КОММУТАЦИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА

Будь то излучение атома или замена игрока на поле, модернизация предприятия или смена его руководства – всё это суть качественные изменения  в соответствующей системе.

Состояние системы будем рассматривать как событие x, которое описывается вектором наблюдения

            (1)                                x = XU

в гильбертовом пространстве, где X – количественный оператор, можно полагать его прямоугольной матрицей (наблюдаемая), а U – унитарный оператор, который характеризует качество данного состояния и который представим в виде

           (2)                            U = exp(- j),  

где показатель степени задаётся величиной

(3)                                         j = iq / h    

Здесь, очевидно, можно считать, что характеристика q определяет внутреннее качественное состояние системы в текущий момент времени.

Не нарушая общности, оценку состояния системы относительно её "нулевого" состояния определим дисперсией

         (4)               D(x) = x*x = (XU)*(XU) = U*X*XU = U*AU, 

которая будет средней величиной a эрмитова оператора

(5       (5)                                     A = X*X.

Положим, что эта оценка является функцией временного фактора. От временного фактора может явно зависеть либо только количественный оператор (5) (представление Шредингера), либо только качественный оператор (2) (в представлении Гейзенберга), либо и тот и другой, т.е. будем полагать

          (6)                                    a(t) = D(x).

Определяя скорость изменения оценки (6), получаем

          (7)            da / dt = (¶ U / ¶ t)*AU + U*(¶ A / ¶ t)U + U*A(¶ U/ ¶ t).          

Если продифференцировать обе части равенства (2), то придём к уравнению Шредингера

         (8)                            ih (¶U / ¶t)  = HU,    H = ¶q /¶t ,

которое в нашем случае характеризует скорость качественных изменений.

Оператор H, стоящий в его левой части является оператором Гамильтона. Он характеризует усилие, которое необходимо осуществить для того, чтобы произошли эти качественные изменения. Поскольку параметр q в полярной системе координат определяет угловую меру структурных сдвигов, то гамильтониан можно записать в виде метризуемой параметром h угловой скорости

          (19)                                            H = hw.

Уравнение, сопряжённое (8), принимает вид

             (1 0)                                       ih (¶U* / ¶t)  = - U*H.

Умножая равенство (8) справа на вектор состояния (1), а ему сопряжённое равенство (10) слева на сопряжённый вектор текущего состояния и вычитая из первого полученного выражения второе, приходим к равенству

             (11)                          ih (U*A(¶U / ¶t) +(¶U* / ¶t)AU ) = U*(AH - HA)U.   

А, если полагать количественный оператор независимым явно от времени, то равенство (11) можно записать в виде

             (12)                       ih ¶(U*AU) / ¶t = U*(AH - HA)U,

или, переходя к оценке (6), оно запишется в виде

             (13)                              ih da(t) / dt = U*(AH - HA)U.

Предположим, что фиксированы два собственных вектора гамильтониана U₁ и U₂, отвечающие собственным значениям E₁ = hw₁ и E₂ = hw₂, соответственно, т.е. имеем

             (14)                                HU₁ = E₁U₁,    HU₂ = E₂U₂,    

и найдём оценку состояния x₂, которому отвечает вектор x₂ = AU₂ относительно состояния x₁, с соответствующим вектором состояния x₁ =U₁. Эта оценка в силу соотношения (6) определяется метрическим функционалом

            (15)                                  m(x₂, x₁) = x₁*x₂ = U₁AU₂.                    

Для меры (15) соотношение (13) принимает вид

            (16)                             ih d(U₁*AU₂) / dt = U₁*(AH - HA)U₂.  

И, в случае фиксирования качественных признаков, получим равенство

             (17)                                U₁*(ih dA / dt)U₂ = U₁*(AH - HA)U₂,

из которого вытекает коммутационное соотношение Гейзенберга

             (18)                                       ih dA / dt = AH – HA.

Если оператор A на некотором временном интервале коммутирует с гамильтонианом, то на этом интервале dA / dt = 0 и оператор A является интегралом движения на данном интервале движения.