Основные геометрические образы для построения оценок.

К разделам сайта:          Домой        Примеры       Теория индексов      Банки      Физика

Взаимосвязь количества и качества. Вероятно, мы не уйдём далеко от истины, если станем утверждать, что познание окружающей нас действительности начинается со сравнения, в основе которого лежат оценки. Оценки лежат и в основе принятия того или иного решения, при предпочтении одного состояния другому, при выборе путей достижения цели, поведения, восприятия образов  и т.п.

Предположим, что перед нами неожиданно возник некоторый объект. Вероятно, прежде всего, мы обратим внимание на его внешнюю, объёмную характеристику. Значит, у нас имеется некоторая мера для оценки его объёмной характеристики путём сравнения с другими окружающими объектами.  Следующей реакцией будет установление специфических, внутренних особенностей, класса объектов, к которым принадлежит данный объект, т.е. установление его  внутреннего свойства (обозначим его буквой Y), которым в той или иной мере обладают и  другие объекты; установление характеристики его качества.  Следовательно, любой объект (субъект) x Î X обладает, по крайней мере, двумя одинаково существенными основными взаимно дополнительными характеристиками: внешней количественной – интегральной, назовём её модулем данного объекта и введём для неё обозначения l(x), и внутренней, качественной – дифференциальной характеристикой, которую обозначим Y(x). Таким образом, будем полагать, что любой объект отличается от другого объекта количественной, качественной, либо и той и другой характеристиками и представлять его произведением этих характеристик, т.е. писать x = l(x)Y(x). Будем говорить, что объёмная характеристика l(x) - собственное число данного объекта, а  качество Y(x) – его собственная функция. Таким образом,  объект определится точкой l на числовой оси качества Y.

Количественная и качественная характеристики в той или иной мере присущи любому объекту окружающего нас мира. Это как бы его масштабные свойства. Но любой объект существует ещё и во времени. При этом в различные моменты времени t₀ и t₁,  принадлежащие одному и тому же временному промежутку T  (t₀, t₁ Î T), можно считать, что он находится в разных состояниях. То есть,  x(t₀) = l(x(t₀))Y(x(t₀))  и x(t₁) = l(x(t₁))Y(x(t₁))  – это два различных состояния одного и того же объекта,  или два разных объекта даже в том случае, когда их качественные и количественные характеристики совпадают. Каждой качественной характеристике можно во взаимно однозначное  соответствие поставить числовую ось, точки которой отвечают собственным числам соответствующих объектов относительно этого фиксированного качественного их свойства. Из предыдущего следует, что собственное число – это оценка содержания данного фиксированного качества в том или ином объекте, уровень этого качества. Один и тот же уровень фиксированного качества может быть у множества объектов. Система (l, Y) устанавливает пространственные характеристики объектов - определённую систему координат на числовой прямой, фиксированной качеством Y.  Если к этой оси добавить ось времени, то можно в системе отсчёта (t, l_Y) следить за эволюцией количества данного качества у объекта.

Основные оценки сравнения состояний. Чтобы сделать оценку состояния того или иного объекта нужно располагать другим объектом для сравнения, или эталоном (таким эталоном может быть и другое состояние того же самого объекта). Пусть X множество состояний некоторого объекта, а Y – множество состояний другого объекта. Не нарушая общности изложения, будем полагать, что множество Y является подмножеством множества X. Пусть x Î X, а y Î Y. Находясь в рамках такого бинарного сравнения, примем y Î Y  за эталон качества и сделаем оценку содержания этого качества в состоянии x Î X. Количество содержания данного качества в состоянии x будет вещественным числом. Это число представим в виде значения положительно определённого вещественного симметричного билинейного функционала M(x, y), определённого на множестве X´X. Будем полагать, что задание этого функционала определяет оценки M(x, x), M(y, x) = M(x, y) и M(y, y). При этом если состояние y Î Y принято в оценках в качестве эталона, то M(y, y) = 1. Для значения функционала на диагональном подмножестве D(X´X) множества X´X введём  обозначение D, т.е. будем полагать, что D(x) = M(x, x) и s(x) = D^1/2(x). Очевидно, на диагональном множестве справедливы равенства D(x) = M(x, y) и D(y) = M(y, x). Вне диагонального множества равенство данных выражений нарушается. Если перемножить почленно соответствующие неравенства и к правой части добавить такое слагаемое, чтобы иметь строгое равенство, то с учётом симметрии функционала M(x, y) получаем тождество D(x)D(y) = M²(x, y) + G(x, y). Здесь слагаемое G(x, y) будет определителем Грама. Исходя из симметрии, для удобства введём следующие обозначения: D(x, y) = D(x)D(y), s(x, y) = s(x)s(y), G(x, y) = G²(x, y). Получим тождество

(1)                                                                    D(x, y) = M²(x, y) + G²(x, y),

или тождество

s²(x, y) = M²(x, y) + G²(x, y).

