Содержание:

Мультипликативные индексы.

Одним из путей появления мультипликативных индексов является применение нелинейного корреляционного анализа. Однако в ряде случаев мультипликативные оценки возникают непосредственно из решения соответствующих задач, как, например, при расчете дохода, который зависит от произведения двух переменных величин - количества товара и его цены. В качестве примера применения мультипликативной функции возьмем модель факторного анализа работы автотранспортного предприятия. При построении линейной регрессионной модели примем, что объем продукции Q предприятия автотранспортной отрасли зависит от объемов живого труда x¹, средств производства x² и предметов труда x³. Ограничимся линейной моделью

Q = a₁x¹ + a₂ x² + a₃x³

при условии удовлетворения потребителей услуг на заданном качественном уровне, определяемом пропорциями между приведенными выше видами труда, которые складываются в данной сфере производства.

Обозначим производительность труда x¹, фондоотдачу x² и оборачиваемость оборотных средств x³. Тогда из условий

a_i = b_i xⁱ,    i = 1, 2, 3,

где имеет место равенство

b₁ + b₂ + b₃ = 1

при положительности всех величин b_i, получаем, с учетом равенств для всех значений i

xⁱxⁱ º Q

выражение

Q = b₁x¹x¹ + b₂x²x² + b₃x³x³

в виде положительно определенной билинейной формы. В трехмерном евклидовом пространстве коэффициенты этой формы характеризуются лучом L_n с направляющим вектором

n = (b₁^1/2, b₂^1/2 , b₃^1/2).

Выражением

Q_э = b₁z¹y¹ + b₂z²y² + b₃z³y³

определим целевую функцию. 

Если рассматривать данную социальную среду как открытую с идеальными связями, то можно обнаружить определенные отклонения от расчетных показателей, характеризуемых эталон, и, как следствие, за расчетный период получается отличный от планируемого Q_э результат Q. Принимая эталон в качестве целевого направления развития  данной социально-производственной сферы, фактическое функционирование системы можно оценить отношением

Q / Q_э  =    (b₁x¹x¹ + b₂x²x² + b₃x³x³) / (b₁z¹y¹ + b₂z²y² + b₃z³y³),

которое удобно представить в интегральной форме по области N = (1, 2, 3) в виде индикатора

I(N) = ∫ I_st(g)m(dg),

где введены следующие обозначения:

I_st(g) = I_s(g) I_t(g),

I_s(g) = x(g) / y(g),     I_t(g) = x(g) / z(g),

m(dg) = b(g)y(g)z(g)dg /òb(g)y(g)z(g)dg .

  Получаем

I_st = l_sl_t cos q_st.

 Здесь

 l_u = ∫ I_u²(g)m (dg) 

 и u = (s, t) – мульт ииндекс,

 Q_st = arcos (I_st(g) / (l_s(g) l_t(g))).

При выполнении одного из равенств x = y или x = z, например, второго, имеем:

I_t(g) = l_t(g) = 1

и

I_st(g) = I_s(g).

 В этом случае для переменных x и x получаем обычные оценки: D_s, s_s, I_s, J_s, r_s, v_s, V_s.  Из выражения для Q_st находим

r_st(g) = cos q_st(g) =  I_st / (l_s(g)l_t(g))

При произвольных величинах x,  y, x, z, но с учетом требований близости соответствующих величин, получаем равенство

I_st = I_s I_t =    r_st / (r_s r_t)

или равенства

I_st /  r_st  = I_s / r_s  = I_t  / r_t.

Величину, стоящую в левой части последнего равенства, определим как уровень фактического развития по отношению к эталону

l_st = I_st / r_st .

 Будем иметь:

 l_st = l_sl_t.

 Тогда на лебеговом вероятностном пространстве получаем все основные агрегатные оценки для данной мультипликативной модели:

 J_st = ± (l_st² – I_st²)^1/2 ,

V_st = tg (J_st / I_st),

q_st= arccos (k_st cos q_s cos q_t),

где

        k_st =    I_st / (I_s I_t)

При выполнении хотя бы одного из равенств x = y или x = z величина коэффициента k становится равной единице.

Следует обратить внимание на тот факт, что при рассмотрении мультипликативно-аддитивной модели с целевой функцией

y = x₁x₂...x_n ,

где

x_i = ∫ x_i(g)a_i(g)dg,

оценки l, I, J, r будут равны произведениям соответствующих локальных индексов и

q = arccos (cos q₁ cos q₂ ... cos q_n).

О_некоторых_ошибках_в_оценках

Построение_индикаторных_оценок

Несравнимый_круг_единиц

Индексы_на_структурах

Связь_между_индексами.

Границы_применения_индексов.

Индексы_ЭджвортаМаршалла и_Фишера

Мультипликативные_индексы.