ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ К МОДЕЛИРОВАНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ И СОЦИАЛЬНЫХ  ПРОЦЕССОВ.

К разделам сайта:          Домой        Примеры       Теория индексов      Банки      Физика

Будем исходить из того, что любое явление природы (объект, субъект) есть одновременно количественно определённое качество и качественно определённое количество и эти универсальные характеристики структурных элементов материи в любой её форме самоорганизации одинаково существенны и взаимно дополнительны [1]. О чём бы  мы ни говорили, о величине поступления налогов или личностном потенциале работника, количестве товара в магазине, о проделанной работе (работа отлично сделана!), о зарплате и т.п., мы имеем в виду некоторую количественную характеристику определённого качества: 100 тыс. руб., 25 ящиков, отличная работа (сравнение на ранговой метрической шкале). Здесь, как бы, некоторая латентная характеристика x представляется произведением se двух  величин – количества s и качества e. Тысяча рублей налогов, ящик с конкретной продукцией, работа определённого вида, рубль заработной платы - с одной стороны выступают как единицы измерения, с другой -  имеют внутреннее содержание (составляющие налоговых сборов, виды продукции, виды проделанной работы …). Количественная составляющая данной характеристики в общем случае зависит от временной характеристики, обобщённых координат и, обязательно, содержит характеристику качества: s = s(t, q, e). И наоборот, качественная характеристика зависит от характеристики количественной: e = e(t, q, s), например, от выбора единицы измерения, т.е. в характеристике x наблюдается полная симметрия относительно её составляющих. Действительно, нельзя представить внешнюю интегральную количественную форму любого явления без его внутреннего дифференцируемого качественного содержания, которая определяет сущность данного явления, и наоборот, т.е. любое явление есть качественная определенность количества и количественная определённость качества. Как видим, взаимная обусловленность количества и качества, их одновременное единство и различие носят топологический характер, который проявляется в мере, объединяющей одновременно такие противоположности как сходство и различие при сопоставлении, линейное и циклическое квантование, "корпускулярную" (объёмную) и "волновую" природу и т.п.

Мера требует не только выделения явления из окружающей среды с фиксацией определённой системы отсчёта, но, также, и построения эталона a как единицы измерения фиксированного качества e в различных допустимых его состояниях и, следовательно, по крайней мере, должна быть бинарной: e(x) = e_a(x) = e(x, a); эталон обязательно должен присутствовать в любой задаче сравнения, хотя в ряде случаев при сравнении, как, например, на порядковой (а тем более списочно��) шкале он и ускользает из поля зрения: e_a(x) = e(x).

Объёмную, интегральную характеристику состояния некоторого явления x назовём амплитудой (модулем, нормой) и для амплитуды явления x введём обозначения:

s = ||x|| = (x²)^1/2 = <x|x>^1/2,

резервируя обозначение x для "теоретической" модели явления (социальной, экономической природы), а обозначение |x> - за его математической моделью, полагая при этом, что |x> Î X и что каждому элементу |x> Î X можно поставить во взаимно однозначное соответствие некоторый сопряжённый функционал <x| из пространства X* ограниченных функционалов. Пространство X* назовём сопряжённым пространством пространству состояний X. Если x и |x> удобно не различать, то в этом случае будем для сопряженного функционала <x| использовать обозначение x* и применять запись

D(x) = s² =  ||x||² = x² = x*x.

Здесь амплитуде явления x Î X в соответствие ставиться неотрицательная величина D = s² = x*x. Полагая, что x* = e*s*, находим: Q = e*Ae, где введено обозначение A = s*s, а величина D выступает в роли оценки самосопряжённого оператора A. Если A = s² Î R (R – множество действительных чисел), то D = A и e*e = 1, а e = e Î X является нормированным эталоном (s = 1) измерения фиксированного качества e у элементов множества X. При этом величина s является собственным значением x, соответствующим его собственной функции e. В этом случае имеет место равенство Ae = e. Собственная функция e  отвечает фиксированному качеству явления, некоторому его свойству.

