КВАНТОВАННОСТЬ ЯВЛЕНИЙ В КАТЕГОРИИ

Явление отражается в сознании в виде содержательной формы. Таким образом, сущность в сознании с одной стороны возникает как количественная определённость качества, с другой - как качественная определённость количества. Их самостоятельная же активность проявляется в том, что в динамическом варианте от временного параметра могут явно независимо друг от друга зависеть обе характеристики. Как нет формы без содержания, так нет и содержания без формы.

Мы говорим, стадо дойных коров, 150 грамм шоколадных конфет «Мишка косолапый», скорость автомобиля 40 км/час — всё это количества определённого качества. Каждая из этих величин х представляется композицией действительного числа q = 1, 150, 40 и масштабной единицы определённого качества Y : дойные коровы, шоколадные конфеты «Мишка косолапый», скорость автомобиля в км/час. При этом в каждой такой композиции составляющие можно поменять местами, т.е. имеет место представление

(1)                                            x = qY = Yq.

С математической точки зрения данные композиции можно рассматривать  как левый и правый К- модули, где К является полем действительных чисел. 

Из равенств (1) заключаем, что количественная величина и качественная характеристика одного и того же явления взаимозависимы, если при описании изменяем единицу измерения количественной характеристики, то меняется и качественная характеристика. Отсюда делаем вывод, что единство качества и количества заключено в мере [6], а их самостоятельная активность проявляется в том, что от временного параметра t Î T явно зависят обе характеристики. Таким образом, качественная определённость количества и количественная определённость качества, а так же их самостоятельная активность принимают вид

(2)                                  q = q(t, Y ),   Y = Y(t, q). 

Рассмотрим некоторое множество X шоколадных конфет. Шоколадные конфеты бывают разных видов. Предположим, что это множество состоит олько из развесных конфет «Мишка косолапый» и эксклюзивных конфет класса премиум O'Zera. Таким образом, X ограниченное замкнутое множество, содержащее элементы только двух качественно различных видов: характеристик Y₁ - «Мишка косолапый» и Y₂ - О 'Zera. В этом случае будем говорить, что множество X дихотомически квантуется, понимая под
«квантованностью» то, что некоторая величина фиксированного качества Y - «шоколадные конфеты», может принимать дискретные значения, например, Y₁, Y₂, …, Y_n, …, и между этими её значениями и величинами числовой последовательности можно установить взаимно однозначное соответствие. В рассмотренном выше случае такой последовательностью является множество натуральных чисел N = {1, 2, …, п, ...}. Примером квантования может служить задача построения структурированной схемы маркетинга некоторой организации.

Предположим, что цель организации заключена в сбыте продукции. Для чистого сбыта продукции в стоимостном выражении введём обозначение х₀. Как любая экономическая характеристика эта величина будет количественно w₀ определённым качеством Y₀ (качественно Y₀ определённым количеством w₀), т.е. х₀ = w₀Y₀. Правую часть последнего равенства читаем как выручка w₀ от реализации продукции вида Y₀.

Проведём дифференциацию данной выручки. На первом уровне представим её в виде суммы факторов себестоимости x₁= w₁Y₁ и валовой прибыли x₂ =w₂Y₂ 

w₀ Y₀ = w₁Y₁ + w₂Y₂. 

Отсюда находим математическое описание качественной характеристики деятельности организации в виде выпуклой линейной комбинации качественных характеристик первого уровня дифференциации

Y₀ = l¹₀Y₁ + l²₀Y₂ , l^k₀ = w_k / w₀ ,     k Î N₁ = {1, 2}. 

Получаем дихотомическую структуру в виде плоского графа с вершиной Y_o и двумя смежными узлами Y_k, k Î N₁, нижнего уровня, в котором структурные элементы нижнего уровня связаны с вершиной схемы двумя отрезками - морфизмами [Y₀, Y₁] и [Y₀, Y₂]. Каждому морфизму можно поставить во взаимно однозначное соответствие числовую характеристику l¹₀ и l²₀ - вес соответствующего отрезка в формировании единицы агрегатного качества Y₀.

Поскольку весовые коэффициенты положительны и в сумме равны единице, то их можно рассматривать в качестве вероятностей p¹₀ и p²₀   присутствия соответствующего элемента в агрегатном качестве Y₀  так, что p¹₀ = l¹₀  и p²₀ = l²₀ .     

