Содержание:

О границах применения линейных моделей с оценками виде статистических индикаторов.

Рассмотрим действие произвольного узла  s  некоторой  хозяйственной структуры S_*  и обозначим X = X(s) множество её допустимых состояний. Пусть, например, z = z(t) Î X  определяет состояние  её производственных ресурсов на момент времени t. На этом множестве зададим отображение F: X -> R, F = F(z), как эффект хозяйствования в момент времени t. Предположим, что на временном горизонте T определена одна из возможных  траекторий f:  T ® X, z = f(t), динамики ресурсов. В момент времени t зафиксируем точку z = f(t) и текущее время t будем рассматривать как глобальное время  на данном временном горизонте.  В достаточно малой окрестности этой фиксированной точки выделим точки y = f(t + t_o) и x = f(t + t_o) и на допустимом множестве состояний ресурсов построим  аффинное пространство A = (X, X, Ф). 

Пусть u = Ф(z, x), v = Ф(z, y) из X и P(z, x) = F(x) - F(z) результат хозяйствования за локальный период t₁. Выделим в нем главную часть P(z, x) = c^т(z)u + o( çu ç²). Аналогично получим P(z, y) = c^т(z)v + o( çvç²). Оценим результат  хозяйствования  в состоянии x по отношению к результату хозяйствования в состоянии y на шкале отношений P(z, x) / P(z, y) = I(u çv) + o(çu ç² / çv ç), где введено обозначение I(u çv) = c^тu / c^тv. 

Пусть векторы  c и v в пространстве связаны метрическим преобразованием c = W^тv. Тогда P(z, y) = v'Wv и I(u çv) = v^тWu / v^тWv. 

Введем обозначения: D(v) = v^тWv и M(u, v) = v^тWu. Получим I(u çv) = M(u, v) / D(v). 

Матрица  W определяет метрический тензор в окрестности  состояния z. В частности, она определяет меру M(u, v) в касательном пространстве T_zX в окрестности точки z. Из предыдущего  следует, что амплитуды  векторов u и v связаны условием s(u) = ls(v), коэффициент в котором определяется равенством 

l²(u çv) = I²(u çv) + J²(u çv), 

где введено обозначение

J(u çv) = G^1/2(u, v) / D(v).

Сравнение переходных процессов на множестве допустимых состояний  X  в целом встречает большие трудности из-за кривизны пространства X. Поэтому множество X обычно картографируется и к нему строится касательное многообразие TX. Сравнение проводится в одном из касательных пространств, проектируя процессы из пространства состояний X на соответствующее касательное пространство. Мера определяется только в соответствующем касательном пространстве T_zX, фиксированном точкой z на данной поверхности, на которой кривая  y = f(t), проходящая через точку z, является траекторией динамики объекта.

Предположим, что точка x не принадлежит множеству допустимых состояний, а является проекцией точки y на касательное пространство T_zX к многообразию X в точке z. Пусть функция F в пространстве Rⁿ определяет траекторию эволюции объекта на некоторой поверхности, которая в окрестности состояния z уплощается так, что точка y лежит на этой поверхности в области ее уплощения. Тогда  кривая  в окрестности точки z будет спрямляемой. Отсюда следует, что u = v, J = 0 и  l = I = 1, т.е. в области  уплощения поверхности оценки на поверхности и в касательном пространстве будут совпадать. Если кривизна поверхности в точке z отлична от нуля, то оценка J будет отлична от нуля.  При этом, чем больше кривизна поверхности, тем больше погрешность равенства l = I, а, следовательно, возрастает и погрешность равенства s(u) = I(uçv)s(v), коэффициент в котором I(uçv) = c^тu / c^тv воспринимается как статистический индекс фиксированного состава.

Пусть x, y, z множества X принадлежат одной и той же кривой f, а точки x', y' являются проекциями точек x и y на касательное пространство T_zX. Соответственно, и аффинное пространство A будет проецироваться на касательное пространство T_zX. Введем для него обозначение T_zA. Пространству T_zA будут принадлежать и проекции u' и v' переходных процессов u и v. Если метрический тензор W задает меру только в пространстве T_zA, то в этом пространстве выражение имеем s(u') =  l(u'çv')s(v'). Если при таком отображении получаем гомотетию H_z,_k  с центром z и коэффициентом k, т.е. x' = z + kv', то l(u'çv') = I(u' çv') = k и s(u') = k s(v'). Замена коэффициента l(u'çv') коэффициентом k приводит к погрешности в силу кривизны траектории линии изменения  ресурсов в окрестности фиксированного состояния z, которая связана со структурными сдвигами (в производственном процессе). В общем же случае в  аффинном пространстве T_zA при сравнении процессов u' и v'  будут наблюдаться структурные сдвиги, оцениваемые величиной J(u'çv') = G^1/2(u', v') / D(v').

