ОСНОВНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО 

Пусть X измеримое множество состояний некоторой организации. Выберем на этом множестве эталон аив окрестности эталона U_a построим аффинный базис, т.е. признаковую систему Y  = {Y_k: k Î N = {1, 2, ...}} описания качества её произвольного состояния  x Î U_a. Ограничиваясь аддитивной зависимостью получим 

(1)                                                                   x = x^kY_k .             

 В общем случае представление (1) определяет тензор. Его можно рассматривать как структурированный вектор, например, прямоугольную матрицу либо как обычный вектор.

Для удобства, в ряде случаев для расслоения (1) будем применять символы Дирака (ket - символ |·> и сопряжённый bra - символ <· |, а также скобку braket: <· | ·>) так, что

x = |x>.      

Естественно состояние организации рассматривать как функцию некоторого параметра, например, времени на n-мерном ограниченном множестве допустимых состояний. Тогда состояние будет непрерывной функцией этого параметра, т.е. на X ⊂ Rⁿ будет обладать С-свойством. Как следствие, состояние будет непрерывной функцией и в окрестности эталона U_а и по теореме Лузина [1] она в этой области будет измерима, например, сравнима по некоторой мере m  с эталоном, либо с другим состоянием из данной области. Если меру определить скалярным произведением 

(2)                                                        m(x, a) = a*x,   

где а* сопряжённый вектор вектору а, то выражение будет определено в виде положительно определённой эрмитовой формы 

(3)                                                                          m(x, a) = g_kl a^kx^l ,  1 £ k,  l £ n .

Коэффициенты формы определяются отношением между качественными признаками

(4)                                             g_kl = Y_k*Y_l                

и в случае независимости признаковой системы, когда каждый признак определяет единицу соответствующего качества, будем иметь

(5)                                                                                             g_kl = d_kl .  

Введём матрицу G, составленную из коэффициентов билинейной формы и, соответственно, единичную матрицу I_а, и меру (2) с учётом (3) представим в виде

(6)                                                                   m(x, a) = a*Gx = <a|G|x> 

где G  рассматривается как линейный оператор, действующий на элементы области U_a слева, а в сопряжённой ей области U_a* - справа. Матрица I_а будет тождественным оператором в этих областях. Естественно полагать эталон нормированным 

(7)                                                                   D(a) = m(a, a) = <a|G|a> = 1    

и меру (2) обобщить на любую пару х, у Î U_a допустимых состояний из области эталона а 

(8)                                                                m(x, y) = y*Gx = <y|G|x>.

Из векторного равенства (6) [2, стр. 169] и соотношения между бивектором и = xÙ y и векторным произведением х´у основное метрическое тождество в обозначениях (7) и (8) можно записать в виде

(9)                                                       D(y)D(x) = m ²(x, y) + D(u). 

Здесь величина

(10)                               D(u) = D(x)D(y) - m ²(x, y) = G (x, y) ³ 0, 

равная определителю Грама, построенного на векторах x иy, является индикатором расхождения состояний х и у при их сравнении. Для бивектора и справедливо представление

(11)                  u = (xⁱ y ^j – y ^I x ^j)Y_iY_j ,    1 £ i, j £ n,    

а, следовательно, для его скалярной свёртки (10) получаем разложение

(12)        D(u) = g_il g_jk (xⁱ y ^j – y ⁱ x ^j)(x^ky ^l – y ^kx ^l),   1£ i < j, k < l £ n. 

В практике анализа часто возникают задачи сравнения двух организаций, когда их деятельность описывается в одних и тех же показателях, говоря иначе, когда их возможные состояния определяются в одном и том же пространстве допустимых состояний X ⊂ Rⁿ. Предположим, что состояние каждой организации определяется парой векторов a, b  и х, у, например, «план-факт» одной организации и «план-факт» другой. В этом случае бивекторы и = х Ù у и v = а Ù b характеризуют отклонения фактических достижений организаций от их планов, а величины D(u) и D(v) являются индикаторами этих отклонений.

Учитывая метрическое тождество

(13)                m(u, v) = m(x, a)m(y, b) - m(y, a)m(x¸b) ,     

в котором в правой части стоит взаимный определитель Грама и из которого как следствие вытекает (10), находим меру для сравнения состояний и и v и снова приходим к основному метрическому тождеству

(14)                         D(u)D(v) = m(u, v) + G(u, v).    

Очевидно, в данном случае бивекторы и, v Î ХÙХ и являются кососимметричными тензорами ранга типа (0, 2) в n-мерном пространстве. Тождество остаётся справедливым для любых тензоров и, v Î ХÙХ*ÙХÙ ... ÙХ ранга (р, q), [3], при произвольной расстановке q множителей X и р сопряжённых множителей X*.

В общем случае тензоры и, v можно рассматривать как структурированные векторы пространства Zⁿ, заданные над полем Z действительных или комплексных чисел, размерности n^p+q. 

Литература.

1.     Фёдоров В.М. Курс функционального анализа /С.-П., М., Краснодар, 2005.

2.     Постников М.М. Аналитическая геометрия /М., 1986.

3.     Дмитриенко Ю.И. Тензорное исчисление /М., 2001.