К разделам сайта:          Домой        Примеры       Теория индексов      Банки      Физика

Если рассмотреть иерархическую структуру годового товарооборота, то можно отметить влияние сезонности на товарооборот по иерархии слоев. Чем ниже слой находится в этой иерархии, тем больше на него оказывает влияние сезонная конъюнктура спроса, тем в большей связи он находится с потребителями. Подобное влияние сезонности ощущается и в производстве товаров любого потребительского свойства. Одни товары и даже товарные группы исчезают, а на их месте появляются другие. И такое чередование происходит от сезона к сезону, от периода к периоду. Это порождает, в задачах последовательного сравнения, проблемы сравнения несравнимого круга единиц, значительно усложняя проблему исчисления индексов. Приведем схематический пример ситуации сравнения товаров (или товарных групп), предложенный в монографии В. Е. Адамова "Факторный анализ" (М., Статистика, 1977) на стр. 80.

                                              Таблица 1. Сравнение товаров в условиях сезонности.

Здесь знаком (+) обозначены присутствующие в соответствующем периоде товары, а знаком (-) - товары в этом периоде отсутствующие.

При проведении индексирования данной товарной группы, например, сопоставляя первый и второй периоды, возникает проблема выбора базы сравнения. Если принять за базу сравнения первый период, то нельзя будет вычислить индивидуальные индексы по товарам В и Г. Если принять за базу сравнения второй период, то хотя задача несколько облегчается, но, как видим, по товару Д остается та же проблема. Сходные проблемы возникают и при сравнении второго и третьего периодов и первого периода с третьим. В соответствии с предложениями, приведенными автором упомянутой выше монографии, можно выделить три вида сопоставимости: смежную, базисную и сквозную. Смежная сопоставимость возникает при сравнении первого периода со вторым и второго с третьим. Смежную сопоставимость данной товарной группы по первым двум периодам обеспечивают только товары А и Б, по второму и третьему периодам - только товары В и Г. Базисную сравнимость обеспечивают товары, имеющиеся одновременно в базисном и текущем периодах. Если взять первый период за базисный, то сравнимость первого и второго периодов обеспечивается только по товарам А и Б, т.е. по той же подгруппе товаров, по которой обеспечивается и смежная сравнимость в данной группе. Базисная сравнимость третьего периода обеспечена только по товару Д. Сквозная сопоставимость основана  на построении агрегатного индекса с постоянными весами. В этом случае стираются различия между смежной и базисной сопоставимостью. Сквозная сопоставимость обеспечивает одновременное существование смежной и базисной сопоставимости по одному и тому же спектру товаров-представителей. Таким образом, под сквозной сопоставимостью понимается круг единиц, сравнимых для всех рассматриваемых периодов. В представленном выше примере нет ни одного товара, обеспеченного сквозной сравнимостью. Наличие сквозной сравнимости обеспечивает возможность и смежной, и базисной сравнимости. Она является основой сравнения динамических рядов с помощью индексных показателей.

Для обеспечения сравнимости в этих случаях предложены различные методы. Все они в той или иной степени опираются на различного рода допущения и являются приближенными. Здесь также прибегнем к приближённому методу, основанному на том, что если бы некоторый товар производился бы в базисном периоде, то средние затраты на производство условной единицы этого товара совпали бы со средними затратами в базисном периоде на некоторую условную единицу продукции последнего.

Рассматривая на временном горизонте T некоторую производственную систему, будем полагать, что в каждый момент времени t Î T ее состояние

S_t(x) = (q_t, z_t, p_t)(x) 

характеризуется упорядоченной тройкой векторов: интенсивностью продаж q_t, ценой p_t и затратами z_t по товарам x ассортиментного списка A_t. При этом будем полагать, что если в некотором периоде реализация товара отсутствует, то выполняется условие

S_t(x) = 0.

Определим множество

A = È{A_t: t Î T},

на котором построим булеан B. На любом подсписке В Î B списка A определим общие приведенные затраты (s, t Î T)

                                                                 З_st(В) = ò_B z_s(x)q_t(x)dx                                                                     

и общую приведенную к периоду s стоимость реализованных  товаров

(1)                                                                                                       R_st(В) = ò_B p_s(x)q_t(x)dx.