Структурные  сдвиги характеризуются скручиванием кривой динамики. Таким образом, погрешности при подобном сравнении возникают вследствие кривизны поверхности в фиксированной точке, которая характеризует кривизну и кручение  траектории. Очевидно, что с удалением от фиксированной точки z погрешность оценок будет возрастать. Она будет возрастать и с ростом кривизны поверхности в самой точке z. Погрешность может оказаться настолько большой, что агрегатные индикаторы могут показывать даже противоположную тенденцию динамики.

В качестве примера возникновения погрешности при сопоставлении состояний динамики некоторого объекта рассмотрим развитие, которое описывается в пространстве двух переменных на плоскости в полярной системе координат sOj. На этой плоскости эволюцию объекта представим в виде непрерывного смещение точки (s, j). Будем  полагать, что  это смещение описывает на данной плоскости достаточно гладкую  кривую, уравнения  которой  в параметрическом форме имеют вид: 

s =  s(t),   j =  j(t). 

Следить за  эволюцией будем по величине агрегатного показателя I. 

Предположим, что с некоторого момента этот индекс начал показывать противоположную тенденцию эволюции. Тогда в данном процессе имеет место точка экстремума. Из необходимого  условия  для  нахождения такой точки (которую назовём критической точкой) получаем уравнение 

dI/dt = 0, 

из которого следует

ds/dt - v s dj/dt  = 0,  

где введено обозначение v = tg j. 

Для выявления подобных погрешностей изучим равномерный процесс. Динамику точки запишем в полярной системе координат r = (s, j). Если процесс равномерный, то ускорение равно нулю: dr²/dt² = 0. Получаем систему дифференциальных уравнений второго порядка

ds²/dt²  = 0,        dj²/dt² = 0, 

решение которой найдем при граничных условиях при t = 0: s(0) = s_o,   j(0) = 0,   ds(0)/dt  =  as_o,   dj(0)/dt = w.  

Получаем s = (1 + at)s_o, j =  wt. 

Исключая из  этих уравнения параметр кривой, получаем годограф траектории в виде неоиды j =  (1 + bj)s_o,  b =  a / w, а подставляя эти координаты в условие для экстремальной точки, пулучаем значение параметра  t для критической точки кривой, в окрестности  которой индикатор I имеет наибольшую погрешность:

t_кр = 1/w arctg(( (1 + 4b^2)1/2  - 1) / 2 / w). 

Отсюда следует, что при фиксировании темпов прироста структурных сдвигов w критическая точка отодвигается от базы сравнения с увеличением амплитудных темпов прироста a, т.е.индикаторная оценка I имеет более широкий интервал действия. При фиксировании a с ростом темпов структурных сдвигов критическая точка приближается к базе сравнения. В этом случае границы доверия данной индикаторной оценке сужаются.  Таким образом, границы доверия индексным оценкам существенно зависят от величины структурных сдвигов.

Для рассматриваемого процесса, зная траекторию его развития и фиксируя базу сравнения заданием параметра кривой t = 0,  легко найти все остальные основные оценки: l = 1 + bj, I = (1 + bj)cos j, коэффициент корреляции  r = cos j и коэффициенты вариации v = sin j, V = tg j. Не нарушая общности, параметр кривой можно принять за фактор времени t.  Если ввести для темпов структурных сдвигов и темпов изменения амплитуды процесса обозначения w и a, то в оценках этот процесс можно представить в виде: l = 1 + at, I = (1 + at)cos wt, v = tg wt. В табл.1 приведены критические значения времени в зависимости от выраженных в процентах темпов прироста  a и b. Из приведённой таблицы вытекает, что с ростом структурных сдвигов критическое время быстро приближается к базовой точке отсчета. Интервал  доверия  индексам  сокращается и при сокращении темпов амплитудного прироста. Например, если ежегодные темпы абсолютного прироста составляют 1%, то при темпах структурных сдвигов 5% индекс постоянного состава дает искаженную информацию уже за четвертый год по отношению к результатам первого года. В этом случае при сопоставлении результатов динамики требуется смена базы сравнения и возникает проблема пересчета индексов при смене базы. 

                            Таблица 1.Зависимость критического времени

                      от  темпов прироста амплитуды и структурных сдвигов.

