СОЦИАЛЬНАЯ ФИЗИКА
К разделам сайта: Домой Примеры Теория индексов Банки Физика
К разделам сайта: Домой Примеры Теория индексов Банки Физика
|
ОСНОВНОЕ ТОЖДЕСТВО
И ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МЕРЫ
Рассмотрим на резольвенте S* некоторого пучка две случайные величины
(1) x = A|j>, y = B|y>,
определённые на множестве K действительных или комплексных чисел.
Величины разнокачественные, т.к. могут быть определены на разных её слоях. Но, для величин качества, как векторов гильбертова пространства, существует связывающий их оператор
(2) |j> = T|y>
и данные величины можно привести к одному и тому же качеству
(3) x = AT|y>,
либо
(4) y = BT-1|j>.
Если пучёк градуированный, то операторы представлены прямоугольными матрицами и обратный оператор здесь будет псевдообратной матрицей.
Зафиксируем их значения, например, их средними величинами, и рассмотрим флуктуации
(5) u = (A – E(x)Ij)|j>, v = (B – E(y)Iy|y>.
На множестве S* определим бинарное соответствие. Символически представим его в виде
(6) w = (u, v) = {(AT – E(x)Iy),(B – E(y)Iy)}|jy> = C|w>
и запишем для него основное метрическое тождество
(7) D(w) = m 2(w) + G (w),
которое определено в поле K´K.
После деления обеих частей (6) на левую часть и факторизации полученной правой части приходим к следующему представлению
(8) 1 = F*(w)F(w) = m(F, F) = m(F),
где введены обозначения:
(9) F = (m + in) / s, F* = (m - in) / s, n = n (w) = G1/2(w).
Подкоренное значение в последнем выражении (9) является неотрицательной величиной, т.к. переменные (1) рассматриваются как элементы гильбертова пространства – векторы и мера в этом пространстве определяется скалярным произведением векторов.
Из тождеств (7) и (8) следует, что новая метрическая функция (9) полностью описывает состояние w бинарного отношения флуктуаций (u, v) и в полярной форме имеет представление
(10) F = e iq/h,
где для полярного угла введено обозначение
(11) q =q(w) = h arctg(n(w)/m(w)).
Предположим, что функции (1) определены на интервалах I =[a, b), J = [c, d) действительной оси, соответственно. Тогда их бинарное соответствие (3) будет определено в прямоугольнике W = I´ J Ì ℝ´ℝ . Доопределим его на всю координатную плоскость ℝ´ℝ и метрическое тождество представим в виде
(12) 1 = m(F)(W) = òòW <F(w')|F(w)>dwdw'.
Поскольку здесь подынтегральное выражение зависит от двух переменных, то его перепишем в виде
(13) 1 = m(F)(W) = òℝ òℝ f(x, y)dxdy
и рассмотрим функцию
(14) F(w)(W) = òW f(w)dw = òI òJ f(x, y)dxdy = F(u, v),
где интегрирование проводится по интервалам I = (- ∞, u), J = (- ∞, v), соответственно, W = I´ J. Отсюда находим
(15) ¶ F(w) / ¶ w = f (w) = f (u, v) = ¶2F(u, v) / (¶ u ¶ v).
Если на множестве W определить s-алгебру ℱ и построить метрическое пространство (W, ℱ, m ), то функцию F = F(w)(S), S Î ℱ, можно рассматривать как функцию совместной плотности распределения на S* случайных величин (1), а дифференциальное отношение (15) – как оценку их совместной плотности вероятности.
При введении маргинальных распределений
(16) g(u) = òℝ f(u, v)dv, h(v) = òℝ f(u, v)du,
если нет необходимости учитывать распределение одного из параметров, можно построить распределение вероятности лишь по одному из параметров. Так, если полагать, что параметр u Î I = [a, b), а v Î (-∞ , +∞ ), получаем
(17) P(a £ u < b, -∞ < v < +∞) = òI g(x)dx.
При J = [c, d) имеем
(18) P(u Î ℝ, v Î J) = òJ h(y)dy.
Аналогично (6) на структуре S* определить ввести n-арное соответствие, для которого имеет место основное метрическое тождество (7) и функция распределения описывается соотношением (14). При этом, если ввести многомерную переменную w= (u1, u2, …, un) Î W Ì ℝn и для некоторого аргумента uk задать интервал I(k) = [ak, bk) его изменения, то можно определить маргинальное распределение этого аргумента на данном интервале
(19) g(uk) = òV f(w)dw', V = ℝn-1, dw' = du1du2…duk-1duk+1… dun,
и найти для него распределение вероятности
(20) P(uk Î I(k), w' = (u1, …, uk-1, uk+1, …, un) Î ℝn-1) = òI(k) g(x)dx.
Пусть W пространство элементов бинарного соответствия w = (х, у) Î S*´S*, на котором построено пространство наблюдений
(21) x =C|F> = (x(u) = ò W C(u, v)|F(s)>ds : u Î U)).
Сравним его с наблюдением h = В|Ф> по мере m, которую в пространстве наблюдений определим скалярным произведением
(22) m(x, h ) = h*x = <F|B*C|F> = òU h*(u)x(u)du.
Имеем
(23) m(x, h ) = <F|A|F> = òW òW A(s, t)e –i (q(s) - q(t)) / h dsdt
где введено обозначение
(24) A(s, t) = ò U B*(s, u)C(t, u)du
В случае, когда наблюдение h принимается за чистое состояние, из основного метрического тождества находим выражение для оценки флуктуации относительно нулевого значения
(25) G (x) = G (x, h) = E(x2) – E2(x),
которое устанавливает связь между флуктуацией наблюдаемой и её математическим ожиданием и из которого находим, что в случае оценки флуктуации относительно средней оценка совпадает с дисперсией наблюдаемой.
В экономическом многомерном анализе применяются функции типа Кобба-Дугласа
(26) F(x) = Õ kÎN xa(k) , N = {1, 2, …, n},
где х = (хк| k Î N).
Математическое ожидание такой функции в многомерных оценках даёт моменты различных порядков относительно нуля
(27) la(1) … a(n) = E(F(x))
и относительно точки xo = (E(xka(k) | k Î N)),
(28) ma(1) … a(n) = E(F(x - xo)),
а ковариационная матрица
(29) C = E(M(x - xo)) = E((x – xo)(x – xo)*)
определяет математические ожидания (ковариации) пофакторных бинарных соответствий (внедиагональные элементы) и факторных дисперсий (диагональные элементы).
Литература.
1. Dirac, Р.А.М. The Principles of Quantum Mechanics, Oxford, Oxford University Press, 1930 ( 1984).
2. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология /МГУ. 1988.
3. Фёдоров В.М. Курс функционального анализа /С.-П., М., Краснодар, 2005.
4. Адамов В.Е. Факторный индексный анализ /М., Статистика, 1977.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика /М., Наука, 1989.
6. Швингер Ю. Квантовая кинематика и динамика /М., Наука, 1992.