При качественном  подобии состояний x = ly функционал G(x, y) обращается в нуль и s(x) = ls(y). Отсюда заключаем, что если состояния x и y  качественно подобны, то показатель l = s(x)/s(y) служит количественной оценкой содержания качества состояния y в состоянии x. При отсутствии качественного подобия сравниваемых состояний можно ввести два дополнительных индикатора: положительно определённый индикатор I = M(x, y)/D(y) как показатель качественного сходства данных состояний  и индикатор J = G(x, y)/D(y) – как показатель их качественного  расхождения. Поскольку G(x, y) = ±G^1/2(x, y), то для определённости будем считать, что G(x, y) = - G( y, x). Из положительности G(x, y) следует, что 0 £ I £ 1 и -1 £ J  £ +1. Если обе части  тождества (1) разделим на D²(x), то получим  l² = I² + J².

При сравнении состояний в условиях, когда сходства между ними во много раз больше расхождения, т.е. при условии I >> |J|, имеем

l = I(1 + V²)^1/2 = I(1 + ½ V² + o(V²)),

где V = J / I << 1. Следовательно, индикатор I  показывает  уровень качественного сходства состояний при их качественном различии по их некоторому, фиксированному в состоянии y, общему свойству, а индикатор J – уровень качественного расхождения.  Если обе части равенства (1) почленно разделить на D(y), то получим представление

D(x) = cov²(x, y) + var²(x, y).

Функционал cov(x, y) = M(x, y)/s(y) определяет ковариацию состояния x по y, а выражение var(x, y) = G(x, y)/s(y) – их  вариацию. Следовательно: 

cov(x, y) = I(x,  y)s(y),                   var(x, y) = J(x,  y)s(y).

И, наконец, если разделим обе части тождества (1) на левую часть, то получим следующее разложение единицы в сумму:

1 = p + q.

Здесь

• p = r² – вероятность обнаружения свойства состояния y в состоянии x, или коэффициент детерминации состояния y в состоянии x;

• q = v² – вероятность обнаружения в состоянии x свойств, не присущих состоянию y, или коэффициент остаточной детерминации.

Определим  r = M(x, y)/s(x, y) в качестве коэффициента корреляции, а  v = G(x, y)/s(x, y) – в качестве  коэффициента вариации состояний x и y. Учитывая равенства отношений v/r = J/I = G/M =V введём новый функционал S = S(x, y), связанный с данными оценками равенством V = tg(S/h), т.е. S(x, y) = h arctg(V), который определяет меру расхождения состояний в угловом измерении, где h – масштабный множитель угловой меры. 

Геометрическая интерпретация оценок. Будем пространство состояний X рассматривать как аффинное пространство, а X – как присоединённое к нему векторное пространство. Из тождества (1) следует, что оно будет определено заданием лишь одного из входящих в него трёх функционалов D, M, G. Это три гомотопически эквивалентные меры на множестве состояний X. Пусть на множестве X построена система отсчёта, в которой x’ = x(t + t), x = x(t) Î X, x’ – x = u Î X. Тогда в силу билинейности функционала M оно остаётся справедливым и в присоединённом к X векторном пространстве X. В этом пространстве выражение s(u) определяет норму элемента, а функционал M(u, v) индуцирует евклидову метрику. С учётом представлений M(u, v) = s(u)s(v)cos(S(u, v)/h) и G(u, v) = s(u)s(v) sin(S(u, v)/h) можно функционал M интерпретировать как скалярное произведение векторов u и  v, а функционал G как  оценку их векторного  или внешнего произведения. Следовательно, в пространстве X тождество (1) имеет вид: u²v² = (uv)² +| u´ v|². Принимая во внимание,  равенство u´ v = (uÙv)^{^}, в котором по определению векторное произведение двух векторов равно дополнительному вектору к бивектору uÙv,  перепишем данное тождество  в виде:  u²v² = (uv)² +( uÙ v)². Если определить бивектор U = uÙ v Î XÙX, то можно записать выражение D(U) = u²v² - (uv)², с помощью которого можно определить норму бивектора s(U) и построить аналог тождества (1) в пространстве XÙX: D(U)D(V) = M²(U, V) + G(U, V), т.е. в симплектическом пространстве, порождаемом евклидовым пространством с метрикой D(x). В евклидовом пространстве “плавающим” является направленный отрезок. В евклидовой геометрии можно измерять длины кривых, суммируя длины малых векторов составляющих кривую. В симплектической геометрии “плавающим” объектом является ориентированный малый параллелограмм. Здесь можно измерять площади поверхностей, суммируя площади элементарных параллелограммов.

