Построения индикаторных оценок иерархических структур.

К разделам сайта:          Домой        Примеры       Теория индексов      Банки      Физика

Пусть схема организации представлена градуированным пучком (решеткой) S_*, каждый элемент (атом) которого s Î S_* обладает некоторым специфическим свойством. Эти свойства занесем в список N и данный список в соответствии со схемой организации  подвергнем расслоению x = (N, p, A). В расслоении сквозная проекция N_a = p_aN, a Î A, где A - некоторое упорядоченное множество, является почти счетной или счетной антицепью. Если i Î N_a,  j Î N_b,  a £ b и существует морфизм f = ( j = rng f, i = dom f), связывающий свойство j со свойством i более высокого уровня агрегации, то класс эквивалентности N_b(i) = [j] является носителем свойства i на уровне b. На схеме выделим верхний и нижний слои N_o = sup N, N_n = inf N. Тогда каждый промежуточный слой N_a, a Î A, будет определенной детализацией схемы при описании системы и, что вполне естественно, такую детализацию можно не ограничивать n £ µ. Из предыдущего следует, что любой слой N_b представим в виде прямой суммы непересекающихся подмножеств N_b(i): N_b = È{N_b(i): i Î N_a}. На каждом слое построим алгебру Á_a и будем рассматривать пространства (N_a, Á_a), a Î A. Такой алгеброй может быть булева структура, s-алгебра и т.п.

Схему системы определим категорией K = (A_o, A_n, H(A_o, A_n)),   A_o Î Á_o,  A_n Î Á_n, на котоорой зададим функтор P с условиями на цепях (морфизмах) f =m* ... *n P(f) = P(m) * ... * P(n) и на антицепях (слоях) A = (a₁, ... , a_k) P(A) = (P(a₁), ... , P(a_k)) и выделим три слоя: A Î Á_a,  B Î Á_b,  C Î Á_g, где a < b < g Î A, так что слой B разбивает категорию K Î K K = (A, C, H(A, C)) на две подкатегории K⁺ = (A, B, H(A, B)) K^- = (B, C, H(B, C)) таким образом, что антицепь B служит общей границей для каждой из этих категорий и, в общем случае, при переходе через эту границу по любой цепи функтор P осуществляет скачок.

Для определения скачка введем инфинитезимальные значения функтора на слое B: P⁺(B) = lim {P(K⁺):  A ® B}, P^-(B) = lim {P(K^-):   C ® B}. Тогда скачек можно определить вектором b = P⁺(B) – P^-(B). Зададим вектором  x = (xⁱ çi Î B) = b + P^-(B) состояние антицепи B в карте j = {jⁱ: i Î B}. При b = 0 функтор P на B не имеет разрывов и заданное условие на слоях переходит в обычное произведение P(f) = P(m) ^. ... ^. P(n). С технико-экономической стороны случаю bⁱ = 0, i Î B, может отвечать сложная многоступенчатая технологическая схема сборки i-го узла на уровне B, а случаю bⁱ ¹ 0 - его сборка в стоимостном выражении, когда в ее себестоимость включается стоимость сборки поступающих на данный уровень сборки составляющих деталей. С другой стороны, затраты на сборку самого узла можно разнести по затратам на установку его составляющих. А. В последнем случае можно считать также bⁱ = 0.

На исходной категории как на универсальном элементе модели функционирования  организации в пространственно-временной структуре определим три гомоморфизма, отвечающие трем функторам: q(t)(K) - физический объем выпуска продукции, задается величиной  q = (qⁱ = qⁱ(t)ç  i Î N)  Î X; p(t)(K) - цена условной единицы соответствующей продукции, p = (pⁱ = pⁱ(t)ç i Î N) Î X*; исходной v(t)(K) - объем выпуска продукции в стоимостном выражении, v = (vⁱ = p_i qⁱç i  Î N), где t некоторый параметр, принимающий значения на интервале T = [a, b]. Как правило, этот параметр служит временным фактором. Полагая, что пространство X* является сопряженным пространству выпуска X, заключаем, что имеет место зависимость p_i = p_i(q, t) и выражение для объёма выпуска продукции можно представить в виде vⁱ = qⁱfⁱ(q, t).