Сравним два периода s и t. Пусть им соответствуют списки реализованных товаров A_s и A_t, соответственно. Составим:

список A = A_sÈA_t Î B полного набора товаров, реализованных в каждом из этих периодов;

список F = A – A_t Î B товаров, реализованных в периоде s и нереализованных в периоде t;

список G = A_sÇA_t Î B товаров, реализованных в периоде s, реализация которых продолжалась и в периоде t;

список H = A – A_s Î B товаров, реализованных в периоде t и реализация которых отсутствовала в периоде s.

Очевидно, имеет место прямая сумма A = F + G + H.

На множестве A построим, например, оценку изменения цен на товары данного ассортимента с помощью индекса цен Ласпейреса

L_p(A) = R_ts(A) / R_ss(A).

Он будет определяться L_p-мерами  

(3)                                                                                                    m_s(B) = R_ss(B) / R_ss(A)

точек B носителя  K = {F, G, H} и будет в точности совпадать с выпуклой линейной комбинацией

(4)                                                                               L_p(A) = m_s(F)L_p(F) + m_s(G)L_p(G) + m_s(H)L_p(H)

мер Дирака

L_p(B) = R_ts(B) / R_ss(B), B Î K.

Поскольку S_s(x)  = 0 при x Î F и S_t(x) = 0 при x Î H, то из (4) находим

L_p(A) = m_s(G)L_p(G),

Аналогичные представление можно получить для индекса Пааше:

P_p(A) = m_t^-1(G)P_q(G).

Для объемного индекса будем иметь

I_v(A) = a(G)I_v(G),

где введено обозначение  a(G) = m_s(G) / m_t(G).

Для анализа затрат имеем подобные приведенным выше формулы, в которых следует иметь ввиду, что выражение (2) заменяется выражением (1) и, следовательно, формула (3) заменяется выражением

n_s(B) = З_ss(B) / З_ss(A).

Проведем анализ динамики в задаче сезонной закупки-продажи малыми партиями определенной группы товаров.  Исходные данные задачи помещены в таблице 2, где количество товара представлено в условных единицах (шт.). Цена и затраты определяются в тыс. рублей.

                                                                                         Таблица 2. Данные о динамике продаж.

             В таблицу 3  занесем необходимые для анализа по двум первым периодам величины.

             Вычислим индексы объема реализации товара (индекс товарооборота) в целом по всей группе товаров первого и второго периода и по смежной ее подгруппе этих периодов. Будем иметь: 

V_p(A) = R_bb(A) / R_aa(A) 

V_p(A)= 1.462,   V_p(G) = R_bb(G) / R_aa(G) = 1.617. 

a(G) = m_a(G) / m_b(G) = 0.668 : 0.737 = 0.906, 

V_p(A) = a(A)V_p(G) = 0.906 ^. 1.617 = 1.46.

                                                      Таблица 3. Таблица расчетных величин.

Отсюда заключаем, что в целом по этой группе товаров товарооборот вырос на 46.2%, что в абсолютном выражении составило 40.7 тыс. рублей. В то же самое время товарооборот по подгруппе товаров G увеличился на 61.7%.  Это в абсолютном выражении равно 40.1 тыс. рублей, что составило 98.6% общего прироста товарооборота. Таким образом, можно полагать, что переход на новые товары оказался своевременным. Он удержал спрос на прежнем уровне.

Если определить индекс цен Ласпейреса по смежной подгруппе, то будем иметь:

L_p(G) = Rba(G) / R_aa(G) = 36.5 : 40.2 = 0.908. 

По всей данной группе товаров индекс Ласпейреса определить нельзя. Действительно, 

L_p(A) = R_ba(A) / R_aa(A) = m_a(F)L_p(F) + m_a(G)L_p(G) + m_a(H)L_p(H). 

