АЛГЕБРЫ НА СТРУКТУРАХ

В окружающей нас действительности все наблюдаемые процессы (в том числе социального, экономического, производственного характера) описываются множеством факторов. Факторы выстраиваются в стройную иерархическую стратифицированную систему. При этом, "понимание системы   возрастает при последовательном переходе от одной страты к другой: чем ниже мы cпускаемся по иерархии, тем более детальным становится раскрытие системы, чем выше мы поднимаемся, тем яснее становится смысл и значение всей системы" (стр. 61, [1]). В представлении структуры любой наблюдаемой ограничимся спектральной её организацией, т.е. малой категорией, спектром [2]

(1)                                 j = (Ob, H)

такой, что если V, U Ì Ob два слоя и U доминирует слой V, то имеет место расслоение

(2)                          Ker φ = {V_b | b Î U}.

Любое состояние организации (1) определяется функтором

(3)                            f(j) = (f(Ob), f(H)),

где совокупность объектов, элементов категории (3),  характеризует её внутреннее качественное расслоение и, в конечном случае, определяет качество организации в целом. И если фиксируется случайный элемент x Î f(j) организации, то его всегда следует рассматривать с позиции двух взаимно дополнительных фундаментальных универсальных характеристик материи в любой её форме самоорганизации, внешней количественной характеристики Q Î f(H) и внутренней дифференциальной качественной характеристики F = f(Ob) [3]. Для отличия качественной характеристики от характеристики количественной удобно для качественной характеристики использовать специальные обозначения, например, скобки Дирака "braket" [4], т.е.

(4)                           x = |x > = QF = Q|j >,

где количественная характеристика рассматривается как оператор.

В силу расслоения значение величины (4) зависит от её положения в структуре организации, т.е. от слоя U, на котором она находится, и от её положения u Î U   в этом слое. Более того, элементы организации в большей или меньшей степени подвержены флуктуациям, т.е. зависят от временного фактора t. Таким образом, получаем

(5)                     x = x(u, t) = |x(u, t)>,    u Î U,  t Î T.

Рассмотрим выражение (4). Пусть левая часть этого выражения является функцией двух переменных (5), в виде действующего на структурный элемент j =|j > оператора Q. Если считать, что сама структурная схема (1) организации не зависит от временного фактора, то выражение  (4) позволяет одно и то же состояние системы рассматривать в двух вариантах: во-первых полагать, что от временного фактора не зависит структурный элемент, т.е.

(6)                                  |j > = |j(u)>,                   

а зависит только действующий на структурный элемент оператор

(7)                                   Q = Q(u, t),  

и во вторых, когда от временного фактора зависят и сам элемент структуры, и действующий на него оператор. В квантовой механике первое представление системы определяется как  представление Гейзенберга, второе – как представление Шредингера. Как видим, оба эти представления взаимно связаны [5]. Действительно, пусть |j > характеризует независимую от временного фактора структуру, а функтор A = A(t). Тогда |y > = A|j > = |y(t)> является так же структурой, но уже зависимой от временного фактора.

Зафиксируем на слое U произвольный элемент u. На доминанте V ему будет отвечать подмножество сопряжённых элементов V(u). Случайное состояние этого элемента представим в интегральном виде (используя представление Шредингера)

(8)                              |x> = Q|j> = ò _V(u) Q(u, v, t)|j(v, t)>dv   

с формальной записью в виде

(9)                                    |x> = ò Qdj  

Наконец, пусть слой V доминирует слой W. Тогда имеет место ортогональное расслоение

(10)                                        V' = å ^{^} _vÎV V'(v)      

и представление

(11)                         |j(v, t)> = ò _V'(v) P(v, v', t)|j(v', t)>dv',  

подставляя которое в (8), получаем представление

(12)                   |x(u,t)> = ò _V(u) Q(u, v, t)|j(v', t)>dv',  

которому можно придать вид (9), если ввести бинарное соответствие w = (v, v') Î V´V' = W, оператор A =A(u, w, t) = Q(u, v, t)P(v, v', t) и обозначение dj = dj(w, t) = |j(v', t)>dvdv' :

(13)                               x = |x(u, t)> =  ò_W Adj =A|j>, 

где новый оператор A равен произведению операторов Q и P. Если ввести обозначение y = |j >, то приходим к равенству

(14)                                              x = Ay

В соответствии с теорией Неймана-Дирака каждому состоянию x из области допустимых состояний X можно поставить вектор гильбертова пространства. Следовательно, равенство (14) будет векторным равенством, в котором в силу представления (13) оператор осуществляет линейное преобразование. Меняя промежуточный слой V, будем получать различные расщепления множества W =W(u) и, если вводить на каждом из них  s-алгебры  ℱ  = ℱ_v(W(u)), получать различные метрические множества (X(W), ℱ, m), с мерой

(15)                                           m(x, y) = y*x = <y|x>

 и нормой состояния соответствующего  элемента

(16)                                   ||x|| = <x|x>^1/2 = <y|A*A|y>^1/2 .

Когда мера определяется действительной функцией, получаем выражение

(17)                               ||x|| =<y|A²|y>^1/2  = (ò _W A²dm)^1/2 . 

Если множество V(u) конечно, Card V(u) = n, то из соотношения (13) находим разложение состояния элемента u Î Ob структуры (2) в прямую сумму

(18)                          x = x₁ + x₂ + … + x_n = Pⁱy_i ,  i Î N = {1, 2, …,n}.

Здесь каждый элемент x_i определяет вклад элементов слоя W с позиции уровня V, а оператор Pⁱ даёт возможность по мере (15) оценить вероятность этого вклада.

Выражение (17) определяет норму функции x(u, t) в пространстве функций суммируемых с квадратом. Не нарушая общности, состояние y(u, t) можно считать чистым состоянием

(19)                         m(y) = m(y, y) = y*y = 1,        M(y) = M(y, y) = yy* = I_y,

где I_y – тождественный оператор. В этом случае можно определить норму в пространстве функций суммируемых со степенью p > 1

(20)                              ||x|| = (ò _W A^pdw)^1/p   

Отметим, что если в равенстве (14) оба вектора единичные и различные, то оператор A, является оператором вращения.

Литература.

1.     Месарович М., Мако Д., Тахакара И. Теория иерархических многоуровневых систем /М., Мир, 1973.

2.     Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология /М., МГУ, 1988.

3.     Идлис Г.М. Единство естествознания по Бору и единообразные взаимносвязанные периодические системы физики, химии, биологии и психологии /Исследования по истории физики и механики //М., Наука, 1990.

4.     Dirac, Р.А.М. The Principles of Quantum Mechanics, Oxford, Oxford University Press, 1930 ( 1984).

5.     Кемпфер Ф. Основные положения квантовой механики /М., КомКнига, 2007.