Учимся измерять.
К разделам сайта: Домой Примеры Теория индексов Банки Физика
Рассматривается динамическая задача оценки состояния системы по показанию m объектов наблюдения, которые определяют состояние различных участков этой системы в пространстве n различных параметров, т.е. каждый датчик – объект наблюдения представляется как подсистема xi = (xij: j Î N = {1, 2, …, n}), i Î M={1, 2, …, m} основной системы X. Для общего состояния системы в момент времени t Î T вводится обозначение X(t) = ((xij(t)))m´n = ((xij(t)| j Î N): i Î M). Состояние системы на интервале времени T определяется выражением X = È{X(t): t Î T}.
Следует отметить, что любая система, как объект наблюдения, имеет внутреннюю структуру, которая задаётся допустимыми состояниями её элементов и состояниями связей между ними. Всё это вместе определяет её качество, т.е. её способность решать поставленную в данный момент задачу. Здесь каждый элемент выполняет определённую собственную функцию, имеющую в общем действии системы свой вес – собственное число этой функции. Чтобы сравнить действие одной системы с действием другой, нужно структуру сравниваемой системы привести к структуре системы принятой в качестве единицы сравнения. Даже одна и та же система в процессе своего действия со временем может менять своё качество, свою структуру. В дальнейшем будем полагать, что необходимые преобразования для сопоставления различных структур сделаны.
Основной результат наблюдения за состоянием системы это оценка её состояния как в любой момент времени t Î T, так и на всём временном интервале наблюдения T. Плохо, удовлетворительно, хорошо или отлично работает система – это агрегатные оценки состояния системы на ранговой шкале в некоторые моменты времени, или в отдельные промежутки времени. Подобные оценки можно определить и на других шкалах. Каждая оценка получается как результат сопоставления одного состояния с другим состоянием. Для согласования оценок сравнения нескольких состояний системы нужно взять какое-либо одно её допустимое состояние. Это состояние называют эталоном. Эталон при сравнении служит единицей сравнения. Очевидно, для оценки состояния данной системы можно построить множество эталонов. Их многообразие зависит от того, относительно какого качества данной системы строится оценка и от масштабного её свойства, т.е. от двух (и только от двух) фундаментальных её свойств. Это может быть начальное или конечное её состояние, среднее состояние на данном промежутке, желаемое состояние и т.п. За эталон может быть взята оценка показаний отдельного датчика в некоторый момент времени.
Однако можно обратить внимание на то обстоятельство, что состояние системы в любой момент времени X(t) уже само по себе содержит оценки показаний как датчиков, так и показаний совокупности этих датчиков по каждому отдельно взятому фактору. Действительно, пусть q(t) = (qi(t)| i Î M) – матрица-столбец агрегатных оценок показаний датчиков о состоянии системы в момент времени t Î T, а p(t) = (pj(t): t Î T) – матрица-строка оценки показаний датчиков по представленной совокупности факторов. Будем полагать, что pj(t) – это удельный вес показания по j-му фактору в общей агрегатной оценке показания любого датчика данной системы. Тогда за оценку показания датчика можно принять среднюю арифметическую взвешенную по показаниям всех факторов данного датчика, т.е. сумму qi(t) = pj(t)xij(t) по всем j Î N. Эту совокупность равенств запишем в виде одного матричного уравнения q(t) = X(t)p’(t). С другой стороны, принимая полученные оценки за весовые оценки самих факторов, найдём p(t) = q’(t)X(t). Здесь штрихом обозначена операция транспонирования. Если теперь подставить левую часть одной системы уравнений в правую часть другой, то получим две системы уравнений A(t)q(t) = q(t) и p(t)B(t) = p(t), где A(t) = X(t)X’(t) и B(t) = X’(t)X(t). Отсюда заключаем, что операторы A и B имеют собственные значения равные единице и отвечающие им собственные векторы имеют положительные компоненты, которые и принимаем за оценки показаний датчиков в данной системе в момент времени t и соответствующих оценок её факторов.
Пусть решена система уравнений p(t)B(t) = p(t). Это значит, определён собственный вектор p(t), отвечающий собственному значению оператора B, равному единице. Нормируем данный вектор так, чтобы сумма его компонент равнялась единице. Будем иметь: å{pj(t): j Î N} = 1, pj(t) > 0 для всех j Î N. Вычислим суммы Qi(t) = xij(t)pj(t), i Î M. Это будут ненормированные оценки объектов. Величину Q(t)=1/må{Qi(t): i Î M} возьмем в качестве агрегатной оценки состояния системы в момент времени t Î T, а величины qi(t) = 1/mQi(t)/Q(t) – за нормированные оценки этих объектов. Таким образом, нормированные оценки объектов будут положительными величинами и в сумме равны единице. Отсюда следует, что оценку системы в любой момент времени можно записать в виде взвешенной средней арифметической: Q(t) = pj(t)Xj(t), где Xj(t) = 1/må{xij (t): i Î M}, т.е. состоянию системы в любой момент времени t Î T можно поставить в соответствие матрицу-строку X(t) = (Xi(t): i Î M) – среднее состояние факторов её действия, удельный вес pj(t) каждого фактора j Î N в общем её действии в данный момент времени и свёртку этого действия в единый агрегатный оценочный критерий Q(t) действия системы в этот фиксированный временной момент.