Если пространство X содержит хотя бы два неколлинеарных вектора u и v, то всегда можно построить трёхмерную пространственную ортонормированную систему координат. Действительно, в этом случае G(u, v) ¹ 0 и, если за базу построения принять вектор v, то для координатных векторов будем иметь:

• e₁ = v/s(v),

• e₂ = (D(v)u – M(u, v)v)/s(v)/G(u, v),

• e₃ = (u´v)/G(u, v).

Присоединяя  сюда временную ось,  получим четырёхмерную систему отсчёта – галилеево пространство, которое включает следующие три элемента:

1.           Мир – четырёхмерное аффинное пространство A⁴, точки которого называются мировыми точками или событиями. Параллельные переносы мира A⁴ образуют линейное пространство R⁴.

2.           Время – линейное отображение t: R⁴ ® R параллельных переносов мира на вещественную “ось времени”. Промежутком времени от события a Î A⁴ до события bÎ A⁴ называется число t(b – a). При t(b – a) = 0 события a и b называются одновременными. Множество одновременных событий образует аффинное подпространство в A⁴. Оно называется пространством одновременных событий и обозначается A³. Ядро отображения t составляют параллельные переносы пространства A⁴, переводящие какое-либо событие в одновременное с ним. Это ядро является трёхмерным подпространством R³ линейного пространства R⁴.

3.           Расстояние между одновременными событиями a, bÎ A³:  r(a, b) = s(u) = D^1/2(u), где u = b – a Î R³, которое превращает каждое пространство одновременных событий в трёхмерное евклидово пространство E³.       

Так как базисные векторы в общем случае зависят от времени:  e₁  = e₁(t), e₂ = e₂(t), e₃ = e₃(t). При движении системы координат будут преобразовываться и координаты точек аффинного пространства A⁴ событий. Выделим из множества преобразований такие, при которых между одновременными событиями сохраняются интервалы времени и расстояния. Эти преобразования называются галилеевыми. К галилеевым преобразованиям пространства R⁴, например, относятся равномерное движение со скоростью v, которое получается с помощью отображения g₁: R⁴® R⁴, g₁(t, x) = (t, x + vt); сдвиг начала системы отсчёта g₂: R⁴® R⁴, g²(t, x) = (t + s, x + s), и поворот  осей координат g₃: R⁴® R⁴, g₃ (t, x) = (t, Gx). Любое галилеево преобразование можно представить с помощью композиции этих элементарных преобразований.           

В системе координат с базисом E₃ = (e₁, e₂, e₃) любой вектор x имеет представление x =x¹e₁ + x²e₂ + x³e₃ = (x¹, x², x³). В частности, векторы u и v, на которых он построен, имеют координаты (v¹, 0, 0) и (u¹, u², 0), т.е. они лежат в координатной плоскости, ортогональной вектору e₃ .

Эволюция на плоскости. Проводя анализ каких-либо экономических явлений на высоко агрегированном уровне или разведочный анализ, исследователь стремится сделать обработку числовых результатов наблюдений так, чтобы результаты анализа имели простую и наглядную форму, которая лучше всего способствует выявлению закономерностей в имеющейся информации. Представить результаты анализа в виде условных рисунков, графиков, схем. Интерпретировать их на координатной плоскости в прямоугольной системе координат в естественном базисе. Такие задачи, как исследование зависимости валового общественного продукта от продукции промышленности и сельского хозяйства, изучение уровня обеспеченности производства денежными средствами из внутренних и внешних источников, изучение влияния на выпуск продукции предприятием труда и капитала, имеют общим то, что их модели содержат всего две переменные. В такой постановке можно рассмотреть и задачу оценки жизненного уровня населения, который в некоторой степени определяется общим объемом потребительской корзины и распределением в ней расходов на еду и одежду, т.е. структурой потребления основных продуктов. Рассмотрим следующую элементарную модель.

