Сравнительные оценки.

К разделам сайта:          Домой        Примеры       Теория индексов      Банки      Физика

Изучая результаты многомерного сравнительного экономического анализа (МСЭА) по материалам публичной, учебной и научной печати можно прийти к заключению, что заложенные в них методики в большинстве из них практически не опираются на основы математики, которые закладываются в естественные науки, хотя принципы использования их идентичны. Более того, зачастую не корректно используются и разработанные ранее приближённые методы.

В МСЭА, как правило, используются комплексные оценки. Вряд ли можно переоценить важность таких оценок в анализе хозяйственной деятельности фирмы и предприятия, объединения, отрасли. На их основе разрабатываются планы, принимаются на соответствующих уровнях управленческие решения.

 Для оценки состояния МСЭА приведём цитату из учебного пособия Г.В. Савицкой ([1], стр. 55): «Для решения этой задачи довольно широко используются алгоритмы расчёта интегральных показателей, основанных на методах “суммы мест”, геометрической средней и т.д. Но эти методики имеют существенный недостаток, потому, что в них не учитываются весомость показателей и степень различий в их уровне. Наиболее перспективным подходом является использование многомерного сравнительного анализа, основанного на методе эвклидовых расстояний, который позволяет учитывать не только абсолютные величины показателей каждого предприятия, но и степень их близости (дальности) до показателей предприятия-эталона».

 К сожалению, метод “суммы мест”, как он применяется в учебном пособии [2, стр. 409-416] и в течении ряда лет применялся при рейтингировании банков (в региональных выпусках газеты “Экономика и жизнь, и деловые ведомости”, см., например, №39(172)), является искажением методики, предложенной М.И. Сыроежиным [3]. Как будет показано ниже, Хотя его интерпретация, представленная в более поздних методиках действительно содержит ошибки, однако он прост в применении и, в ряде случаев даёт достаточно достоверные результаты.. Геометрическую среднюю можно использовать в сравнительном анализе аналогично использованию арифметической и квадратической средних в евклидовом пространстве, если её предварительно линеризовать переходом к логарифмическим шкалам. Это опирается на тот факт, что если бинарное отношение обладает хотя бы одним индикатором, то оно обладает бесчисленным количеством индикаторов. Поскольку любая строго монотонная функция от данного индикатора является индикатором того же самого бинарного отношения [4, стр. 84]. Несвободны от погрешности и МСЭА, опирающиеся на евклидово расстояние. Экономические данные, как правило, дискретны и имеют значительные различия по структуре – качественные расхождения. Отвечающие им объекты являются в подавляющим большинстве объектами риманова пространства и переход в евклидово пространство можно рассматривать как некоторое приближение. Следовательно, и в данном случае возникает необходимость установления границ применения результатов анализа, которые существенно связаны с кривизной риманова пространства в базовой точке.

Для сравнения различных методов рейтингирования воспользуемся исходными данными и результатами анализа из учебного пособия [1, стр. 56-58]. Матрицу исходных данных A =((a_ij)) поместим в табл.1.

        Таблица 1. Исходные данные и рейтенгирование.

В правой части табл.1 приведены оценки деятельности предприятий на ранговой шкале по различным методикам. В первом столбце стоит оценка “методом сумм” без учёта веса показателей; второй столбец содержит оценки этим же методом, но с учётом веса факторов; третий столбец содержит оценки в пространстве функций, суммируемых с квадратом; в четвёртом столбце стоят аналогичные оценки, но в пространстве суммируемых функций. В двух первых столбцах стоят оценки без использования понятия эталона. Эти оценки инвариантны относительно любого эталона. В третьем и четвёртом столбцах стоят оценки с использованием понятия эталона, в качестве которого формируется предприятие из наибольших значений соответствующих показателей. В третьем столбце приведены ранги значений ряда  R_i = åx_ijK_j, а в четвёртом – ряда L_i = åx_ijK_j , x_ij = a_ij/a_i, где a_i = max(a_ij) по всем j = {1, 2, …, 7}, K_j - весовые значения показателей, i – номер предприятия. В силу сказанного выше соответствующие ранги в этих рядах совпадают.