Но,

m_a(G)L_p(G) = 0.668 ^. 0.908 = 0.606,

а выполнение условий

m_a(F)L_p(F) =  m_a(H)L_p(H) = 0

 можно считать только условно. Следовательно, L_p(A) определен лишь на 67%, т.е. нельзя построить ни индекс цен Ласпейреса, ни индекс физического объема Ласпейреса. Аналогично обстоят дела и с соответствующими индексами Пааше. В силу изменения от периода к периоду всех параметров состояния системы нельзя изучить и влияние изменения локальных параметров на результат.

Динамику средних затрат на каждый рубль товарооборота можно получить с помощью изучения эволюции индекса затрат

I_z(A) = V_z(A) / V_p(A),

где в числители стоит индикатор общих затрат

V_z(A) = З_bb(A) / З_aa(A), 

а в знаменателе - индикатор товарооборота. Отсюда имеем 

                                      З_bb(A)        R_bb(A)            З_bb(A)        З_aa(A)

                    I_z(A) = ^___________ : ^__________ = ^__________ : ^__________ .

                                      З_aa(A)        R_aa(A)             R_bb(A)        R_aa(A) 

Вводя показатель  затрат  в рубле товарооборота по группе товаров A по формуле

C_t(A) = З_tt(A) / R_tt(A), 

находим, что

C_a(A) = 43.0 :  60.2 = 0.714 (руб/руб),

C_b(A) = 72.0 :  88.0 = 0.818 (руб/руб), 

C_c(A) = 92.0 : 116.5 = 0.790 (руб/руб).

 Отсюда заключаем, что по отношению к периоду "a" затраты на рубль товарооборота в периоде "b" увеличились на

(I_z(A) - 1 ) ^. 100% = 14.6%

в то время как в периоде "c" они увеличились на 10.6%, т.е. по отношению к периоду "b" они упали на 4%.

Для обеспечения сквозной сравнимости нужно иметь базисный период, в котором были бы представлены товары всей группы A. Рассмотрим период "a" и интерполируем товары этой группы на товары "З" и "K". Будем полагать, что если бы эти товары были представлены в периоде "a", то их стоимость, затраты и объемы продаж были бы такие же как и изменения в среднем по подгруппе товаров G, смежной с периодом "b". Имеем:

E_p(G) = R_ab(G) / R_bb(G) = 67.5 : 65 = 1.038,

p_a(З) = p_b(З)E_p(G) = 4.0 ^. 1.038 = 4.152 @ 4,

p_a(И) = p_b(И)E_p(G) = 3.0 ^. 1.038 = 3.114 @ 3.

Аналогично, для физического объема продаж имеем:

E_q(G) = R_ba(G) / R_bb(G) = 36.5 : 65 = 0.562, 

q_a(З) = 2 ^. 0.562 = 1,

q_a(И) = 5 ^. 0.562 = 3.

Для затрат получаем: q_a(З) = 1, q_a(И) = 3.

Рассматривая аналогичным образом период "c" по отношению к периоду "a", с учетом полученных в последнем гипотетических данных для состояний в этом периоде по товарам "З" и "И", для товара "К" получаем x_a(К) = (3, 1.0, 0.6). Таким способом построена новая таблица 4 данных с расширением периода "a" на всю группу товаров-представителей.

                                                                     Таблица 4. Расчетные данные с базисным периодом.

Очевидно, что период "a'" в этой таблице можно принять за базу для сквозного сопоставления всех остальных периодов, включая и период "a". Это обеспечивает при сопоставлении функционалы свертки набором весовых коэффициентов w_z, w_p Î W для каждого товара-представителя x по всей их совокупности X = {А, Б,..., К} как по стоимости, так и по затратам. При этом таблицу 2 можно записать в относительных величинах, в виде табл. 5, заменяя соответствующие величины их отношениями к одноименным базисным значениям, т.е. индивидуальными индексами. В таком виде состояние исходной системы описывается упорядоченной совокупностью индивидуальных индексов, т.е. величиной

(5)                                                                                                I^t(x) = (I^t_q, I^t_z, I^t_p)(x), 

где введены обозначения:

I^t_q(x) = q_t(x) / q_t’(x),      I^t_z(x) = z_t(x) / z_t’(x),

I^t_p(x) = p_t(x) / p_t’(x). 

                                                       Таблица 5.Исходные данные

                                       продажи товаров в относительных величинах.