Пусть e_i, i Î N, card N = n, система n элементарных свойств, которая принята для полного описания явления x Î X в соответствующей процедуре его сравнения с эталоном a. Очевидно, что первым приближением будет представление данного явления аддитивной композицией составляющих её элементарных свойств, т.е. в виде взвешенной суммы величин x_i = s_ie_I:

x = a¹x₁ + a²x₂ + … +aⁿ x_n,

В этом случае функцию качества получаем в виде линейной композиции элементарных свойств

e = mⁱe_i = m¹e₁ + m²e₂ + … + mⁿe_n ,

где величины  mⁱ = aⁱs_i /s в общей их сумме равны единице и интерпретируются как вероятности распределения присутствия элементарных свойств в эталоне a, принятом за единицу измерения при оценке рассматриваемого явления. Отсюда заключаем, что оценка состояния определяется не значениями, а распределениями вероятностей значений соответствующих измеримых величин и что одно измерение ни о чём может не говорить и, как и в физике [2], для определения состояния экономического явления требуется достаточно длинная серия измерений. 

Фиксируя на аффинном множестве допустимых состояний X эталон a, мы, тем самым, фиксируем репер j = j_a = (a, e₁, e₂, …, e_n) - систему координат с началом в точке a, и j-карту с областью действия Q_a (или Q_j) данного эталона, в которой возможные состояния явления определяются областью X_a: x = x(q), q Î Q_a. Введение в области X_a системы координат j, обращает её в линейное пространство X_a, элементами которого являются математические объекты x = x – a, x Î X_a [3]. Теперь, каждому допустимому состоянию x Î X_a явления в экономической модели ставится в соответствие объект x математической природы в присоединённом пространстве [4] X_a к пространству возможных состояний X_a и, уже без дополнительного соглашения, имеем возможность применять обозначения x = |x> Î X_a, чтобы отличить экономическую модель состояния явления от его математической модели.  

Путь S множество эталонов такое, что система карт y(X) = X_y , y Î (s, e₁,e₂ …,e_m) Î A (A – атлас карт), s Î S, покрывает всё множество X допустимых состояний явления:

X = ∐_{s Î S} X_s.

Тогда многообразие

X = ∐_{y Î A} X_y

будет присоединённым линейным пространством к множеству X и проблема оценки состояния, приводящаяся к построению критерия бинарного сравнения, разбивается на две задачи: первая заключается в сравнении состояний в одной и той же карте, вторая – в разных картах. В разных картах разные метрические эталоны. Но, при сравнении необходимо выбрать только одну единицу измерения. Поэтому для решения второй задачи требуется знать оператор перехода из одной карты в другую, т.е. оператор f: X_j ® X_y  или F: X_y ® X_j . Таким образом, вторая задача сводится к первой.

Рассмотрим вторую задачу. Предположим, что x Î X_j , zÎ X_y и y Î X_j  является образом объекта z при отображении F: X_y ® X_j . Тогда, если j(X) =  (a, e)(X) = (a, e₁, e₂, …, e_n)(X) = X_j, а y(X) = (b, e)(X) =  (b, e₁, e₂, …, e_m)(X) = X_y , то e = Fe  и, если x = Ge, z = He, то y = HFF и можно при построении оценок ввести произведение

T = T(x, y) = y*x = e*F*H*G e = e*We Î R.

Тогда

D(x) = e*Ae,                D(y) = e*Be,

где A = G*G, B = F*H*HF и W = F*H*G самосопряжённые операторы. Учитывая, что в общем случае D(x)D(y) ¹ T²(x, y), приходим к основному метрическому тождеству

D(x)D(y) = T²(x, y) + G(x, y).

Очевидно, при y = lx дополнительное слагаемое G(x, y) = 0; если y ¹ lx, то величина G(x, y) ¹ 0. В общем случае величина G  может быть отрицательно определённой G(x, y) = - U²(x, y) = U(y, x)U(x, y) = U*U < 0 и положительно определённой G(x, y) = U²(x, y) = - U*U > 0, где введено обозначение U* = U(y, x) = - U(x, y) = - U.

