Связь между  индексами Ласпейреса и Пааше.

К разделам сайта:          Домой        Примеры       Теория индексов      Банки      Физика

На некоторой структкре рассмотрим произвольный слой A и на этом слое определим векторы x = (I_p(x)ç  x Î A),     z= (I_q(x)ç  x Î A). Объемный индекс выпуска на данном слое запишем в виде следующего произведения этих векторов (здесь и в дальнейшем интегрирование проводится по множеству A)

I_v = M(x, z) = x*Wz= ò I_p(x)I_q(x)m(dx).

Определим единичный вектор e как диагональ куба [0;1]ⁿ,  полагая, что n = çAç.  Тогда в этих обозначениях индекс Ласпейреса цен вида  будет иметь представление

L_p = M(x, e) = x*We = ò I_p(x)m(dx).

Индекс Ласпейреса выпуска продукции в натуральном выражении принимает вид

L_q = M(e, z) = e*Wz =  ò I_q(x)m(dx).

Вычислим дисперсии данных векторов относительно нулевого состояния

H_p = D(x) = x*Wz = ò I_p²(x)m(dx),

H_q = D(z) = z*Wz = ò I_q² (x)m(dx),

и определим их среднеквадратические оценки:

s(x) =  (D(x))^1/2, s(z) = (D(z))^1/2

Учитывая условие

D(e) = e*We = ò m(dx) = 1,

получим для них соотношения: H_p = M²(x, e) + D(xÙe), H_q = M²(e, z) + D(eÙz).

Из последних равенств находим оценки вариации цен и интенсивностей выпуска продукции

s(xÙe) = ± (H_p – L_p²)^1/2, s(eÙz) = ± ( H_q – L_q²)^1/2

и следующие коэффициенты относительно этих средних:

s(x) =  s(xÙe) / M(x, e),  s(z) =  s(eÙz) / M(e, z).

             Согласованность изменения цен с изменением  интенсивности выпуска продукции определяет коэффициент корреляции

r(x, z) = [M(x, z) - M(x, e)M(e, z)] / s(xÙe) / s(eÙz),

который имеет представление

r(x, z) = cov (x, z) / s(xÙe) / s(eÙz),

где введена ковариационная функция

cov (x, z)  = ò (I_p(x) – L_p)(I_q(x) – L_q)m(dx) = I_v – L_pL_q = M(x, z) - M(x, e)M(e, z).

             Имеем

M(x, z) = M(x, e)M(e, z) + s(eÙz) r(z, x) s(xÙe),

а после  деления почленно правой и левой части на произведение индексов Ласпейреса получаем различные представления для коэффициента Л. Борткевича 

b = M(x, z) / M(x, e) / M(e, z) = I_v / L_p / L_q = 1 + s(x) r(x, z) s(z).

Отсюда следует представление

I_v = bL_pL_q

и, с учетом равенств

I_v = P_pL_q = L_pP_q,

тождества

b = I_v / L_p / L_q = P_pP_q / I_v = P_p / L_p = P_q / L_q.

С погрешностью менее a = 100(b - 1) (%) получаем факторизацию

I_v = L_pL_q

и с погрешностью менее a = 100(b^-1 - 1) (%) факторизацию

I_v = P_pP_q.

Для оценки масштабного изменения цен и выпуска продукции в натуральном выражении относительно их базисных величин имеем оценки модулей соответствующих индикаторных векторов lL_p = s(x), lL_q = s(z). Из векторного анализа известно, что эти масштабные изменения можно разложить на две составляющие (это представление вектора в виде суммы ротора некоторого вектора и градиента некоторого скаляра), т.е. x = x_l + x_t,     z = z_l + z_t, при этом имеем: div x_t = div z_t = 0, rot x_l =  rot z_l = 0. Первые из этих составляющих дают оценки масштабного сдвига цен и, соответственно, объемов выпуска относительно базисных величин:

I L_p =M(x, e), I L_q = M(e, z).

Вторые - оценки вращательной симметрии, т.е. масштабные оценки углового отклонения соответствующих векторов:

J L_p = s(xÙe), J L_q = (eÙz).

             Эти же оценки можно записать в угловой мере:

 qL_p = arctg [s(xÙe) / M(x, e)],

 qL_q = arctg [s(eÙz) / M(e, z)]

или в виде

VL_p = s(xÙe) / M(x, e), VL_q = s(eÙz) / M(e, z).

             Если необходимо получить аналогичные формулы относительно индексов Пааше, то следует учесть, что ранее введенная метрика является римановой и при движении системы координат будет меняться метрический функционал. Для индекса цен новый метрический функционал будет иметь вид

M_p(x, z) = ò I_p(x)I_q(x)n_p(dx),

где значение новой меры на элементе слоя A определяется выражением

n_p(dx) = I_p(x)m(dx) / ò I_p(x)m(dx).

Соответствующие индикаторы имеют вид:

  lP_p = s_p(x), I P_p = M_p(x, e), J P_p = s_p(xÙe),

 qP_p = arctg [s_p(xÙe) / M_p(x, e), VP_p = tg qP_p.

Для нахождения аналогичных индикаторов для вектора выпуска продукции следует ввести метрический функционал

 M_q(x,z) = ò I_v(x)n_q(dx),

в котором метрика определяется выражением

n_q(dx) = I_q(x)m(dx) / ò I_q(x)m(dx).

              Рассмотрим случаи точной факторизации. Они имеют место, когда коэффициент Борткевича b равен единице. Если элемент меры

m(dx) = p₀(x)q₀(x)dx / ò p₀(y)q₀(y)dy

представить в виде

 m(dx) = k(x)dx,

то будем иметь

b = ò a_p(x)a_q(x)/k(x)dx,

где введены обозначения:

a_p(x) = I_p(x)k(x) / L_p, a_q(x) = I_q(x)k(x) / L_q.

Следовательно, имеются  три случая, когда коэффициент Борткевича равен единице.

 Первый случай a_p(x) = k(x) приводит к условию p₁(x) = p₀(x)L_p, т.е. в случае, когда вектор текущих цен пропорционален вектору базисных цен с коэффициентом пропорциональности, равным индексу цен Ласпейреса.

Во втором случае имеем a_q(x) = k(x). Здесь имеем условие q₁(x) = q₀(x)L_q, т.е. коэффициент Борткевича равен единице, когда вектор выпуска продукции в ее натуральном выражении пропорционален базисному вектору выпуска с коэффициентом пропорциональности, равным соответствующему индексу Ласпейреса выпуска для продукции.

И, наконец, в третьем случае получаем условие a_p(x)a_q(x) = m²(x), x Î A, которое приводит к равенствам p₁(x) = c(x) / q₁(x),  x Î A, где c(x) = I_vv₀(x), v₀(x) = p₀(x)q₀(x). То есть факторизация имеет место в случая, когда текущие цены обратно пропорциональны текущим интенсивностям выпуска продукции с коэффициентами пропорциональности c(x).

Очевидно, что во всех этих случаях индексы Ласпейреса и Пааше совпадают.