К разделам сайта: Домой Примеры Теория индексов Банки Физика
ПРИВЕДЕНИЕ ОСНОВНОГО МЕТРИЧЕСКОГО ТОЖДЕСТВА К УРАВНЕНИЮ ШРЕДИНГЕРА
Пусть множество допустимых состояний X некоторой системы является подмножеством сепарабельного гильбертова пространства над полем действительных или комплексных чисел и x, y Î X – два произвольных допустимых состояния этой системы. Тогда из предыдущего следует, что данные состояния можно привести к одной и той же качественной функции. Поэтому в целях упрощения приведём их к общей функции качестваY
x = QY, y = PY,
которую примем за чистое состояние. Тогда количественные характеристики в произвольном случае будут эрмитовыми операторами.
На множестве допустимых состояний построим метрическое пространство (X, m), мера на котором, определяемая равенством
m(x, y) = y*x,
даёт оценку содержания фиксированного в состоянии y агрегатного свойства в состоянии x, которую определим как оценку бинарного соответствия
z = (x, y).
Величины
E(z) = E(y)E(x) = Y*AY A = PGQ,
D(z) = D(y)D(x) = Y*BY, B = P2GQ2,
s(z) = D1/2(z) = s(y)s(x), G = M(Y) = Y*Y,
определим как математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение относительно нулевой точки z = 0 = (0, 0), которые будем рассматривать как операторы, действующие в пространстве Z = XxX.
Запишем основное метрическое тождество
D = m 2 + n 2.
Очевидно, в этом тождестве все величины будут функциями координат r; дисперсия, с точностью до постоянного множителя, совпадает с гамильтонианом и полностью описывает бинарное соответствие исходных состояний; а в случае унитарности их операторов величина p = m 2 характеризует вероятность обнаружения агрегатного свойства состояния y в состоянии x, или вероятность обнаружения общего свойства их бинарного соответствия.
Второе слагаемое правой части основного метрического тождества характеризует структурные сдвиги и, следовательно, является функцией координат
n = f(r).
Предположим, что величина l является собственным значением оператора D, т.е. имеет место равенство
DY = lY.
Перепишем дисперсию в виде
D = l + (m - if(r))(m + if(r))
и, полагая функцию f неопределённой, подберём её так, чтобы выполнялось равенство
l + (m - if(r))(m + if(r)) = m 2 + n 2.
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, будем иметь
f 2(r) – i(f(r)m - mf(r)) +(l - n 2) = 0.
Полагая, что для искомой функции выполняется коммуникационное соотношение Гейзенберга
f(r)m - mf(r) = ih∇rf,
приходим к уравнению
h∇rf + f 2(r) + (l - n 2) = 0.
Последнее уравнение можно упростить, если ввести новую искомую функцию формулой
f = h ∇rY / Y.
Относительно новой функции получаем уравнение
h2∇r2Y + (l - n 2)Y = 0.
Это уравнение и есть уравнение Шредингера для данной задачи.
Поскольку l - n 2 ³ 0, то вводя обозначения
m 2 = l - n 2,
приходим к уравнению
h2∇r2Y + m 2Y = 0,
или
h2 DrY + m 2Y = 0,
при дополнительном условии
Y*Y = 1.
В случае унитарности операторов состояний D(x) = D(y) = 1, m 2 = p и уравнение Шредингера принимает вид
h2 DrY + pY = 0.
Отсюда следует
pY = (-ih∇r)2Y = m2Y,
т.е. мера
m = m(x, y) = -ih∇r
характеризует импульс, который нужно приложить к состоянию y для его перевода в состояние x, а квадрат меры определяет вероятность обнаружения этого импульса.