Путь G < 0. Составим два функционала

E = E(x, y) = T + U,      L = L(x, y) = T – U = T* + U* = E( y, x) = E*,

L = s e ^{-q / h},    q = h Arth(U / T),  

т.е. L = E*, L* = E. Если рассматривать данную задачу как задачу о физическом переходе явления из состояния x в состояние y, то функционал будет определять полную энергию, необходимую для такого перехода, а L будет функцией Лагранжа. Поэтому эти функционалы будем называть полной энергией и функцией Лагранжа, соответственно.

При G > 0 имеем:

E = E(x, y) = T + iU,      L = L(x, y) = T – iU = T* + iU* = E( y, x) = E* =`E;

L = s e ^{-iq / h},    q = h arctg(U / T),  

s = s(x)s(y),    s = D^1/2.

Величина h определяет масштабный  коэффициент связности метрических пространств, построенных на многообразии X: риманова пространства с мерой T и симплектического пространства с мерой U. Как видим, последние формулы получаются из первых заменой q  на iq.

Если x = ky, то состояния x и y качественно подобны с коэффициентом подобия k. При качественно подобных состояниях величина U равна нулю. Чем больше величина качественного расхождения, тем больше модуль этой величины и тем больше модуль величины q. Это показатель вращательной симметрии. Например, при бинарной оценке состояния x относительно состояния y показатель q можно взять со знаком "минус", т.е. q = - |q |. Тогда при оценке состояния y относительно состояния x он будет равен |q |. В случае качественного расхождения состояний |q | ¹ 0 и можно записать s(x) = ks(y). Последнее равенство будет уже соотношением между количественными оценками. Если полагать, что соотношение T определяется скалярным произведением, то в силу неравенства Коши-Буняковского величина G  будет неотрицательной.  

Картографирование множества допустимых состояний X и выбор в каждой карте меры T определяет на многообразии X риманову структуру, а поскольку определение евклидовой метрики T в соответствующей карте задаёт в этой карте и связанную с ней косоортогональную метрику U, то на данном многообразии одновременно строится и симплектическая структура. Риманова структура позволяет на многообразии X измерять длины кривых, суммируя длины малых векторов, составляющих кривую эволюции, определять угловые расхождения эволюции по различным направлениям. Симплектическая структура даёт возможность измерять "площади" ориентированных поверхностей, суммируя "площади" составляющих малых "параллелограммов", определять "угловые" расхождения этих "поверхностей". С помощью метрики на кривых можно определять положение, объекта, вычислять темпы роста и прироста при его эволюции, сравнивать эффективность развития по различным направлениям. Метрика на поверхностях позволяет сравнивать пары состояний. Например, "план-факт" эволюции одного объекта с "планом-фактом" эволюции другого. Последнее опирается на обобщение основного метрического тождества, исходя из гомотопической эквивалентности оценок D и T. Любая из этих оценок определяет другую, а, следовательно, и бинарную оценку G. Два состояния x, y Î X одного и того же объекта можно рассматривать в качестве двух различных объектов.

Предположим, что имеются два объекта x и y множества X. Составим из этих объектов систему u = xÙy Î XÙX. К пространству допустимых состояний XÙX построим присоединённое пространство XÙX, элементы которого определим как тензоры u = |u> = |xÙy> = xÙy. Построим оценку D(u) = G(x, y) и путём расширением её с диагонального множества D( XÙX) на всё множество XÙX  найдём оценку T(u, v) элементов u, v Î XÙX для сравнения двух возможных состояний u , v Î XÙX системы.  При надлежащем выборе дополнительного слагаемого G(u, v) будет справедливо тождество

D(u)D(v) = T²(u, v) + G(u, v),

которое при дальнейшем обобщении можно рассматривать в качестве основного метрического тождества при оценке тензорных величин вида u = x = x₁Ùx₂Ù … Ùx_n  и v = y = y₁Ùy₂Ù … Ùy_n  на многообразии  X = X₁ÙX₂ … ÙX_n.