Описание деятельности организации получится более детальным, если разбить, например, валовую прибыль на составляющие текущих расходов х₃= w₃Y₃ и чистую прибыль без учёта налогов х₄ = w₄Y₄. Если на первом уровне дифференциации нижний слой S_i состоял из элементов {Y_k , k Î N₁}, то на втором этапе имеем S₂ = {Y_k: k Î N₂ = {1, 2, 3}}. Получаем структурное соотношение

Y₂ = l³₂Y₃ + l⁴₂Y₄ ,   l^k₂ = w_k / w₂ , k Î N₂ = {1, 2, 3},

l³₂ + l⁴₂ = 1.

При подстановке его в первое структурное равенство получаем описание целевой функции качества организации со второго уровня агрегации

Y₀ = l¹₀Y₁ + l³₀Y₃ + l⁴₀Y₄ = l¹₀Y₁ + l²₀l³₂Y₃ + l²₀l⁴₂ Y₄ ,

l¹₀ + l²₀l³₂ + l²₀l⁴₂ =1.  

Каждый элемент нижнего уровня с вершиной структуры связан единственным отрезком. Так как отрезок [Y₀, Y₃] пересекает второй уровень, то внутри него имеется элемент второго слоя. Это элемент Y₂, Очевидно, что данный элемент принадлежит и второму отрезку [Y₀, Y₄]. При этом вес каждого из отрезков равен произведению весов отрезков их составляющих

l³₀ = l²₀l³₂ , l⁴₀ = l²₀l⁴₂ .

Ещё более детальным получится описание, когда текущие расходы x₃ разбиваются на более мелкие статьи. Например, заработную плату с дополнительными выплатами x₅ = w₅Y₅, арендную плату х₆ = w₆Y₆, рекламу х₇ = w₇Y₇, поставки х₈ = w₈Y₈, страховки х₉ = w₉Y₉, расходы на выплату процентов x₁₀ = w₁₀Y₁₀, которые связаны с предыдущим уровнем агрегации отрезками [Y₃, Y_k], с соответствующими весовыми коэффициентами l^k₃, k Î N₃(Y₃) = {5, 6, 7, 8, 9, 10}. В этом случае, целевая функция качества, равная единице сбыта товара, представляется выпуклой линейной комбинацией с коэффициентами в сумме равными единице

Y₀ = l¹₀Y₁ + l⁴₀Y₄ + l⁵₀Y₅ + l⁶₀Y₆ + l⁷₀Y₇ + l⁸₀Y₈  + l⁹₀Y₉  + l¹⁰₀Y₁₀ .   

Таким образом, сбыт товара х = х₀, как и любая экономическая характеристика, "выступает, прежде всего, в виде произведения двух (и только двух) основных одинаково существенных взаимно дополнительных фундаментальных характеристик - внешней количественной интегральной характеристики w = w₀ и внутренней качественной дифференциальной характеристики Y = Y₀" [4, стр. 44]:  

х = wY.

Отсюда видим, что декомпозиция единицы качества сбыта продукции имеет древовидную схему, содержащую два вида элементов - множество объектов  и множество морфизмов, соединяющих данные объекты. Эту схему можно представить как абстрактный математический объект 

K = (Y, L),

называемый категорией. Категории подобного древовидного типа относят к малым категориям, которые, в свою очередь, определяются как спектры [2, стр. 67].

Отображение Р: K -> Р(K ), сохраняющее структуру категории, является функтором. Очевидно, Р(K ) = (Р(Y ), Р(L )). Функтор I: K à I(K ) для которого при всех k, l Î N, если Y_k Î Y и j ^l_k Î L, то I(Y_k ) = Y_l , I(j^l_k ) = l^l_k будет тождественным. Функтор W: K à W(K ), для которого при всех k, l Î N, если Y_k Î Y  и j ^l_k Î L, то W(Y_k)= w_k Î X, W(j ^l_k ) = p^l_{k ,} где р^l_k - вероятность связи элемента Y_l   структурной схемы категории K   с её элементом Y_k, снова будет категорией S = (X, Р).

Величина w_k  = W(Y_k) Î X определяет  ожидаемую  выручку  от реализации продукции по представленной выше категорией K   схеме маркетинга в узле Y_k. Математическое ожидание от маркетинговой политики по предложенной схеме определяется выражением

w = W(Y₀) = W(j^k₀)W(Y_k) =

p¹₀w₁ + p⁴₀w₄ + p⁵₀w₅ + p⁶₀ + p⁷₀w₇ + p⁸₀w₈ + p⁹₀w₉ + p¹⁰₀w₁₀ =

= ò pdw.

