ИНДЕКСЫ ФИШЕРА И ЭДЖВОРТА-МАРШАЛЛА
К РАЗДЕЛАМ САЙТА: Домой Примеры Теория индексов Банки Физика
Давно замечено, что между квантовой физикой и математической экономикой существует изоморфизм, который опирается на их связь с математической статистикой. Особенно актуальны в наше время в статистической методологии оценки экономического развития становится задача сопоставления исчисляемых индексов. Особое место в этой методологии занимают индексы Ласпейреса и Пааше.
Индексы Ласпейреса и Пааше определяются возможностью построения в пространстве бинарного соответствия
k = (Q, P, X)
состояний x = (q, p), принадлежащих множеству состояний X как подмножества Q×P, где, например, Q, принадлежащее пространству допустимых интенсивностей выпуска продукции в натуральном выражении из Rn, а P - пространство допустимых цен. Кривизна пространства состояний X, а также "расстояние" между сравниваемыми состояниями на траектории эволюции объекта (здесь мы как бы сравниваем x и y состояния объектов в общем случае в пространственно-временной структуре) фиксируются различием в этих координатных системах весовыми коэффициентами координатных осей. В лагранжевой системе координат формирование весов координатных осей определяется начальным состоянием. При построении индексов Пааше в формировании весов координатных осей принимает участие конечное состояние на траектории эволюции. Поэтому в различии рассматриваемых индексов даже при рассмотрении только пространственной структуры присутствует некий параметр траектории, такой, например, как фактор времени. Становится естественным желание воспользоваться конструктивными методами при построении индикаторов сравнения, например, средними величинами, составленными из этих индексов. Так, например, появляются статистические индексы Фишера
F = (PL)1/2,
или индексные формулы Эджворта-Маршалла, как средневзвешенные арифметические интенсивностей выпуска продукции по ценам базового периода:
E = aL + bP, a + b = 1, a , b ³ 0.
Здесь весовые коэффициенты в линейной комбинации определяются отношениями:
a = p0q0 / p0 / (q0 + q1), b = p0q1 / p0 / (q 0 + q1),
В данном случае, индексы – это индикаторы бинарного соответствия, которые паре состояний ставят в соответствие некоторое действительное число. Не каждому бинарному отношению можно поставить в соответствие определённый индикатор, но если для нашего отношения существует хотя бы один индикатор, то для этого соответствия можно построить множество индикаторов с помощью множества строго монотонных функций.
На этой основе можно построить индексы в виде средней геометрической
s = LaPb
и средней квадратической
S = (aL2 + bP2)1/2,
которые удовлетворяют неравенствам
s ≤ E ≤ S.
При a = b = ½ и L = 1 получаем
F = s = P1/2, E = (1 + P)/2, S = ((1 + P2) / 2)1/2.
Из выражений
F = kL, F = P /k,
где
k = b1/2 и b - коэффициент Борткевича, следует, что при b = 1 имеют место равенстваF = L = P.
С другой стороны, при
b = 1 имеемE = F = s = S = P.
С учетом равенства
S2 = E2 + J2,
находим различные формы индекса для оценки структурных расхождений
J = ( E2 – S2)1/2, V = J/E, v = J/s, V= J / E, q = tg V
и индекс структурного сходства
r = E/S = cos q.
Индикатор
H = ½ S2
можно рассматривать как индексную оценку, в которой индекс играет роль гамильтониана простейшего гармонического осциллятора, для которого можно ввести комплексный метрический оператор
F =(E + iJ)/21/2
такой, что имеет место равенство
H = F`F + 1/2.
Эта метрическая функция уже будет полностью описывать динамическое соответствие состояний, как это определяется в матричной квантовой экономической теории. При этом экономическим характеристикам можно придать формально соответствующий физический смысл.