а весовые коэффициенты вычисляются по формулам:

w_z (x) = z_t’(x)q_t’(x) / å{z_t’(x)q_t’(x):  x Î X},

w_p(x) = p_t’(x)q_t’(x) / å{p_t’(x)q_t’(x):  x Î X}.

Введем обозначение n = çX ç для количества реализуемых товаров и нормализаторы N_p = pa’q_a’(X), N_z = z_a’q_a’(X).Тогда индексы Ласпейреса цен, физического и общего объема реализации товаров принимают вид:

L^(t)_p = p_tq_a’(X) / p_a’q_a’(X) = F_p(p_t, q_a’) = å_i I^(t)i_pw_pi,

L^(t)_qp = p_a’q_t(X) / p_a’q_a’(X) = F_p(p_a’, q_t) = å_i I^(t)i_qw_pi,

V^(t)_p = p_tq_t(X) / p_a’q_a’(X) = F_p(p_t, q_t) = å_i I^(t)_pI^(t)i_qw_pi,

I^(t)_p = pⁱ_t / pⁱ_a’, I^(t)_q = qⁱ_t / qⁱ_a’ , 

w_pi = pⁱ_a’qⁱ_a’ / N_p, i Î N ={1, 2, ..., n}.

Индексы затрат определяются аналогичными формулуми:

L^(t)_z = z_tq_a’(X) / z_a’q_a’(X) = F_z(z_t, q_a’) = å_i I^(t)i_zw_zi,

L^(t)_qz = z_a’q_t(X) / z_a’q_a’(X) = F_z(z_a’, q_t) = å_i I^(t)i_zw_zi,

V^(t)_z = z_tq_t(X) / z_a’q_a’(X) = F_z(z_t, q_t) = å_i I^(t)_zI^(t)i_qw_zi,

I^(t)_z = zⁱ_t / zⁱ_a’,    w_zi = zⁱ_a’qⁱ_a’ / N_z.

Если принять во внимание способ построения базового состояния расширением товарной группы периода "a" на всю совокупность товаров, то будем иметь по ценам и затратам равенства

L^(a)_p = L^(a)_pq = V^(a)_p, L^(a)_z = L^(a)_qz = V^(a)_z, 

из которых для коэффициента Борткевича получаем выражения

b^(a)_p = 1 / L^(a)_p,    b^(a)_z = 1 / L^(a)_z. 

Имеем:

R_tt = N_pV^(t)_p,  З_tt = N_zV^(t)_z. 

И, следовательно,  величину затрат на рубль реализованной продукции можно рассчитать по формуле

C_t = З_tt / R_tt = N^(t)_zV^(t)_z / (N^(t)_pV^(t)_p).

Для приведенного примера будем иметь:                                                   

                                 Таблица 6.Оценки движения товара относительно цен (эталон 1).

Вычисляя рентабельность товарной продукции

r^(t)_п = 100( R_tt / Z_tt - 1 )

и прибыль

П^(t) = R_tt – Z_tt

                            Таблица 7. Оценки движения товара относительно затрат (эталон 1).

хозяйствования в каждом периоде, будем иметь:

r^(a)_п   = 100(60.2 : 43.0 - 1) = 40(%), 

r^(b)_п  = 100(88.0 : 72.5 - 1) = 21(%), 

r^{(c )}   = 100(125.5 : 98.0 - 1) = 28(%), 

П^(a) = 60.2 - 43.0 = 17.2 (тыс. руб.), 

П^(b) = 88.0 - 72.5 = 15.5 (тыс. руб.),

П^{(c )} = 125.5 - 98.0 = 27.5 (тыс. руб.).

Из приведенных выше данных изменения рентабельности и прибыли следует, что в периоде "b" по отношению периода "a" произошло резкое ухудшение экономической конъюнктуры. На 10% упала прибыль, а рентабельность товарной продукции снизилась на 48%. По отношению к периоду "b" в периоде "c" произошли положительные сдвиги. Произошло повышение рентабельности товарной продукции на 33%. Прибыль же возросла на 77%. Из табл. 6 и 7 видим, что происходит постоянное падение цен и, хотя затраты снижаются, при резком снижении рентабельности товарооборота в периоде "b" добиться незначительного снижения прибыли и резкого ее роста в последующем периоде удалось путем увеличением физического объема товарооборота. Как видим, физический товарооборот в периоде "c" по отношению периода "a" вырос в 2.7 раза.

