как объект геометрии, поэтому эволюции объекта можно придать геометрическое истолкование. Например, средневзвешенный агрегатный показатель состояния

(2)                                         s(x) = D^1/2(x) = m^1/2(x, x)   

в пространстве интерпретируется как норма вектора х, или как его длина.

Геометрическим образом состояние (1) в евклидовом пространстве является точка х, а близость двух состояний х и у, которая характеризуется вектором их разности х - у = (х¹ -у¹; х² - у²; …;  х^п - у^п), определяется по расстоянию между этими точками

(3)                                              r(x, y) = s(x - y) 

Предположим, что имеются два единичных вектора, которые отличаются друг от друга только направлениями. Каждый из этих векторов, исходя из предыдущих рассуждений, можно интерпретировать в качестве соответствующего нормированного состояния некоторой организации. Поскольку длины векторов равны, то отличаются эти векторы только направлениями в соответствующем пространстве, что алгебраически объясняется различием пропорций между компонентами векторов. Но, компоненты вектора отвечают количественным значениям факторов при описании состояний организации и составляют внутреннюю дифференциальную качественную особенность её описания. Следовательно, угловое расхождение векторов можно отнести к качественному расхождению сопоставляемых состояний и это качественное расхождение можно оценить, например, геометрическим показателем

(4)                   cos q = m(x, y) / s(x,y),       s (x, y) = s(x)s(y).       

Поскольку в основе всей современной классической геометрии лежит скалярное произведение, то для анализа экономических и социальных процессов можно применять весь геометрический аппарат, в том числе и аппарат дифференциальной геометрии и топологии [1]. Так, например, предположим, что изучается эволюция организации. Эта эволюция наблюдается по изменению факторов хⁱ =fⁱ(t) - в общем случае это дифференцируемые функции распределения временного параметра на некотором конечном интервале от а до b, находящемся в области эталона. Тогда можно определить вектор скорости данной эволюции v = dx / dt  на этом интервале и оценить средневзвешенный показатель динамики эволюции

l = ò_[a,b] s(v)dt.  

Из неравенства Коши-Буняковского

m (x, y) £ s(x, y) 

следует основное метрическое тождество, на основании которого можно выделить качественно подобную составляющую х₀ = l у состоянию у в произвольном состоянии х, т.е. представить текущее состояние в виде

(5)                                                                                        x = x_o + b  

и дать количественную и качественную оценки этого расхождения. Здесь векторы х, х₀, b Î Е^п. При этом вектор х₀ содержит только качественные особенности вектора у, а вектор b этими свойствами не обладает, т.е. правая часть равенства (5) представляет разложение вектора в прямую сумму.

Пусть x Î Еⁿ и в окрестности некоторой фиксированной точки а обладает качественным признаком Y₁. Из предыдущего следует, что данный качественный признак можно полностью выделить в объекте, т.е. представить вектор х в виде прямой суммы

(6)                                                                                x = x₁ + b₁       
где введено обозначение
                                                  x₁ = q¹Y₁

Поскольку остаточный член b₁ разложения (6) выделенным свойством не обладает, то мера этого свойства в нём равна нулю, т.е. m(b₁, Y₁) = 0, и

q¹ = m(x₁, Y₁)

при условии m(Y₁, Y₁ ) = 1. Здесь, не нарушая общности, можно полагать, что q¹ > 0. Коэффициент может быть и отрицательным. Это зависит от того, как было сформулировано свойство Y₁.

Остаточный член в представлении (6) после выделения у объекта свойства Y₁  уже не содержит этого свойства и если он отличен от нуля, то обладает другими свойствами. Выделим одно из них и обозначим его символом Y₂. Будем иметь

b₁ = x – x₁ = q²Y₂ + b₂

и получаем расслоение

x = x₁ + x₂ + b₂ .

В природе каждый объект обладает неограниченным числом свойств, а каждое свойство объекта суть количественная величина qⁱ определённого качества Y_i. В объекте можно вычленить любое из свойств x_i = qⁱY_i и для анализа взять его как основное и единственное, а можно для изучения выделить некоторый конечный спектр j Î N = {1, 2, …, т} его свойств. Тогда

x = q + b_m ,   q = x₁ + x₂ + … + x_m ,

где в остаточный член b_m  включаются все неучтённые свойства. В этом случае евклидово пространство разбивается на два подпространства; подпространство X  ⊂ Р^m, элементы которого х  имеют представление

(7)                                                                       q = q ^jY_j = (q¹, q², …, q^m)            

и пространство ортогонального дополнения X^{^}  к X в евклидовом пространстве Е, т.е. имеет место прямая сумма

 Eⁿ = X + X^{^}.  

Следовательно, существует проектор

P: Eⁿ ® E^m,     q = Px,    

как прямоугольная матрица, и обратный оператор Р⁺, как псевдообратная матрица [2], такой, что если имеет место представление (7), то его расширение x = P⁺q в пространство Еⁿ  имеет компоненты (q¹, q², …, q^m, 0, 0, …, 0).

Учитывая, что m(x, b) = 0,  из основного метрического тождества

D(x)D(q) = m ²(x, q) + G(x, q)

 находим оценку остаточного члена

(8)                                                         D(b) = D(xÙ q) / D(q) =G(x, q) / D(q),   

которая свидетельствует о том, что q является наилучшим приближением х Î Еⁿ  в признаковом пространстве Е^т.

Отсюда заключаем, что состояние одной и той же организации можно наблюдать в различных системах координат, проектируя её состояние из одного пространства в другое. При этом если имеем отношение Р: Е^п —> Е^m и в окрестности эталона а Î Е^п метрика определяется метрическим тензором G_a, то в окрестности его отображения b = Ра метрика будет определяться метрическим тензором

(9)                                                            G_b = (P^-1)⁺G_aP^-1.

Предположим, что из списка п показателей описания состояния организации отбираем m, на наш взгляд, наиболее значимых. Не нарушая общности, будем полагать, что это первые m показателей в списке.

Разобьём основную метрическую матрицу G размерности пхп на четыре подматрицы

G_n´n = (G¹_m´m ï G²_m´(n-m) ï G³_(n-m)´m ï G⁴_(n-m)(n-m))

Тогда оценка состояния х будет представляется суммой

D(x) = D(q) +D(b)

где

D(x) = x*G x,   D(q) = qG¹ q,   D(b) = b*G b .

Литература.

1.    Новиков  СП,  Фоменко  А.Т.   Элементы  дифференциальной геометрии и топологии /М., Наука, 1987.

2.    Гантмахер Ф.Р. Теория матриц /М., Наука, 1988.