К разделам сайта:          Домой        Примеры       Теория индексов      Банки      Физика

ОПЕРАТОР КАЧЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

В аффинном пространстве состояний рассмотрим симплекс A³ = (a, y, x) Î X,  а в присоединённом векторном пространстве X возможных смещений состояний, как подпространства гильбертова пространства H с мерой m(x, y), x, y Î H, определим три биекции

(1)                      Q_a : a ® Q(a, y) = y,  Q_a : a ® Q(a, x) = x,  Q_y : y ® Q(y, x) = u.  

Каждая биекция определяет возможное смещение состояний, т.е. включает и возможные качественные преобразования состояний. Будем полагать, что первые два смещения (1) определяют чистые состояния

(2       (2)                                    D(x) = D(y) = 1

и их качественные отличия малы. Соотношение Шаля приводит к равенству

(3       (3)                                         x = y + u,  

в котором второе слагаемое правой части, в силу малого качественного различия состояний x и y, мало. Учитывая равенства (1) и отбрасывая малые более высокого порядка, из соотношения

D(x) = D(y) + m(y, u) + m(u, y) + D(u)

находим, что

m(y, u) = 0.

Это говорит о том, что состояние x отображается суммой двух ортогональных векторов. При этом направление первого вектора совпадает с направлением вектора x, а направление второго вектора ему ортогонально. Значит первое слагаемое определяет составляющую, качественно подобную исходному состоянию, второе – отвечает качественным преобразованиям.

Любое наблюдение изменения состояний всегда рассматривается в определённой системе координат (карте). Поэтому, в общем случае, равенство будем рассматривать в обобщённой системе координат q и в этой системе координат будем рассматривать векторное равенство (3). Воспользовавшись малостью второго слагаемого, разложим правую часть равенства (3) в точке y Î X в ряд Маклорена

(4            (4)                                  x = (I + j + ½ j ² + …) y,              

где введено обозначение

      (5)                                       j = u ¶ / ¶q = u Ñ_q .                   

Оператор (5) действует в присоединённом пространстве на векторы возможных переходов из состояния y, т.е. на векторы, закреплённые в точке y , как линейный функционал [1]. Множество всех таких функционалов определяет касательное пространство к пространству возможных состояний X в точке y с базисом j ^o_k = ¶ / ¶ q^k, k Î N = {1, 2, …, n}.  Просуммировав ряд, получаем выражение

(6            (6)                                              x  = T_j y,             

где оператор преобразования

(7             (7)                                              T_j  = e^j                  

является унитарным. Обратное преобразование имеет вид

(T_j)^-1  = e ^-j ,    

Оператор (7) с одной стороны характеризует качественные преобразования состояния y до его совпадения с качеством состояния x. С другой стороны, он определяет поворот единичного вектора y до его совпадения с вектором x вокруг их общего начала, точки a, на некоторый угол q, т.е.

φ = φ(q ).

Следует отметить, что изменение качества суть внутренние структурные преобразования  явления и, чтобы они происходили, нужно приложить некоторый силовой импульс, силовое усилие. Следовательно, аргумент оператора связан с этим воздействием, с данным импульсом – некоторым вектором p. В квантовой физике вектор силового воздействия связывают с вектором градиента отношением

Ñ_q = ip / h   

где величина h является метрическим коэффициентом связности. Подставляя это выражение  в (5), с учётом (6) находим выражение для оператора качественных преобразований

(8                 (8)                                              T_j = exp(ip/h).                                                  
Литература.

1.     Базылев В.Т. Геометрия дифференцируемых многообразий /М., Высшая школа, 1989.