На многообразии  X в окрестности фиксированного в некоторой системе отсчёта эталона a рассмотрим процесс x = x(t). Его агрегатная оценка относительно эталона принимает вид

L = se,

где введены обозначения:

s = s(x, a),       e =  e ^{-iq (t )/ h},        q = h arctg(v),      v =  U(x, a)/T(x, a).

Функционал L определяет агрегатную оценку состояния, т.е. описание состояния в той или иной системе отсчёта. Это определённая математическая модель явления, описывающая его на том или ином агрегатном уровне. Поэтому, не нарушая общности изложения, присвоим ему снова обозначение x. Будем иметь

x  = x(t, q) = s(t, q)e(t,q) = se.

Для проведения анализа, нужно определить знак функционала G, что укажет, в каком пространстве рассматривается задача: гиперболическом или эллиптическом. Чтобы не фиксировать знак этой функции, функцию U(x, y) зададим в виде (-G(x, y))^1/2, а функцию U(y, x) – в виде (-G(x, y))^1/2, и будем проводить анализ в гиперболическом пространстве, используя представление явления в агрегатной форме функцией Лагранжа

x = T – U = se ^{- q /h}.

Найдя частную производную этой функции по временному фактору t, приходим к дифференциальному уравнению

h¶_t x = - Hx,    H = ¶_t q  - h ¶_t (ln s),

из которого следует, что задание функции x в некоторый момент времени t Î T не только описывает все свойства объекта в этот момент времени, но и определяет его поведение во все будущие моменты времени [5].

Решением данного уравнения будет функция

x = r(q)exp(-1/h òHdt).

Заметим, что присутствующая в x функция r = r(q) зависит только от координат. Если модуль s функции x медленно меняется по отношению качественных (структурных) изменений явления, которые характеризуются показателем q, то H = ¶_t q = wh, где множитель w = ¶_tq / h определяет скорость структурных изменений. В этом случае

x = r(q)e ^-òw(q,t)dt.

В случае же стационарного процесса, когда структурные изменения от времени не зависят, будем иметь

x = re ^{- wt} = re ^–Et/h.

Пусть x, y Î X_a два одновременных явления, у которых структурные изменения не зависят от координат. Тогда r = r(q), r' = r(q'). Введём обозначения: dq = q' – q, d r = r' – r. Имеем представления q' = q + dq, r' = r + dr и

dr = dqÑ_qr + o(|dq|²).

При dq ® 0 приходим к дифференциальному уравнению

¶_qr =Ñ_qr.

Таким образом, для перевода явления из состояния x в состояние y необходимо к явлению в состоянии x приложить некоторое усилие, импульс. Этот импульс представим выражением

p = hÑ_q.

Тогда дифференциальное уравнение для модуля функции x принимает вид

h ¶_qr = pr.

Решением его является функция

r = Ce ^pr/h.

Окончательно получаем

x = Ce ^{–(Et – pq)  /h}_.

Коэффициент C служит нормирующим множителем. Действительно, поскольку

x* = Ce ^{(Et – pq)  /h}_,

то

D(x) = x*x = C².

Если x выпуклая линейная комбинация независимых составляющих x_k, k Î N = {1, 2, …, n}, то волновому уравнению будет удовлетворять каждая составляющая с одним и тем же гамильтонианом. И, если, к тому же, процесс стационарный, то каждая постоянная E_k = hw_k будет собственным значением гамильтониана, соответствующим его собственной функции x_k, а функция состояния будет разложением по этим собственным функциям

(1)                               x(t, q) = å _{k Î N} a^kx_k(t, q),   t Î T,   q Î Q_a .

Из условия a*a = 1 находим, что каждый коэффициент a^k является коэффициентом влияния соответствующей составляющей на эволюцию объекта, а его квадрат определяет вероятность обнаружения этой составляющей в общем измерительном процессе.

