К разделам сайта: Домой Примеры Теория индексов Банки Физика
НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ ГЕЙЗЕНБЕРГА В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
Определим множество допустимых состояний объекта, заданное на структуре S*, как подмножество X гильбертова пространства, метрика в котором определена эрмитовой формой
m(x, y) = y*x =`y Tx,
где x и y – произвольные элементы множества X, т.е. произвольные допустимые состояния объекта, которые можно представить в виде количества определённого качества
x = Aj, y = Py,
полагая, что элементы j и y описывают чистые состояния, т.е.
m(j) = m(y) = 1, M(j) = Ij, M(y) = Iy,
где введены обозначения:
m(j) = m(j, j), M(j) = M(j, j) = jj*.
Поскольку величины j и y являются элементами одного и того же гильбертова пространства, то существует эрмитов оператор B такой, что
j = By.
Очевидно, это оператор преобразования системы координат, позволяющий сравнивать данные состояния по одному и тому же качеству y, т.к. имеем
x = Qy,
где для удобства введено произведение операторов
Q = AB.
Определим математические ожидания данных величин
q = E(x) = m(x, y), p = E(y),
их средние величины
xo = qy, yo = py,
и отклонения от средних величин
Dx = x – xo = (Q - qI)y, Dy = y - yo = (P - pI)y, I = Iy.
Рассмотрим комплексную величину
z = x +iay,
где a - произвольная положительно определённая метрическая величина.
Средняя этой комплексной величины будет равна
zo = (q + iap)y.
Найдём отклонение от среднего значение
Dz = z – zo = Dx +iaDy.
и дисперсию величины z:
D(z) = D(x) + a2D(y) + ia(m(Dy, Dx) - m(Dx, Dy)).
Но,
m(Dx, Dy) = `m(Dy, Dx)
и если m = a +ib, то `m = a – ib и, как следствие, получаем
m(Dy, Dx) - m(Dx, Dy) = ih,
где введено обозначение h = 2b, т.е. величина h является некоторой постоянной. Легко показать, что последнее скалярное равенство приводит к коммутационному соотношению Гейзенберга для количественных операторов состояний
QP – PQ = ih.
Для дисперсии комплексной величины z получаем представление
D(z) = D(x) + a2D(y) - ha.
Из условия не отрицательности дисперсии и положительности метрического параметра a находим, что справедливо неравенство
f(a) >= h,
где
f(a) = a -1 D(x) + a D(y).
Данная функция достигает минимума при
a = s(x) / s(y).
Отсюда находим минимальное значение функции
fmin = 2s(x)s(y)
и приходим к неравенству
s(x)s(y) >= h / 2,
которое характеризуется как соотношение неопределённости Гейзенберга и относится к одновременному измерению двух возможных состояний одного и того же объекта, т.е. при одновременном измерении двух возможных состояний произведение их среднеквадратических отклонений не может быть сделано меньше некоторой постоянной величины
s(x, y) >= h / 2.
Отметим, что величины x и y – это разнокачественные описания либо характеристик одного и того же объекта, как, например, положение объекта и действующего на него момента, так и различных его возможных состояний по одной и той же структуре S*.