Предположим, что функция Q = x¹ + x² является функцией расходов на еду x¹ = x¹(t) и  одежду x² = x²(t). Введем новую переменную Q = 2q и перепишем равенство в виде среднеарифметической величины расходов на питание и одежду  q = (x¹ + x²) / 2. Годограф кривой расходов, как функции времени, описывается радиус-вектором  x = x¹e₁ + x²e₂ . Если на этой кривой зафиксировать неособую точку a = x(t_o), то в этой точке можно определить вектор потребления данных продуктов в единицу времени и вектор предельного потребления u = u¹e₁ + u²e₂ . Здесь базис фиксирован в точке a . Координаты вектора u будут производными по времени соответствующих компонент радиус-вектора x кривой расходов. Аналогично определим и вектор скорости изменения предельного потребления w = w¹e₁ + w²e₂ , где wⁱ =duⁱ/dt , i = 1, 2. Пространство всевозможных допустимых векторов определит векторное пространство X. Это векторное пространство наделим стандартной топологией, которая индуцируется евклидовой метрикой. В силу этой метрики определим среднеквадратическую оценку суммарных расходов ||x|| = (((x¹)² + (x²)²)/2)^1/2 оценку их интенсивности ||u|| = (((u¹)² + (u²)²)/2)^1/2  и оценку изменения этой интенсивности ||w|| = (((w¹)² + (w²)²)/2)^1/2, где введены обозначения: uⁱ = dxⁱ/dt,  wⁱ = duⁱ/dt,  i = 1, 2.

Следует отметить, что средняя квадратическая оценка несколько завышает фактический уровень средних расходов, но, как строго монотонная функция, может служить индикатором бинарного отношения (индикатором первого рода). Поэтому на уровне обсуждения качественных проблем, связанных с установлением свойств этих бинарных отношений, эти оценки эквивалентны, т.е. качественные бинарные оценки можно строить как на основе средних арифметических, так и на основе средних квадратических. Однако, средние квадратические оценки гораздо богаче. Они дают возможность использовать в анализе хорошо разработанные методы гильбертова пространства и, опирающиеся на них, методы математической статистики.

В общем виде оценку среднего запишем в виде выпуклой линейной комбинации q = w₁x¹ + w₂x², w₁ + w₂ = 1, w₁ > 0,   w₂ > 0. А  метрику построим на основе билинейной положительно определенной симметрической формы, которая для оценки двух допустимых процессов  x =x(t) и y = y(t) Î X Ì R², t, tÎ T, принимает вид M(x, y) = w₁x¹y¹ + w ₂x²y². Здесь  каждый процесс может иметь свое локальное время. Находим ¶ M(x, y)/¶ t = M(u, y), ¶ M(x, y)/¶ t = M(x, v). Средняя квадратическая оценка интенсивности расходов в первом из допустимых процессов и скорости её роста определяются по формулам : s(u) = M(u, u),  s(w) = M(w, w).

На каждой кривой можно ввести свой натуральный параметр. Рассмотрим, например, кривую x = x(t). Квадрат элемента дуги на этой кривой будет равен выражению dl² = D(u)dt²,  а натуральный параметр на данной траектории определяется выражением l = òs(u)dt, где интегрирование проводится от a до t. На второй кривой y = y(t),  v = y(t) в качестве натурального параметра можно взять переменную s = òs( v)dt. Здесь пределы интегрирование  от с до t.

В силу построенной метрики  вектор x' = ¶x/¶ l = u / s(u) является единичным, т.е. имеет место равенство D(x') = 1. Тогда ¶D(x')/¶l = 2M(x', x'') = 0. Отсюда заключаем,  что вектор интенсивности затрат ортогонален скорости их роста. Если n - ортогональный  к x' единичный вектор, то x'' = kn, где k = k(l) = s(x'') является кривизной кривой x = x(t). Из тождества D(x')D(x'') = M²(x', x'') + G²(x', x'') и условия ортогональности  x' и x'' получаем выражение для оценки скорости роста интенсивности расходов D(x'') = G(x'', x') / D(x'), из которого находим выражение для кривизны k = G(x'', x') / s(x'). Обратная величина кривизны дает величину радиуса кривизны данной кривой в соответствующей точке R = s(x') / G(x'', x').