При сравнении состояний x, y Î X невольно полагаем, что возможен переход из одного состояния в другое, а, следовательно, существование пути такого перехода в пространстве возможных состояний. Если x, y Î X_a математические модели этих состояний, то существует путь g = x(t), t Î T = [t_o, t_n],  соединяющий точки x и y. Не нарушая общности, положим, что он лежит в касательном пространстве X_a многообразия X в точке a. Разобьём  интервал T на n = card N частей так, чтобы на каждом интервале T_k = [t_k-1, t_k] гамильтониан сохранял своё значение. Пусть H = E_k. Отсюда следует, что существует собственная функция x_k гамильтониана, отвечающая его собственному значению E_k = w_kh. Получим уравнение

h¶_tx_k = -E_kx_k,

решением которого будет функция

x_k(t, q) =C_k r_k(q)exp(-w_k(q)t).

Для произвольной точки x пути g снова получаем представление (1), из которого следует, что x = x_k(t, q) при t Î T_k и q Î Q_a – область карты j Î A. При замене w_k на iw_k видим, что слагаемое x_k является волновой функцией и, следовательно, x описывает волновой процесс.  

Приходим к заключению, что эволюция любого явления, как определённой формы самоорганизации материи, на уровне её универсальных характеристик имеет волновое истолкование. Так, зная угловую частоту w = E/h, по формуле n = w /2p можно определить волновую частоту. По известной скорости распространения волны c, можно определить длину волны l = с/n, модуль волнового вектора  k = 2p/l = 2pn/c = w /c, оценить количество движения  p = 2ph/l. Величину E = hw можно интерпретировать как энергию, связанную с этим процессом [6]. При этом, эволюция в таком представлении понимается не как некоторое физическое перемещение материи, а как её количественное и качественное преобразование.

В основе качественного преобразования угловая частота, которая определяется функцией осевой симметрии q, точнее – её производной, в литературе называют функциями активации. Это монотонные быстровозрастающие или убывающие функции, которые поддерживают баланс между линейным  и нелинейным поведением объекта [7].  Нелинейность по существу означает появление у объекта новых свойств (закономерностей), нового качества, его сущности, а переход на новый качественный уровень эволюции проявляется как диалектическое единство уничтожения и возникновения.

Рис. 1 Графики функции активации.

На рис. 1 изображены графики функции активации нового качества q = h Arth v, где v = U / T. Пороговый множитель h характеризует величину качественного скачка, а величина c – его длительность (в границах точности), "миг" настоящего, интервал между прошлым и будущем. Этот интервал на временной шкале может определяться эпохами, а может быть "точечным" переходом, например, как переход от жизни к смерти. В оценке эволюции скачки характеризуются ростом количественных изменений, накоплением асимметрии в оценке, ростом абсолютного значения антисимметричного показателя U относительно симметричной составляющей T.

Данная работа не закончена и постоянно обновляется.

Под "организацией" будем понимать явление (объект) экономической или социальной природы, при изучении которого центральное место занимает "экономическая модель" в предположении, что одна и та же экономическая модель может иметь не только различную математическую интерпретацию, но и быть при этом по-разному иерархически структурированной. Для множества допустимых состояний введём обозначение X, а саму организацию рассматриваем как категорию Set, т.е. будем полагать, что X Ì Set.

Литература.

1.      Идлис Г.М. Единство естествознания по Бору и единообразные взаимосвязанные периодические системы физики,

химии, биологии и психологии / Исследования по истории физики и механики //М., 1990.

2.      Аккарди Л. Диалоги о квантовой механике /М., 2004.

3.      Арнольд В.И. Математические методы классической механики /М., 1989.

4.      Берже М. Геометрия /М., 1984.

5.      Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика, т. III /М., 1989.

6.      Фок В.А. Начала квантовой механики /М., 2007.

7.      Хайкин С. Нейронные сети /Москва, С.-Петербург, Киев, 2008.

 В данном разделе представлены темы:   

1. Основные геометрические образы для построения оценок.

2. Анализ динамики на примере эволюции банков Ростовской области.

3. Учимся измерять

4. Графический анализ действия банков

5. Сравнение массивов

6. Сравнительные оценки

7. Старое введение (Физика в экономике).