Расширить возможности экономического анализа можно переходом к другой форме средней - средней квадратической. Но сначала перейдем из пространства состояний исходной системы S_t(x) на множестве X в пространство I с фиксированной точкой e их индикаторов (5) на том же множестве X.  С помощью функционалов V  для индексов общего объема реализации и общего объема затрат определим в интегральной форме вероятностные меры

V_p(A) = M_p(I_p, I_q)(A) = ò_A I_p(x)I_q(x)m_p(dx),

V_z(A) =  M_z(I_z, I_q)(A) = ò_A I_z(x)I_q(x)m_z(dx),

где A Î B(X) - булеан, построенный на множестве X. При этом, очевидно, имеем:

L_p(A) = M_p(I_p, e)(A) = ò_A I_p(x)m_p(dx),

L_z(A) = M_z(I_z, e)(A) = ò_A I_z(x)m_z(dx),

(6)

L_pq(A) = M_p(e, I_q) = ò_A I_q(x)m_o(dx),

L_qz(A) = M_z(e, I_q) = ò_A I_q(x)m_z(dx),

m_p(A) = ò m_p(dx), m(A) = ò_A m_z(dx),

m_p(X) = m_z(X) = 1. 

Пусть отображение u: X ® U; x ® u(x) является отображением пространства состояний X в некоторое индикаторное пространство U и u(x) - индивидуальный индекс состояния x Î X. На X состояний определим s-алгебру Á и рассмотрим вероятностное пространство (U, Á, m) мера которого порождается положительно определенной симметричной билинейной формой

M(u, v)(A) = ò_A u(x)v(x)m(dx)

на U´U такой, что имеет место равенство

M(e, e)(U) = ò_U m(dx) = 1,

где u, v Î U, A Î Á. Очевидно, что оценки (6) являются сужением пространства (U, Á, m) на соответствующие вероятностные подпространства. Ограничение формы на диагональ U´U определим выражением

D(u)(A) = ò_U u²(x)m(dx).

Отсюда находим

D_p(I_p)(A) = ò_A I_p²(x)m_p(dx)

и

D_p(I_q)(A) = ò_A I_q²(x)m_p(dx).

Следовательно, на любом множестве A Î Á имеем

D_p(I_p)D_p(I_q) = M_p²(I_p, I_q) + G_p²(I_p, I_q).

Индикатор

G_p(I_p, I_q) = D_p(I_p)D_p(I_q) – M_p²(I_p, I_q)

позволяет сделать оценку структурных расхождений между динамикой цен и динамикой физических объемов товарооборота или их корреляции:

 r_p(I_p, I_q) = M_p(I_p, I_q) / s_p(I_p) / s_p(I_q). 

Очевидно, для первого периода, на основе которого построен исходный базис, коэффициенты корреляции равны единице, как по ценам, так и по затратам. Эти коэффициенты будут равны единице при сопоставлении одноименных векторов одного и того же периода.  Но, в общем случае, когда сопоставляются одноименные векторы разных периодов, либо векторы одного и того же периода, будет наблюдаться отклонение этого показателя от единицы. Например, для первого периода имеем:

r_p(I^(a)_p, I^(a)_q) = 1, r_z(I^(a)_z, I^(a)_q) = 1.

Для второго и третьего периодов имеем:

r_p(I^(b)_p, I^(b)_q) = 0.425, r_z(I^(b)_z, I^(b)_q) = 0.462; 

r_p(I^{(c )}_p, I^{(c )}_q) = 0.330, r_z(I^{(c )}_z, I^{(c )}_q) = 0 .338. 

Отсюда вытекает, что между физическим объемом реализованной продукции и ее ценой по отношению к базисному периоду растет структурное расхождение по мере удаления от базовой точки и следует внимательно следить за приближением к критической точке, чтобы не перейти границу допустимых пределов точности вычислений.

Обсудить на форуме (fastbb.ru.)