Пусть a и a + 1 Î A,  i Î N_a, j Î N_a+1(i). В стоимостном выражении компоненты объема выпуска продукции суммируются, поэтому можно ввести агрегатный показатель wⁱ = P_iQⁱ = p_jq^j, j Î N_a+1(i). Здесь P_i - средняя цена, а Qⁱ - средний объем выпуска продукции в натуральном выражении.

В пространстве X* ´ X  возьмем точку x = (p, q) и на траектории x = g(t) зафиксируем две точки x_o = g(a)и x = g(t), соответствующие начальному t = a и произвольному t Î T значениям параметра. Участок траектории между этими точками обозначим Г. Будем полагать, что эволюция организации на данном участке траектории описывается в согласованных системах координат и относительный показатель D_v = w / w_o = PQ / P_o / Q_o = pq / (p_oq_o) не имеет особых точек. Пусть общий индекс выпуска продукции на уровне средних допускает факторизацию D_v = D_pD_q. Факторизация показывает, что общий индекс выпуска продукции равен произведению индекса цен D_p = P / P_o на индекс физического объема продукции D_q = Q / Q_o.

Для оценки значения составляющих индекса цен и индекса физического объёма продукции в i-том узле схемы организации на уровне a по подмножеству A Ì N_a+1(i) в точке x по отношению их значения в точке x_o введем информационную функцию F_A(x) = ln w(x). Тогда действие организации за период времени [a, t] на траектории g можно оценить индикатором ln D_v = F_A(x) – F_A(x_o) = ò dF(x), где интегрирование проводится по траектории Г. С помощью линеаризации подынтегрального выражения приходим к приближенному равенству ln D_v = òå{c_ju^j: j Î A}dt, где введены обозначения: c_j = ¶F_A(x)/¶x^j, u^j = dx^j/dt. С учетом представления агрегатного показателя выпуска с помощью показателей физического объема выпуска и показателей цен получаем ln D_v = ò å{m_j(e_i(p_j ) + e_i(q^j))e_t(xⁱ)d(ln t):  i, j  Î A}. Здесь m_j = p_jq^j / pq - доля продукции j-го элемента слоя A в стоимостном объеме продукции этого слоя; e_i(p_j) = ¶ln p_j/¶ln xⁱ - эластичность цены на продукцию j-го элемента A-слоя по состоянию i-го элемента этого же слоя; e_t(xⁱ) - эластичность по временному фактору состояния положения точки xⁱ = (p_i, qⁱ) на ее траектории Гⁱ   (xⁱ = gⁱ(t)). Отсюда находим индексы цен и физического объема продукции D_p = exp(ò(å{m_je_i(p_j)e_t(xⁱ):  i, j Î A}d(ln t)), D_q = exp(ò(å{m_je_i(q_j)e_t(xⁱ):  i, j Î A}d(ln t)). Данные индикаторы дают оценку действия элемента i Î N_a при переходе его из состояния x_o в состояние x по действию смежных с ним элементов A на слое N_a+1(i) (a + 1)-го уровня. Условия согласования систем координат связаны с изменением весовых коэффициентов m_j, которые в дискретном случае зависят от временных импульсных моментов и управляющих импульсов, а в непрерывном процессе зависят от их плотности распределения на временном интервале. При сопоставлении состояний, полученных при значительном возмущении от начального состояния, приходится учитывать не только начальное и конечное состояния элементов, но и данные обо всех промежуточных состояниях. Чем больше отклонение траекторий элементов от соответствующих прямых, тем меньшая точность оценки из-за быстро возрастающей сложности вычислений. Стремление же получить элементарные формулы "приводит в ряде случаев к неожиданным  и нежелательным результатам.

Предположим, что a - базовая точка эволюции некоторого объекта по траектории g. В окрестности базовой точки введем сопутствующую систему координат Френе. Система координат Френе связана с агрегацией динамики путем проектирования ее в трехмерное пространство с тремя координатными гиперплоскостями, расположенными специальным образом относительно кривой g: соприкасаемой, спрямляемой и нормальной. Координатная система Френе ортогональна.