Рассмотрим в пространстве X два процесса y = y(s) - базисный, и x = x(l) - любой другой. Пусть кривые, отвечающие этим процессам, пересекаются в точке a = x(l_o) = y(s_o). В окрестности этой точки запишем условие динамики возможной интенсивности расходов как возмущения базисной интенсивности y' = x'  + dx'. Это условие является условием согласования локальных направлений динамики. Из тождества D(y')D(x') = M²(x', y') + G²(x', y') находим l² = I² + J². Для приращений получаем аналогичное тождество dl² = dI² + dJ². Здесь введены обозначения: I = w₁I¹ + w₂I², dI = w₁dI¹ + w₂ dI², l = s(y') / s(x'), dl = s(dx') / s(x'), Iⁱ = y'ⁱ / x'ⁱ, wⁱ = (x'ⁱ)² / D(x'), dIⁱ = dx'ⁱ / x'ⁱ, i = 1, 2. При этом имеют место равенства:  dI = I - 1, dIⁱ = Iⁱ - 1. Из соответствующих тождеств и условия y' = x'  + dx' получаем равенство G(y', x') = G(x', x'), из которого находим  J = (w₁w₂)^1/2 (I¹ – I²). Отсюда следует, что кривизна возможных траекторий определяется относительно базовой траектории посредством параметра J и характеризуется различиями в направлениях их динамики расходов.

Если траекторию определить посредством натурального параметра, т.е. x = x(l), то будут справедливы формулы Френе x'' = kn, n' = - kx', из которых с точностью до малых второго порядка получаем систему уравнений:

x' + dx' = x' + x'' dl = x' + k dl n,

n + dn = n + n' dl = n' - k dl x'.

С помощью обозначения dS= k dl  перепишем формулы при малых значениях dS в виде

x' + dx' = x' cos dS + n sin dS,

n + dn = - x' sin dS + n cos dS.

Отсюда заключаем, что формулы Френе задают вращение сопутствующей системы координат при переходе от точки l_o к близкой точке l = l_o + dl. Кривизна кривой связана со скоростью этого вращения  и предельное значение кривизны определяется величиной k = dS / dl. Следовательно, кривизна кривой совпадает со скоростью роста структурных сдвигов в расходах, т.е. с изменением пропорций в структуре потребления.

Пространственная кривая. Пусть в аффинном  пространстве Aⁿ (n ³ 3) наблюдается эволюция некоторого объекта, которая  характеризуется некоторой кривой. В этом пространстве зафиксируем произвольную точку a в качестве начала системы отсчёта и построим присоединённое векторное пространство Rⁿ. В пространстве Rⁿ проведем параметризацию кривой x = x(t), t Î T. Эволюция объекта в этом пространстве предстанет многомерным процессом x = (xⁱ = jⁱ(t)| i Î N = {1, 2, …, n}), с компонентами xⁱ = xⁱ(t). Пусть известна динамика объекта, т.е. его скорость u = dx/dt и ускорение w = d²x/dt² в каждой точке траектории и в пространстве Rⁿ построена метрика s(x) = (w_i(xⁱ)². Определим длину элемента дуги кривой dl = s(u)dt и введём на кривой натуральный параметр l = òs(u)dt, t Î [t_o, t], который в дальнейшем и будем считать параметром кривой. Кривизна кривой, как и в случае плоской кривой, будет характеризоваться показателем k = s(w), а его обратная величина R = 1/k будет радиусом кривизны кривой.

Для визуального наблюдения эволюции данного процесса возникает необходимость проектирования его в пространство R³. В отличие от плоского случая здесь будет показатель кручения кривой, который характеризуется поворотом вектора нормали к кривой, т.е. нормали к плоскости, построенной на векторах скорости и ускорения в соответствующей точке кривой.

Пусть кривизна и кручение постоянны. Введем обозначение s = (k² + c²)^1/2 и вектор главной нормали к кривой в естественном базисе запишем в виде n = ( - cos(sl), - sin(sl), 0), где l - натуральный параметр. Интегрируя в формулах Френе последнее уравнение, найдем b = A(- sin(sl), cos(sl), Cs). Здесь C - произвольная постоянная, A = k / s. Из u = n´b получаем выражение для скорости эволюции процесса u = - A(Cs sin(sl), - Cs cos(sl), 1), а из условия s(w) = k находим значение произвольной постоянной C = k / s². Интегрирование вектора скорости даёт возможность получить уравнения траектории динамики процесса в параметрической форме в стандартном базисе:

x = x_o + C cos(sl),

y = y_o + sin(sl),

z = Al.