Обратим внимание на то, что основное назначение эталона в рейтингировании состоит в том, что содержащаяся в нём информация определённого типа служит для оценки аналогичной информации в других объектах. Сравниваемые объекты должны быть качественно сходны. Это сходство и измеряется путем сопоставления  с эталоном. Поэтому одна из проблем соизмерения упирается в правильный выбор измерительного эталона. Эталон, составленный из экстремальных значений факторов, в большинстве случаев не может выступать в роли измерительного эталона, поскольку он несовместим с действием системы в целом, где каждый объект занимает свою нишу. Здесь лучше в качестве эталона взять средние значения показателей. Тогда рейтингирование будет распределять объекты по отношению действия системы в целом. В пятом столбце приведены ранговые оценки предприятий относительно состояния системы, т.е. относительно средних значений показателей. Если оценить состояние системы в целом единицей, то оценка предприятия, имеющего средние по системе показатели, составит 0.1667. Оценки предприятий будут 0.1593, 0.1660, 0.1880, 0.1978, 0.1116, 0.1765, соответственно. Обозначим x состояния предприятия, находящееся на среднем уровне системы, а данные предприятия соответственно: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆. Получаем ранжирование x₅ , x₁,  x₂,  x, x₆ , x₃ , x₄.  

   Состояние второго предприятия практически совпадает со средними показателями по системе. Поэтому ниже среднего уровня находятся только пятое и первое предприятия. Оценки относительно состояния системы можно рассматривать как оценки предприятий на шкале отношений. В таком случае получаем дополнительные возможности для анализа состояния предприятий.

Оценки предприятий в первом и втором столбце получены “методом сумм”. Их построение не зависит от эталона и, как следствие этого, некорректно. Ранги первого столбца построены к тому же без учёта веса показателей. Остаётся оценить надёжность рейтингирования во втором столбце. Сравним полученные оценки в этом ряду с оценками остальных рядов. Коэффициент корреляции Спирмэна по отклонениям равен k_откл = 0.942, по инверсиям Кендалла равен k_инв = 0.867. Коэффициент результативности оценки “методом сумм”, предложенный М.И. Сыроежиным [3, стр.90], равен P = 0.906, вычисленный по средней геометрической он равен k =0.904. Видим, что коэффициент результативности подобия оценок очень высокий и в данном случае “метод сумм” можно рекомендовать как наиболее простой приближённый метод рейтингирования. Очевидно, ошибка произошла из-за инверсии оценок первого и второго предприятий в связи с  их близостью друг к другу. Оба эти предприятия весьма близки к среднему уровню. Обратим внимание на некорректность применения коэффициента корреляции для оценки ранговых рядов в [2, стр.415] (см. [3], п.2.3).

Оценки на шкале отношений можно получить и несколько иным путём, положив в основу модифицированный метрический метод Торгерсона [5, стр.67] и используя для расчётов систему компьютерной математики [6]. Идея метода заключается в том, что для любой матрицы можно построить нормализованные оценки её строк и столбцов. По матрице исходных данных с учётом весов её столбцов и выбранного эталона (в данном случае за эталон взяты средние значения элементов исходной матрицы по столбцам) строится матрица A исходных расчётных данных. Тогда, нормализованный главный собственный вектор матрицы AA’ (0.1565 0.1631 0.1945 0.2022 0.1069  0.1768) даст оценки предприятий, а нормализованный главный собственный вектор матрицы A’A (0.1947 0.0938 0.1393 0.1141 0.1746 0.1216 0.1618) даст оценки показателей в пространстве суммируемых функций.[1] Умножением на норму исходного вектора весов показателей, вектор оценок столбцов можно привести к сопоставимому виду с показателями исходного весового вектора: 2.0253  0.9752   1.4489   1.1870   1.8155   1.2651   1.6830, что практически совпадает с заданным вектором весов. 

Предложенные выше методы оценки опираются на теорию индексов и, как следствие, на фундаментальные математические методы [7]. Действительно, рассмотрим, например индекс физического объёма продукции. Он равен отношению  I_q = Q₀₁/Q₀₀ , где Q =pq, Q₀₀ = p₀q₀, Q₀₁ = p₀q₁. Вектор цен зависит от объёмов реализации продукции и если продукция не поступает в сферу её реализации, то можно полагать, что цены на неё равны нулю. Раскладывая вектор цен в степенной ряд и, удерживая члены первого порядка, будем иметь p = qg, где компоненты g_ij = ¶p_i/¶q_j метрического тензора g = g(q) совпадают с величиной изменения цены на i-ю продукцию, когда цена продукции j-го вида возрастает на единицу  в соответствующей точке пространства реализации продукции Qⁿ. Отсюда находим, что Q_st = q_sg(q_s)q_t, где s и t – моменты реализации продукции. Если в точках измерения метрический тензор не меняется, т.е. g = g(q_s) = g(q_t), то Q_st = Q_ts . Это может быть в случае, когда Qⁿ евклидово. В общем случае оно имеет риманову структуру.    

Пусть Qⁿ евклидово. Тогда будет справедливо неравенство Адамара [8, стр.217, формула (28)]

                           Г(q_s)Г(q_t) ³ Г(q_s, q_t),                                                                                                                  (1)

где       Г(q_s, q_t) = Q_ss Q_tt  -  Q_st Q_ts определитель Грама, построенный на соответствующих векторах, Г(q_s) = Q_ss,    Г(q_t) = Q_tt.

Неравенство (1) обратится в равенство, если векторы q_s, q_t ортогональны, т.е. когда q_s ^ q_t. Если  q_t  =  lq_s, то Г(q_s, q_t) =0.

К правой части (1) добавим неотрицательный функционал такой, чтобы оно обратилось в тождество

                   Г(q_s)Г(q_t) = M²(q_s, q_t) + Г(q_s, q_t).                                                                                                      (2)

Тогда M(q_s, q_t) = Q_st и если q_t = q_s, то M²(q_s, q_t) = Г(q_s)Г(q_t); если  же q_t ^ q_s, то M(q_s, q_t) = 0. Функционал M(q_s, q_t) возьмём в качестве меры сходства. Тогда функционал Г(q_s, q_t) будет определять меру расхождения состояний q_s, q_t. Можно определить и наоборот. Таким образом, тождество (2) характеризует единство и взаимную дополнительность мер сходства и различия объектов. Оно также включает единство таких фундаментальных структурных характеристик материи на любом её уровне самоорганизации как внешнюю интегральную количественную и внутреннюю дифференциальную качественную [9]. Преобразуем тождество (2) к виду Q_tt = I_q²Q_ss + Г(q_s, q_t)/ Г(q_s).

Отсюда видим, что первое слагаемое правой части даёт приближённое значение для подсчёта реализации продукции в периоде t по отношению к её реализации в периоде s. Второе слагаемое устанавливает погрешность этих расчётов. Если реализация продукции количественно и качественно сходна , т.е. q_t = q_s, либо только имеется их структурное сходство q_t = lq_s, то второе слагаемое правой части равно нулю и расчётная формула Q_tt = I_q²Q_ss будет точна, т.е. индекс физического объёма продукции даст истинное значение оценки происходящего процесса. С ростом структурных различий  в физических объёмах реализации продукции возрастает погрешность этой формулы. В работе [10] автора показано, что структурные различия состояний при динамике объекта могут накопиться так, что их оценка будет показывать противоположную тенденцию эволюции. С подобными “парадоксами” в восьмидесятые годы сталкивались при оценке динамики развивающихся отраслей, в которых происходили быстрые качественные сдвиги таких, например, как машиностроение, нефтехимия и т.п. С аналогичным “парадоксом” столкнулся и В.Е. Адамов в факторном индексном анализе [11]. Конечно, выбор средней может расширить границы применения индикаторных формул, как рекомендует делать в подобных случаях В. Овсиенко [12], но, как легко видеть, этими методами полностью искоренить данную проблему не представляется возможным. В таких случаях необходимо оценивать погрешность вычислений и в случае необходимости менять базу сравнения.

Что  же касается построения рейтинга системы объектов, то здесь лучше проверить изначальную их качественную близость. Если вариация качества велика, то объекты следует сначала разбить на достаточно сходные по качеству классы. Упорядочить объекты в классах. Затем упорядочить сами классы.

Вернёмся к исходному примеру. Каждое предприятие будем рассматривать как вектор x_i , I =1, 2, …,6. Эталон обозначим x_o. Если вектор x_i коллинеарен эталону, то тождество (2) обратится в точное равенство и  Г(x_i)Г(x_o) = M²(x_i, x_o) = l² Г²(x_o).

Имеем: s(x_i) = l_is(x_o), где s(x) = Г^1/2(x)   – оценка (или модуль) вектора x. Отсюда заключаем, что коэффициент l_i показывает, сколько единиц качества эталонного предприятия содержится в i-ом предприятии.

Предположим, что i –е предприятие имеет качественное расхождение с эталоном. Тогда из (2) получим: l_i = I_i(1 + e_i²)^1/2,    I_i = M(x_i, x_o)/ G(x_o),     e_i² = G(x_i, x_o)/M²(x_i, x_o).

Если качественное различие невелико, то l_i @ I_i.

Пусть метрический тензор задан матрицей g_ij = d_ijg_j. Тогда   I_i = å K_j I_j(x_i|x_o), где I(x_i|x_o) = x^j_i/x^j_o –индивидуальный j-ый индекс i-го предприятия;  K_j = g_j (x^j_o)²/G(x_o) определяет связь между компонентами метрического тензора и заданными весовыми коэффициентами факторов.  

Известно, что любой объект есть количественно определённое качество и качественно определённое количество. Проблемы не возникает при сравнении различных количеств одного и того же качества. Она возникает, когда приходится сравнивать разнокачественные количества. Качество определяется внутренней структурой объекта, определённым набором факторов и отношениями между ними, которые выражаются в количественных значениях этих факторов. Можно  идентифицировать объекты по некоторому универсальному качеству, которое содержится в каждом объекте. Такого качества в одном объекте может быть больше, в другом меньше. Здесь будет важен выбор этого универсального качества. Можно следить, например, за динамикой одного и того же объекта. Но в результате эволюции объекта могут накопиться такие его структурные изменения, что его состояния окажутся несоизмеримы. Несоизмеримость здесь появляется в результате происходящих быстрых качественных сдвигов, структурной внутренней перестройки объекта. В таком случае для корректности оценки состояний требуется постоянная оценка качественных сдвигов и своевременная смена базы сравнения.                                  

 Литература.

1. Савицкая Г.В. Анализ хозяйственной деятельности предприятия. Минск, 2002.

2.  Ковалёв В.В., Волкова О.Н.  Анализ хозяйственной деятельности предприятия. М., 2000.

3. Сыроежин И.М. Совершенствования системы показателей эффективности и качества. М., 1980.

4. Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений. М., 1989.

5. Дейвисон М.Д. Многомерное шкалирование. М., 1988.

6. Дьяконов В. MATLAB 6. Учебный курс. С.-П., 2001.

7. Соловьёв А.С. Математические основы теории статистических индексов. М.,1990.188 с. Деп. в ИНИОН № 42038 от 06.06.90. 

8.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1968.

9. Идлис Г.М. Единство естествознания по Бору и единообразные взаимосвязанные периодические системы физики, химии, биологии и психологии./АН СССР,   Исследования по физики и математики. 1990.// М., 1990.

10. Соловьёв А.С. О границах применения индексов в статистике. М., 1988;  13 с. Деп. в ИНИОН №35697 от 03.10.88.

11. Адамов В.Е. Естественная граница традиционного способа разложения по факторам абсолютного прироста //Вестник статистики. 1988, вып.5.

12. Овсиенко В. Выбор формы средней и о некоторых ошибках, допускаемых в этом вопросе //Вестник статистики. 1989, вып.1.