Если в процессе эволюции объекта его состояние a перешло в состояние x, то состояние a будем называть начальным состоянием, а состояние x - конечным. Этот переход будет определять вектор u = x -a и в системе координат Френе ему будут отвечать три проекции на координатные плоскости: касательный вектор t в точке a к кривой, нормаль n и бинормаль b, т.е. вектор смещения u раскладывается на три ортогональные составляющие: u = u_t + u_n + u_b. Составляющие здесь располагаются в порядке убывания. Вторая составляющая u_b связана с кривизной кривой g в точке a Î g, третья u_b - с ее кручением. А обе они связаны с кривизной пространства возможных состояний объекта в окрестности этой точки. Таким образом, имеем x = a – u_t – u_n – u_b. Координаты точки a, отвечающие начальному состоянию объекта, можно рассматривать в качестве переменных, сопоставляемых этой точке и поэтому сохраняемых за нею в конечном его состоянии x, т.е. x = f(a). При переходе объекта из состояния a в состояние x система координат также меняется. Эти изменения будут связаны с кривизной пространства состояний в точке x. В новой системе координат, связанной с точкой x, координаты вектора u будут иными. Его соответствующее разложение запишем в виде u' = u_t’ + u_n’ + u_b’. В новой системе координат, связанной с точкой x, точка a будет иметь новые координаты. В этом случае координаты точки a можно рассматривать как функции x: a = f^-1(x). По установившейся терминологии в подвижной системе координат координаты точки a называют лагранжевыми, а координаты точки x эйлеровыми.

В силу различия векторов u и u' будут различаться и их оценки D(u) и D(u'), на основе которых строятся относительные оценки при сравнении состояний объекта. Индексы D_v являются одними из таких оценок. Эти индексы можно строить в лагранжевой и эйлеровой системах координат. Поскольку состояние объекта определяется двумя совокупностями переменных p Î X* Ì Rⁿ и q Î X Ì Rⁿ, т.е. в пространстве размерности 2n, то оценки в каждом из этих пространств можно построить по каждой из данных групп переменных.

Для построения оценок зафиксируем начальное x_o = (p_o, q_o) и конечное x₁ = (p₁, q₁) состояния и введем обозначения w = PQ = p*q = p_jq^j, где P и Q - некоторые средние величины, p*q - матричное произведение элементов p и q, которое определяется в обозначениях Эйлера суммой парных произведений, представленной в выражении w последним равенством, и рассмотрим четыре вида оценок: w₀₀ = P₀Q₀ = p₀*q₀, w₁₀ = P₁Q₀ = p₁*q₀, w₀₁ = P₀Q₁ = p₀*q₁, w₁₁ = P₁Q₁ = p₁*q₁. Теперь можно построить по две пары оценок. Оценки в системе лагранжевых координат, т.е. оценки конца пути x₁ относительно его начала x₀, принимают вид: L_p = w₁₀ / w₀₀, L_q = w₀₁ / w₀₀; и оценки в эйлеровой системе координат - оценки начала пути относительно его конца x₁: E_p = w₀₁ / w₁₁, E_q = w₁₀ / w₁₁. Эти оценки непосредственно связаны с индексами, которые применяются в экономической статистике. Оценки первой группы являются статистическими индексами Ласпейреса. Вторая группа оценок связана со статистическими индексами Пааше обратными зависимостями: P_p = 1 / E_p, P_q = 1 / E_q. 

Представленные выше группы индексов в силу своей линейности имеют четкий экономический смысл. Их применение в связи с линеаризацией, т.е. выходом в касательное к многообразию возможных состояний в соответствующей  точке x₀ или x₁ пространство, имеет весьма ограниченную область применения. Это требует смены базы сравнения и порождает проблему согласования баз. Чем больше кривизна пространства в соответствующей  точке (что отвечает величинам кривизны и кручения траектории эволюции объекта в этой точке), тем уже область применения приведенных выше формул при одной и той же базе сравнения. Альтернативой этому факту служит использование других приближенных алгебраических методов. Например, приближения квадратическими функциями. Такие индикаторные формулы появляются для оценки суммарной стоимости в случае построения линейной по параметру кривой функции пути. Естественно, что возникающие при этом индикаторы (например, такие, как натуральные индексы Фогта) не имеют четкой экономической интерпретации.