Для изучения процесса по агрегатным показателям запишем его динамику в виде уравнений в параметрической форме в сопровождающем базисе Френе {u, n, b}. При малых значениях параметра x(l) = x(0) + l x’(0) + l²/2 x’’(0) + l³/6 x’’’(0) + ... . Поскольку x(0) = x_o, x’(0) = u, x’’(0) = kn, x’’’(0) = kn + k’n = - k²u + k’n + lcb, то правую часть последнего выражения можно переразложить по векторам сопровождающего базиса Френе x(l) = x(0) + (l + ... )u + (kl²/2 + ... )n + (kcl³/6 + ... )b. Ограничиваясь в каждой скобке старшими членами, найдём x = x(0) + u + 1/2 l²kn + 1/6 l³kcb. Следовательно, скорость эволюции процесса будет равна u(l) = u(0) + lkn + 1/2 l² kcb. Для оценки ее модуля приходим к выражению s(u) = (1 + k²l² + 1/4k²c²l⁴)^1/2. Если эту оценку представить в виде l²  = I² + J², то придём к заключению, что оценка темпов развития по траектории составит I = 1, а оценка темпов структурных сдвигов будет представлена выражением J = kl (1 + 1/4 c²l²)^1/2  @ kl(1 + c²l²/8).

Отсюда заключаем, что для пространственного процесса качественные изменения связаны со структурными сдвигами, которые определяются кривизной и кручением кривой эволюции. Кривизна в структурных сдвигах играет главную роль, а кручение по отношению к кривизне является малой более высокого порядка.

Эволюция на поверхности. Пусть X – пространство допустимых состояний некоторого объекта, который под внешним воздействием, определим это воздействие функционалом  F: X®R, y = F(x),  приобретает движение x: T ® X Ì Aⁿ, xⁱ = xⁱ(t), t Î T = [t_o , t), i Î N ={1, 2, …, n}. Для определённости будем считать, что значение функционала F(x) есть доход объекта в состоянии x. Зафиксируем на множестве X произвольное состояние a(t_o) объекта и рассмотрим окрестность U_a Ì X, состоящую из  достаточно близких к этому состоянию точек xÎX. Предположим, что данный объект может перейти из любого состояния x Î U_a в состояние a. Очевидно, что такой переход должен определять некоторую достаточно гладкую траекторию эволюции x = g(t). Рассмотрим приращение дохода при таком переходе.  Получим для приращения функционала выражение в форме Лагранжа D_aF(x) = F(x) – F(a) = ÑF(x)u, где x = a + qu, 0 < q < 1. Это выражение является производной по направлению u = dg(t)/dt Î X Ì Rⁿ. Если ввести обозначение n = ÑF(a) для градиента функции F в точке a и сопряжённое к X пространство X* такое, что n Î X*, то  приращение функции можно записать в виде скалярного произведения p = D_aF(x) = nu. Плоскости nu – p = 0 параллельны плоскости nu = 0, касательной в точке x = a к пространству X. Касательной потому, что в этой плоскости лежат касательные прямые, проходящие через точку x = a,  ко всем возможным кривым пространства X, проходящим через данную точку. Величина приращения функционала наиболее быстро растёт в направлении вектора нормали n к касательной плоскости. Набор всех касательных векторов u ко всем возможным кривым g(t), проходящим через  точку a Î X, назовём касательным пространством в точке a и обозначим T_aX. Следовательно, T_aX будет векторным пространством.

Связь аффинного пространства X с векторным пространством T_aX даёт возможность  окрестность U_a Ì X точки a аффинного пространства снабдить стандартной топологией, которая данную окрестность обращает в топологическое векторное пространство, т.е. при которой сложение и умножение векторов на скаляр становятся непрерывными операциями на U_a . Такая топология индуцируется любой вспомогательной евклидовой метрикой, определяемой как d_a(x, y) = s_a(u), u  = y – x Î T_aX , x, y Î U_a . Здесь метрика  вводится с помощью положительно определённой симметричной билинейной формы M_a(u, v) = v*g(a)u на T_aX´T_aX, рассматривая множество U_a Ì X как его проекцию на касательное множество T_aX. Набор всех касательных пространств, отвечающий всем точкам x пространства X назовём касательным расслоением этого пространства и обозначим TX. Значит TX = ÈT_xX, x Î X. Рассматривая окрестность U_x как некоторую карту окрестности точки x = a множества X на плоскости T_aX, можно все такие карты “собрать” в единый атлас A, картографировать множество X так, что непрерывная произвольная кривая g(t) будет непрерывно переходить из карты в карту. При этом непрерывно вдоль кривой будет скользить и касательный вектор u. Это превращает касательное расслоение в гладкое многообразие размерности 2n. При этом само пространство X Ì Rⁿ  будем называть n –мерным многообразием.