Теперь сравним действие системы в разные моменты времени. Пусть s, t Î T. Из предыдущего следует, что состояния системы в данные моменты времени имеют агрегатные оценки Q(s) = pj(s)Xj(s) и Q(t) = pj(t)Xj(t). Состояние системы в момент времени s Î T возьмём в качестве эталона и сделаем оценку состояния системы в момент времени t Î T. Оценку будем строить на наиболее информативной шкале отношений. Поскольку s фиксирует эталон, то в дальнейших преобразованиях этот параметр будем опускать. Получим: u(t) = Q(t)/Q(s) = pj(t)Xj(t)/Q = (pj(t)Xj(s)/Q)uj(t). Но величины pj(t)Xj(s)/Q и pj(s)Xj(s)/Q мало отличаются друг от друга. Поэтому множитель pj(t)Xj(s)/Q заменим приближённой величиной nj = pj(s)Xj(s)/Q. Окончательно для оценки состояния системы в момент времени t по её состоянию в момент времени s, которое принимаем за эталон сравнения, получаем выражение u(t) = njuj(t). Здесь nj > 0 и å{nj: j Î N} = 1. Таким образом, для всех состояний системы на временном горизонте T величину nj принимаем в качестве единственной сосредоточенной в точке j множества N вероятностной меры Дирака. Агрегатную оценку u(t) состояния системы на данном этапе запишем в символическом виде òudn, не понимая под этим пока ничего, кроме агрегированного значения распределённого на множестве N факторов функционала u. Очевидно, u(s) = 1. Для этой величины оценки состояния системы, которое принимаем за эталон сравнения, введём специальное обозначение e = u(s). Будем иметь: òedn = òdn = 1.
Воспользуемся символической записью для оценки состояния системы и построения меры на множестве её состояний на горизонте T. Будем полагать, что эталон для оценки состояний построен. При построении метрического функционала воспользуемся формулой оценки произвольного состояния системы u(t) = òu’dn = òu’e*dn и эту формулу применим для сопоставления двух состояний v = u(t1) и u = u(t2), одно из которых, например, v фиксируем. Метрический функционал возьмём в виде M(u, v) = òu’v*dn. При этом будем иметь: u(t)=M(u, e) и M(e, e)=1. Первую величину определим как средневзвешенную арифметическую величину оценки состояния системы в момент времени t. Наряду с оценкой арифметической взвешенной можно ввести оценку состояния системы средней квадратической взвешенной s(u) = M1/2(u, u), или величину D(u) = s2(u) = M(u, u). В данном случае предполагается, что вместе с пространством U существует и некоторое сопряжённое ему пространство U* и v* Î U*.
Ликвидируем теперь некоторую путаницу в приведённых выше обозначениях. Оставим обозначение u(t) для описания состояния системы в момент времени tÎT относительно состояния эталона. Это состояние определим матрицей-столбцом u(t) = (uj(t) = Xj(t)/Xj(s)| j Î N), а для агрегатной средней арифметической оценки этого состояния введём обозначение a(u). В этом случае символическая запись метрического функционала M(u, v) приобретает естественный математический смысл, который определяет её как положительно определённую симметрическую билинейную форму взвешенного скалярного произведения матриц-столбцов u и v – относительными состояниями системы в окрестности её состояния x(s). Эта мера будет справедлива в некоторой окрестности единичного элемента e относительного многообразия допустимых состояний U, отвечающего данному фиксированному состоянию x(s). Построенная мера позволяет найти следующие оценки любого состояния u Î U: a(u) = M(u, e), D(u) = s2(u) = M(u, u), D(e) = 1.
В силу свойства метрического функционала, если состояния u, v Î U качественно различны, то D(u) ¹ M(u, v) и произведение D(u)D(v) ¹ M2(u, v). Прибавим к правой части данного неравенства такое слагаемое G(u, v), чтобы оно обратилось в точное равенство. Получим тождество D(u)D(v) = M2(u, v) + G(u, v), которое полностью определяется заданием меры M(u, v). Добавленным слагаемым является определитель Грама. Имеем G(u, v) = D(u)D(v) - M2(u, v). Если состояние v совпадает с состоянием u (будем писать v = u), то G(u, v) = 0. Более того, данное равенство остаётся справедливым и при качественном сходстве состояний v = lu. Очевидно, при качественном сходстве s(v) = ls(u) и G(u, v) = 0. С ростом качественного расхождения первое равенство нарушается и величина G(u, v) возрастает. Таким образом, функционал M(u, v) определяет оценку качественного сходства состояний u и v по выбранному эталону, а функционал G(u, v) - оценку их качественного расхождения. В данном тождестве реализуется диалектическое единство таких категорий как сходство и различие.
