ОСНОВНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

 НА ПУЧКАХ

Рассмотрим множество X допустимых состояний некоторой организации, статическая схема которой определена резольвентой S_* на категории S = (Ob, F) с рекурсивной зависимостью

(1        (1)                 e(v) = ò g(v, u)e(u)du,   v Î S_j,   u Î S_i(v),

и мерой

(2         (2)                   m(e) = m(e, e) = e*e = 1. 

При возмущении x:S ® X получаем новое состояние с поэлементной рекурсией возмущения

(3)                                                x(v) = ò h(v, u) x(u)du. 

Поскольку x и e векторы одного и того же подпространства S_i(u), то в этом подпространстве существует линейный оператор осуществляющий преобразование

(4         (4)                            x(u) = A(u)e(u),      

приходим к представлению

(5          (5)                    x(v) = ò L(v, u) e(u) du, 

где введено обозначение

(6           (6)                        L(v, u) = h(v,u)A(u),     

что говорит о том, что возмущение объекта можно рассредоточить по связям между его элементами, без возмущения последних.

Математическое ожидание возмущённого состояния x по отношению состояния e  оценим величиной

(7           (7)                    l =E(x) = m(x, e) = e*x.        

Для фиксированного элемента v Î S_j эта оценка принимает вид

(8          (8)        l(v) = E(x)(v) = ò e*(u)L(v, u)e(u)du,    v Î Ob,  

т.е. является средним значением оператора L  на произвольном (объёме) симплексе S_i(v), v Î S_j, где S_i, S_j - произвольные страты S_* и i < j Î N = {1, 2, …, n}.  

Вторую оценку можно интерпретировать как среднеквадратическую оценку возмущения

  (9)                      s(x)(v) = D^1/2(x)(v) = m^1/2(x, x) = ò e*(u)L*(v, u)L(v,u)e(u)du)^1/2.  

В случае самосопряжённости оператора L имеем

(1        (10)                                     s(x)(v) = (ò e*(u)L²(v, u)e(u)du)^1/2 .      

Выражение (10) можно принять за норму вектора-состояния x в пространстве L₂(X, m)

(1         (11)                                           ||x|| = (e*L²e)^1/2      

и обобщить её на оценку состояния в любом пространстве L_p(X, m) (p > 1):

 (12)                                       ||x||_p = (e*L^pe)^1/p.     

Анализ вариации случайного состояния удобно проводить по её отклонению относительно нормированного априори известного его случайного состояния e, т.е. по центрированной случайной величине

(1         (13)                                                    u = x – e.

Т.к. математическое ожидание (7) величины (13) равно нулю, то первой величиной, содержащей информацию об отклонении этой величины от среднего, будет дисперсия

(1           (14)                             D(u) = m(u, u) = e*(L - lI)²e = s²(u),  

где символ I определяет на каждом множестве S_i(v), v Î S_j,  единичный оператор (идемпотент)

(1           (15)                               I = M(e) = ee*,   e*Ie = e*e = 1.   

Величина s(u) является стандартным отклонением, а переменную

(1            (16)                                                x = u /s(u)      

называют приведённой, стандартной, нормированной или безразмерной случайной величиной. Для приведённой случайной величины имеем

    (17)                                    E(x) = 0,      D(x) = s ²(x) = 1.    

На структуре (1) рассмотрим два случайных состояния x, y Î X и построим вектор-функцию этих состояний (см. (2.4) монографии [1])

(1            (18)                                       z = z(x, y) = x^ky^l.   

Эта функция определена на структуре S_*´S_*. Очевидно, она будет так же случайной. Математическое ожидание случайной функции (18) называют kl-моментом относительно нуля

   (19)                                      l_kl = E(x^ky^l).   

Определим на структуре S_*´S_* точку (x_o, y_o), где

x_o = E(x)e = ae,    y_o = E(y)e = be,

и рассмотрим функцию

(2              (20)                         w = w(x, y) = (x - x_o)^k(y - y_o)^l = u^kv^l. 

Здесь, аналогично (13), введена центрированная случайная величина

v = y – y_o

Математическое ожидание этой функции

(2              (21)                                              m_kl = E(w) = E(u^kv^l)         

является центрированным относительно точки z₀ = (x_o, y_o) kl-м моментом.

Выпишем младшие моменты, которые наиболее часто применяются в анализе наблюдений:

l₀₀ = m₀₀ = 1,       l₁₀ = a,     l₀₁ = b,

(2              (22)                                                  m₁₁ = E((x – x₀)(y – y­₀)) = cov(x, y),

m₂₀ = E((x – x₀)²) = s ²(x),  m₀₂ = E((y – y₀)²) = s ²(y).

Момент m₁₁ называется ковариацией бинарного соответствия z = (x, y) случайных величин x и y, моменты m₂₀ и  m₀₂ – дисперсиями этих случайных величин, а оценки s(x) и s(y), соответственно, среднеквадратическими отклонениями данных величин от их средних значений.

Введём обозначение s(z) = s(x)s(y) и запишем для возмущения dz =z- z₀ основное метрическое тождество

(2               (23)                                    s ²(z) = E²(dz) + G(dz).    

Из неравенства Коши-Буняковского следует, что второе слагаемое правой части неотрицательно. Если данное равенство разделить на левую часть и ввести обозначения:

(2                 (24)                                           p = E²(dz) / s ²(z),                        

(2                 (25)                                           q = G(dz) / s ²(z),         

то приходим к соотношению

(2                 (26)                                                        p + q = 1.

Оба выражения (24) и (25) неотрицательны и по мере роста сходства (с убыванием вариации, ||dz|| ® 0) слагаемое (24) монотонно возрастает, а слагаемое (25) – убывает. Учитывая их связь (26), выражение (24) определим как вероятность сходства состояний, а выражение (25) – как вероятность их расхождения. По определению величинаx

(2                 (27)                                         r = ± p^1/2 = ± cov(z) / s(z)   

является коэффициентом корреляции; величину

(2                  (28)                                         s = ± q^1/2 = ± G^1/2(dz) / s(z) = var(z) / s(z)    

назовём коэффициентом вариации, определяя вариацию выражением

      (29)                         var(z) =  ± G^1/2(dz).    

Широкое применение в многомерном экономическом анализе получили функции Кобба-Дугласа

(3                  (30)                                     F(x)  = Õ_kÎN x_k^a(k)  

где аргументом функции служит положительно определённый вектор x = (x_k| k Î N). Математическое ожидание такой функции в многомерных оценках (19) и (21) даёт моменты различных порядков относительно нуля

(3                  (31)                                    l_{a(1)a(2) … a(n)} = E(F(x))   

и относительно точки x_o = (E(x_k^a(k)| k Î N))

(3                   (32)                                     m_{a(1)a(2) … a(n)} = E(F(x - x_o )),       

а ковариационная матрица

(3                    (33)                              C = E(M(x - x_o)) = E((x – x_o)(x – x_o)*)  

определяет математические ожидания (ковариации) пофакторных бинарных соответствий (внедиагональные элементы) и факторных дисперсий (диагональные элементы).

Литература.

1.     Брант З. Статистические методы анализа данных /М., Мир, 1975.