 При a = 0.03 и  w = 0.02 оценки с постоянной базой сравнения и ее сменой с интервалом в 10 лет приведены в  табл.2. В этой  таблице с интервалом в два года представлены значения индексов абсолютного прироста, индекса темпов роста и индекса структурных сдвигов в виде показателя v.  В последнем столбце приведены коэффициенты пересчета  показателей с периодом 10 лет. Из второго столбца  таблицы видим, что показатель темпов роста с удалением от базы сравнения все меньше и меньше отражает истинную картину динамики.  В окрестности точки t  =  32  он практически постоянен, а  при  дальнейшем увеличении он начинает искажать ее тенденцию, показывая противоположную динамику. Из четвертого столбца, в котором приведен показатель v, следует, что с удалением  от базы сравнения в оценках структурных сдвигов накапливается погрешность. Через десять  лет эта погрешность составляет 1.5%, через 22 года она равна 7%, а 30 лет она достигает уже 14%.  При t = 40 погрешность из-за структурных сдвигов составляет уже 28.7%.

При составлении таблицы 2 учитывалась допустимая норма погрешности  1.5%. В данном случае, поскольку динамика рассматривалась равномерной, то интервал пересчета базы сравнения оказался постоянным. В случае, когда процесс неравномерный, смену базы сравнения можно проводить при накоплении погрешности в структурных сдвигах величины a.

Если ввести для изменения значения показателей за период  [t_i, t_j]  обозначения I_i;j, l_I;j;  v_i;j, то для пересчета индексов получаем формулы: 

   _{n                        n}

l_q;n =  Õl_i-1;i , v_q;n = å v_i-1;i .

       ^{i =1                     i=1}   

Так  l_{0; 22} = l_{0; 10}  ´ l_{11; 20} ´ l_{21; 22} =  k_{20; l}  ´ l_{21; 22} = 1.3 7 ´ 1.23 7 ´ 1.04 = 1.66, 

                                 v_{0; 22} = v_{0; 10} + v_{11; 20} + v_21;22 =  0.406 + 0.040 = 0,446.

                            Таблица 2. Динамический ряд значений агрегатных показателей

                        при a = 0.03 и  w = 0.02 с постоянной и переменной базами сравнения.

Из пятого  столбца  таблицы следует, что объект развивается со снижением амплитудного показателя. Так, к концу первого  десятилетия этот  показатель  снизился на 5.8%, к концу второго – на 93.7%, а концу четвертого десятилетия - на 2.7%. Поскольку l_{0; 40}= 1.9 ´ 1.16 = 2.2,  v_{0; 40} = 0.274 ´ 4 = 0.81, то прирост амплитуды за сорок лет составил 120%  при изменениях в структуре на 81%.

Примеры показывают, что индексы статистики, основанные на различной природы средних величинах, следует использовать с особой осторожностью., поскольку без учета границ их применения можно легко сделать неверные выводы о динамике исследуемого явления. Когда процесс неравномерный, смену базы сравнения можно проводить при накоплении заданной величины погрешности a в структурных сдвигах. В таком случае момент t_l перехода к новой базе сравнения можно определить из условия çv_lk - j_lk ç/ j < a.  

В заключение отметим, что индекс I представляется в виде взвешенной суммы индивидуальных индексов I_i,  рассчитанных отношением  соответствующих значений производственных факторов

I = wⁱ I_i,

где

I = I(uçv), I_i = I(uⁱ çvⁱ) = uⁱ / vⁱ, wⁱ = c_ivⁱ / c^тv, i Î N = {1,2,...,n},

 и дает (а в ряде случаев довольно значительную) погрешность, которая тесно связана с кривизной пространства состояний.  Эта кривизна зависит от структурных  сдвигов в одних состояниях по отношению других. Связь этого индекса, рассчитанного на интервале [t_o, t_a]  с цепными индексами имеет вид

I_{o; a} = k(t) ∏ I_{i-1; i}  I_n;a ,

где  k(t) = ∏ ( 1 - v _{i-1; i}  v_{i; a}), i = 1, 2, ..., n.

Для этого коэффициента имеет место и другая форма записи: k(t) = ∏ (v_{i-1; i}  + v_{i; a}) / v_{i-1; a} .

Из приведенных выше заключений следует, что индексы рассчитанные по линейной формуле и цепным способом будут совпадать, если коэффициент k(t) будет равен единице. Это следует, например, при выполнении условия

v_{i-1; i}  + v_{i; a} =  v_{i-1; a} .  

О_некоторых_ошибках_в_оценках

Построение_индикаторных_оценок

Несравнимый_круг_единиц

Индексы_на_структурах

Связь_между_индексами.

Границы_применения_индексов.

Индексы_ЭджвортаМаршалла 

и_Фишера

Мультипликативные_индексы.