Оценка

(3)                                           m(A) = ò_A pdm 

является линейным функционалом в пространстве интегрируемых функций

m(aA + bB) = am(A) + bm(B) 

и показывает, что восприятие состояния явления х =А(K ) при его фиксации

категорией K зависит не только от его внешнего количественного восприятия

x_k = A(Y_k),    k Î N_n ,

- состояния граничных элементов, но и от состояния его внутренней структуры

p^k_l = A(j^k_l),     k Î N₁,    l = 1, 2, …, n,

т.е. имеет место представление состояния наблюдаемого явления

x = xY = Yx

в виде произведения количественной и качественной характеристик. Обе эти характеристики могут изменяться со временем даже при неизменной его структуре K . Это свидетельствует о том, что от временного фактора зависит функтор А = A(t), т.е.

x(t) = A(t)(K ) = x(t)Y(t).

Отсюда же следует, что качество объекта может зависеть от его количества и наоборот.

Одним из таких примеров является наша потребительская корзина. Действительно, потребительская корзина со временем меняется. Она дифференцирована по товарам потребления, которые можно представить иерархической структурой. Так, например, в неё включаются продукты питания и товары для бытовых нужд, которые в дальнейшем можно дифференцировать по наборам продуктов и видам продуктов в этих наборах с дальнейшей их градацией вплоть до входящих в них ингредиентов. Аналогичная дифференциация может быть проведена и другой части корзины. При этом можно учесть, что качество товаров может меняться со временем. 

Другим примером может служить размещение наших свободных денежных средств по банкам. Здесь нас интересует не только начисляемые в банках проценты по вкладам, но и фактическое состояние банков (их надёжность), которую мы можем оценить по доступным нам параметрам. Например, по публикуемым в печати показателям состояния банков по уровню капитала, активов, кредитов, вкладов населения, др. депозитов; по более детальной дифференциации в оценках банковской отчётности. Причём, расслоение объекта может теоретически быть бесконечным, т.е. Card N = п à ∞. 

Вернёмся снова к нашим сладостям. Предположим, что мы имеем ограниченную денежную сумму и желаем купить некоторое количество шоколадных конфет. Если у продавца имеются шоколадные конфеты только двух видов Y₁   и Y₂ , то после покупки наше состояние определиться вектором х = (x¹; x²), где х¹ = q¹Y₁, х² = q² Y ₂. Здесь возможны три случая:

1)  Куплены конфеты только одного вида Y₁   или Y₂.  В этом случае вектор состояния редуцируется, имеем: х = (х¹; 0), или х = (0; х²).

2)  Покупаем определённое ранее количество конфет первого вида x¹ = q¹Y₁ и

 второго вида x² = q²Y₂. Тогда вектор состояния можно представить суперпозицией двух, приведённых выше, редуцированных состояний x₁ = (x¹; 0) и x₂ = (0; x²)

(4)                                                          x = x₁ + x₂,

который, если ввести для описания покупки количественную диагональную матрицу (оператор) Q = (q¹ 0;0 q²) и масштабированный вектор качества Y = (Y₁; Y₂), можно записать в операторной форме

(5)                                          x = QY.

3)  На этих же данных поставим следующую стохастическую задачу.
Полагаем, что априори стоимость конфет неизвестна и, располагая определённой денежной суммой, мы покупаем несколько коробок конфет O'Zera x² = q²Y₂ на оставшиеся деньги покупаем развесные конфеты «Мишка косолапый» - x¹ = q¹Y₁. Конечное состояние определится стохастическим вектором (3), которое, как и в предыдущем случае, можно записать в операторной форме (4) со стохастическим оператором Q.

Заключаем, что детерминированная задача 2) и стохастическая задача 3) с математической точки зрения равносильны, а задача 1) с редукцией вектора состояния является их предельным случаем. Задача же в постановке 3) является задачей квантовой механики [7]. Теперь можно обобщить равенство на произвольное матричное уравнение. Сначала положим, что матрица Q может быть не обязательно диагональной. Затем можно допустить, что масштабный вектор качества многомерный. И наконец, положить, что равенство (4) является матричным (а, в общем случае, тензорным).

Резюмируя вышесказанное, отметим, что любое явление x можно структурировать, т.е. представить категорией K = (X, Н), на которой оно определяется функтором X(t): K  -> Х(t)(K ) = (Y, Q), где Y= Х(Х) – суть нормированный метрический тензор качества, a Q = Х(Н) - суть тензор количественной характеристики данного явления в заданных единицах качества. Само же явление описывается суперпозицией (5). При переходе к другим единицам качества Y  =  А Ф выражение (5) принимает вид 

(6)                                      Х = РY

где оператор Р = QA равен произведению количественных операторов. К аналогичной структурированной схеме приходим при рассмотрении построения категории в виде стратифицированных схем при агрегации и дезагрегации количественных связей с помощью градуированных пучков

0 ß X ß Y ₁ ß Y ₂ ß  … ß Y _n ß 0  ,

0 à X à Y ₁ à Y ₂ à  … à Y _n à 0 .