Зафиксируем некоторое состояние v системы как точку из множества допустимых её состояний U. Определим окрестность TvU этой точки, в которой для всех точек uÎU определена мера M(u, v) сходства, либо мера расхождения G(u, v). Естественно, что данная окрестность определяется возможностью сравнения состояний u Î TvU по выбранной мере. Структура состояния v определяет структуру состояния u. Отсюда следует, что если v Î Rn, то и u Î Rn. Определим новую ориентированную систему, как объединение данных систем и состояние которой характеризуется величиной x = (u, v) Î TvU ´ TvU Ì R2n так, что –x = (v, u). Наряду с пространством U при сравнении удобно рассматривать и пространство Z = U´U. Выбор состояния v Î U определяет подпространство TvZ = TvU´ TvU пространства Z и его расслоение. Если ввести обозначение D(x) = D(u)D(v), то основное тождество примет вид: D(x) = M2(x) + G(x), или s2(x) = M2(x) + G2(x), где введено новое выражение G(x) = ±G1/2(x) для меры расхождения. Знак в этом выражении выберем так, чтобы G(x) = G1/2(x) и G(-x) = -G1/2(x).
Фиксирование в аффинном пространстве состояний U точки e позволяет любому состоянию uÎU поставить в соответствие вектор u = u – e и к этому пространству присоединить векторное пространство U и, соответственно, к аффинному пространству Z присоединить пространство Z. В пространстве U плавающем является направленный отрезок, вектор. С помощью векторов можно находить длины кривых (длины путей эволюции объектов), суммируя длины малых векторов составляющих эти траектории. При выборе базиса En = {e1, e2, …, en} в пространстве U вектору ставится в соответствие расслоение u = u1e1 + u2e2 + … + unen. Каждому базисному вектору данного пространства в этом пространстве отвечает числовая ось, на каждой из которой вектору u ставится в соответствие ориентированный отрезок ui, i = {1, 2, …, n}, проекция этого вектора на соответствующую ось. Задание билинейной формы M(u, v) = gijuivj в каждом подпространстве TeU, e Î U, индуцирует на нём евклидову метрику, а на пространстве как на многообразии устанавливает риманову структуру. С помощью симметрического оператора g: TeU ® Te*U, u* = gu, определяется сопряжённое пространство. В матричной форме записи M(u, v) = v’gu = v’u*, где u, v Î TeU, а u* = gu, v* = gv Î Te*U. При этом g*g = E – единичная матрица и (g-1)* = g.
Запишем меру сходства в виде скалярного произведения u . v элементов многообразия U и с помощью этого произведения определим норму элемента ||u||: ||u||2 = M(u, u) = D(u) = u . u = u2 и перепишем основное тождество в виде: u2 v2 = (u . v)2 + (u ´ v)2. С учётом того, что векторное произведение является вектором, дополнительным к их внешнему произведению, u ´ v = (u Ù v)^, правую часть тождества представим в виде суммы квадратов внутреннего и внешнего произведения u2 v2 = (u . v)2 + (u Ù v)2. Таким образом, основой сравнения качественного расхождения является бивектор b = u Ù v Î Z = U Ù U. Геометрическим образом бивектора будет натянутый на составляющие его векторы ориентированный параллелограм. При фиксировании бивектора a = x Ù y Î Z для оценки бивектора b = u Ù v можно ввести меру сравнения бивекторов M(a, b) = gabaabb. Здесь a =(i, j), b = (k, l) – мультииндексы (i < j, k < l Î N), gab = gikgil, aa = xiyj – yixj, bb = ukvl – vkul. Пространство Z является симплектическим пространством. В этом пространстве плавающим является ориентированный параллелограм и вычислять можно площади двумерных поверхностей путём суммирования площадей малых ориентированных параллелограммов.
С помощью евклидовой структуры в каждой плоскости можно ввести эталон площади. Причём предполагается, что на различных плоскостях при сравнении эти эталоны одинаковы. В аффинном пространстве нет никакого способа сравнения эталонов площади на различных непараллельных плоскостях. Симплектическая структура даёт возможность такого сравнения. Сравнение можно построить на тождестве, которое является обобщением приведённого выше тождества для евклидова пространства: D(a)D(b) = M2(a, b) + G(a, b). Плоский эталон даёт возможность выбора оптимальной динамики системы в том числе и по отношению цели, исходя из ресурсных возможностей системы, даже в случае, когда цель меняет направление своей динамики. Это следует из того, что с помощью основного тождества для симплектического пространства можно сравнивать одну пару направлений эволюции с другой.
Сегодня на сайте: