Линейные индексы в оценках полипараметрических
процессов.
К разделам сайта: Домой Примеры Теория индексов Банки Физика
Экономический анализ отличается от бухгалтерского, вероятно, в большей степени тем, что, суммируя заработанный рубль вчера с рублем, заработанным сегодня, экономист в отличие от бухгалтера может получить далеко не два рубля. Экономист должен учитывать не только количественную сторону денежной единицы, но и ее качество. Денежная единица скрадывает процесс усреднения. Когда экономические процессы приобретают ускоренное развитие, меняются качественно, структурно перестраиваются, то без обращения к относительным оценкам, без их индексирования, становится трудно заключить сделку, сравнить настоящее с прошлым, прогнозировать будущее. При заключении, например, контракта на поставки продукции возникает проблема коррекции цен на период его реализации в связи с необходимостью учета роста цен на материалы, ставок зарплаты и т.п. В таких случаях прибегают к индексированию цен, опираясь на цену, которая имеется на момент заключения контракта. Например, по предложению Экономической комиссии ООН для подобных расчетов цен при международных сделках предлагается применять линейную формулу p = pбI, в которой индекс цен I = p / pб берется в форме средневзвешенной индивидуальных индексов цен на материалы I1 и индекса расходов на заработную плату I2: I = a + bI1 + gI2, где a - неизменная часть цены, которая в зависимости от товарной сделки, принимается в международной торговле обычно в пределах 15¸25% от единицы; b - доля в цене расходов на материалы (45¸55%); g- доля в цене расходов на заработную плату (30¸45%). В в этом выражении индекс цен можно взять в виде средней геометрической I(г) = A(I1)b(I2)g, где A = exp a, либо в форме средней квадратической I(кв) = (a + bI12 + gI2)1/2. С использованием неравенства между данными средними I(г) £ I £ I(кв), можно без смены базы сравнения продолжить среднюю арифметическую за ее допустимые пределы применением другой средней.
Ускоренная динамика социальных и экономических процессов неизбежно порождает перестройку статистики, одним из главных инструментов которой являются статистические индексы. Такие показатели как индексы цен, индексы продукции в стоимостном и натуральном выражении позволяют изучать движение продукции в физическом и стоимостном выражении, следить за изменением цен на нее. Индексы служат как бы основой управления хозяйственной системой на разных уровнях ее иерархии. Они являются усредненными показателями динамики полипараметрических процессов и их применение в каждом конкретном случае требует разработки научно-обоснованной методологии их исчисления. В иерархической структуре индексы принято классифицировать, выделяя в частности индивидуальные, групповые (субиндексы) и общие. Методологические проблемы в основном возникают при исчислении групповых и общих индексов, что во многом связано с информационной базой, спецификой организации статистических наблюдений.
Предположим, что схема S* организации определяется категорией K, соответствующей обратному спектру S. Выделим на этой категории некоторый слой A. Этот слой будет состоять из объектов i Î Ob K этого спектра и если A по отношению к B более высокий слой в иерархии организации ( A, B Î Ob K), то относительно смежных элементов этих слоев i Î A, j Î B устанавливаем иерархию i £ j или [j, i] Î H(A, B). Действие организации можно рассматривать по определению функтора P(t) на категории K, который будет задавать числовые значения на ее объектах i Î Ob K xi(t) = P(t)i и морфизмах a = [j, i] Î H(A, B) aa(t) = P(t)a. Происходящие процессы в слое B будут отражаться на действии слоя A, находящимся в иерархической связи со слоем B. Примером может служить формирование индексов оптовых и розничных цен на товарную продукцию. Здесь основа расчета делается на выборе малых товарных групп, по которым вычисляются агрегатные индексы по укрупненным товарным группам.
Пусть t, s Î T и x: T ® X, x = x(t) - функция выпуска продукции в натуральном выражении, а xs = x(s) - базовая величина выпуска. Среднюю величину интенсивности выпуска продукции за период t = t - s в натуральном выражении найдем по формуле q = [x(t) - x(s)] / (t - s). На пространственно-временной структуре X´T зададим достаточно гладкую функцию f: X ® R и будем полагать, что она характеризует в стоимостном выражении объемы выпуска продукции к моменту времени t Î T: V = V(t) = f(x), x = x(t). Зададим картой js классификацию продукции и единицы ее измерения на слое A c конечным числом объектов çAç. Определим область действия данной карты Us и рассмотрим те выпуски x = x(t), которые не выходят из области Us.
Данную функцию f в точке xs = x(s) разложим в ряд Тейлора и удержим только линейные члены этого разложения. Будем иметь V(t) = V(s) + ps*[x(t) - x(s)]. Отсюда находим выражения интенсивности выпуска продукции в стоимостном выражении v = ps*q = psiqi, i Î A. Здесь введены обозначения: v = [V(t) - V(s)] / (t - s), ps = grad f(xs). Средняя цена единицы выпускаемой продукции объектами i Î A будет равна Ps = div f(xs) / çAç, а агрегированная интенсивность выпуска продукции в обобщенных единицах будет равна Q = v / Ps = ps*q / Ps. Получаем представление выпуска в стоимостном выражении в виде произведения обобщенных агрегатных величин v = PsQ.
Рассмотрим две точки x0 = x(t0) и x1 = x(t1). В каждой из этих точек построим локальную систему координат j0 и j1, соответственно, и, полагая, что области их действия U0 и U1 перекрываются, сделаем индикаторные оценки одной из них в системе координат другой. Если рассматривать оценки средних Ps и Q, то можно заметить, что они взаимосвязаны. Эта взаимосвязь обуславливает отличие одного и того же индикатора в разных локальных системах координат.
Рассмотрим индекс цен, который представим в виде Ip = P1 / P0. Сделаем агрегатную оценку состояния цен в точке x1 по отношению их состояния в точке x0. В системе координат j0 эта оценка имеет вид Ip = P1Q0 / P0 / Q0 = p1*q0 / p0*q0, т.е. данный индикатор в системе координат j0 совпадает с индексом цен Ласпейреса Lp = p1*q0 / p0*q0. Сделаем теперь оценку этого же индикатора в локальной системе координат j1: Ip = P1 / P0 = P1Q1 / P0 / Q0 = p1*q1 / p0*q0. Получаем, что этот же индикатор в локальной системе координат j1 совпадает с индексом Пааше Pp = p1*q1 / p0*q1.
Особое место в системе экономических индексов занимают индексы структурных сдвигов. Они отвечают на вопрос: на сколько в среднем изменились удельные веса факторов при движении системы координат в текущем периоде t1 по отношению базисного периода t0 и наоборот. Проведем оценку структурных сдвигов цен. Для этого в исходной системе локальных координат зафиксируем объемы выпуска продукции qi0 по каждому из объектов i A-слоя и сделаем агрегатные оценки объемов этого выпуска в исходной j0 Q0 = p0*q0 / P0 = woiqio и конечной j1 Q1 = p1*q0 / P1= w1iqio локальных системах координат. Здесь весовые коэффициенты вычисляются по формулам woi = poi / P1, w1i = p1i / P1. Индекс структурных сдвигов цен найдем по формуле Sp = Q1 / Q0 = Lp / Ip. Отсюда следует выражение Lp = IpSp.
Обратимся теперь к объемному индексу выпуска Iv = p1*q1 / p0*q0. Его можно записать в виде произведения Iv = IpSpPq. Получаем Iv = LpPq.
В формулах, представленных выше, сделан анализ изменения индикаторов цен. Подобный же анализ при смещении системы координат можно сделать и для индикаторов выпуска продукции. В частности, для последних формул будем иметь: Iv = PpSqIq, Iv = PpLq. Отсюда получаем пропорции Pp / Lp = Pq / Lq.
Введём коэффициент пропорциональности b, получим Pp = bLp, Pq = bLq и Iv = bLpLq = b-1PpPq. Отсюда следует, что коэффициент пропорциональности b определяется вариацией системы координат при переходе из точки x0 в точку x1.
Приведенную выше систему индексов перенесем теперь на иерархическую структуру S = (Na, pba, A), полагая, что a, b Î A и a £ b, на которой определим функтор P(t) так, что он порождает эквивалентную структуру K = P(t)S = (Xb, fba, A)(t), где предполагается, что имеет место отображение P(t): Na ® Xa, x(t) = P(t)i = (pt(x), qt(x)), t Î T. При этом полагаем, что lim K = (X, fa, A), т.е. Xa = faX и fa = fba fb.
В дальнейшем удобно ввести для индекса Iv новые обозначения D = Iv.
Поскольку каждый элемент x a-слоя Xa получается путем агрегации определенной товарной группы любого лежащего ниже слоя, например, группы Xb(x) товаров b-слоя Xb или группы Xg(x) товаров g-слоя Xg (a £ b £ g), то над каждой точкой x Î Xa можно на любом слое Xb построить фактор-множество с ядром Ker fba = {Xb(x): x Î Xa} и ввести индикатор вида DH(x) = ò D(y)m b(dyçx), H Î Áb(x), x Î Xa, который определяет долю вклада товаров некоторой подгруппы H группы товаров Xb (x) в общую стоимость товарной группы Xb(x). Здесь введены обозначения: D(y) = Ip(y)Iq(y), Ip(y) = p1(y) / p0(y), Iq(y) = q1(y) / q0(y), mb(dyçx) = p0(y)q0(y)dy / ò{p0(y)q0(y)dy: y Î Xb(x)}.
Выражение для индикатора DH(x) можно рассматривать как рекурсию на иерархии слоев с последовательным разбиением построенных на них метрических пространств (Xg(x), Ág(x), mg(. çx)), где Ág(x) - построенная на слое Xg(x) s-алгебра, mg(. çx) – каноническое семейство условных мер a-разбиения слоя Xg, на котором построено согласованное с a-разбиением b-разбиение с построением соответствующих на нем метрических пространств: (Xg(y), Ág(y), mg(. çy)). В силу рекурсии имеем DE(y) = ò D(z)m(dzçy), E Î Ág(x), y Î Xb(x). Отсюда находим DEH(x) = ò mb(dyçx)ò D(z)mg(dzçy). Здесь внешний интеграл берётся по множеству H, а внутренний - по множеству E. Условные меры соответствующих разбиений определяются выражениями mb(dyçx) = ò{p0(z)q0(z)dz: z Î Xg(y)}/ ò{p0(z)q0(z)dz: z Î Xg(x)}, где для общности выражений принято обозначение p0(z)q0(z)dz = ò{p0(z)q0(z)dz: z Î Xg(z) = z}.
Очевидно, построенная так система мер согласована по Колмогорову и образует на данной структуре цепи Маркова, т.е. для любых a, b, g Î A имеют место равенства: mb(Xb(x)çx) = 1, x Î Xa; mg(Xg(y)çy) = 1, y Î Xb.