Если X n-мерное многообразие, то в каждой его точке a можно построить открытое подмножество U_a , на котором выбрать евклидову структуру, т.е. ввести систему локальных координат j = (j¹, j², …, jⁿ) Î A. Само подмножество U_a  будет координатной картой. Если x, y Î U_a , то x в этой карте состоянию приписываются координаты xⁱ = jⁱx, а вектору u = x – y – координаты uⁱ = xⁱ – yⁱ, i = 1, 2, …, n. Все координатные карты покрывают X. Для любой пары координатных карт U_a и V_b существует гладкая функция перехода из карты в карту, равная композиции отображений j_b° j_a^-1,  такая, что  j_b° j_a^-1: j_a(U_a Ç V_b) ® j_b(U_a Ç V_b). Очевидно, что здесь делается явная подмена:  подмножество U_a как подмножество множества состояний X заменяется областью плоской карты. Хотя явные формулы для состояния на U_a  и его отображения на карте будут, вообще говоря, разными, но из-за возможности выбора области малой их существенные основные свойства останутся теми же самыми.

Не нарушая общности изложения, будем полагать, что на множестве допустимых состояний X отображением F:  X ® R³ определено потенциальное поле. Зафиксируем некоторую точку a Î X вместе с ее достаточно малой окрестностью U_a и рассмотрим поверхность F(x) = C, где С = F(a). К этой поверхности в данной точке проведем плоскость nu =0. Здесь n = ÑF(a), u = x - a Î T Ì X. Естественно, что вектор градиента  показывает направление наибольшего роста потенциала объекта при его выходе из состояния a.  Если точка a невырожденная, то в ее окрестности можно ввести локальные координаты u и v и текущий вектор состояния представить в виде зависимости от этих координат: x = x(u, v). В качестве переменной u в рассматриваемом примере возьмем x¹, а в качестве v возьмём x². Получим  x³ = f(x¹,  x²). Квадрат элемента дуги на такой поверхности можно представить в виде dl² = g_ijdxⁱdx^j = D(u). Отсюда найдём  dl = s(u). Квадратическая форма определяет евклидову метрику на поверхности путем отображения окрестности U_a точки a в окрестность V_a этой точке на касательной плоскости T_aX.

Рассмотрим на поверхности две кривые и запишем их уравнения в параметрической форме x = (x¹(t), x²(t)),  y = (y¹(t), y²(t)). Расширение M(u, v) = g_ijuⁱv^j метрики с диагонального множества D(X´X) позволяет находить  угол  между двумя возможными направлениями эволюции из фиксированной точки x(t_o) = a как угол между  векторами u и v касательного пространства T_aX q  = arccos(M(u, v) / s(u) / s(v)) и ввести элемент поверхности как площадь параллелограмма натянутого на данные касательные векторы ds = s(dx) s(dy) sin q. Отсюда находим выражение для квадрата элемента поверхности

ds² = D(dx) D(dy) – M²(dx, dy) = G(dx, dy)

и формулу для вычисления площади поверхности  U: 

S(U) = òG(u, v)dtdt,

где интегрирование проводится по области U Ì T_xX, а в выражении

G(u, v) = ± G^1/2(u, v)

знак выбирается в зависимости от ориентации поверхности.

Пусть точки A и B, лежащие на поверхности, определяют два состояния, в которые возможен переход по траекториям g₁ и g₂. Оценить переход из одного состояния в другое по этим траекториям можно по показателю отношения их длин l = s(g₂) / s(g₁), где введено обозначение s(g) = ò s(u)dt, а для оценки качественных различий подобного перехода, с учетом неравенства çS(U)ç £ s(g₁) s(g₂), можно ввести показатель sin j = S(U) / s(g₁) / s(g₂). Отсюда следует взаимодвойственный показатель качественного сходства данных переходов cos j = (1 – sin²j)^1/2 и тождество l² = I² + J², в котором введены обозначения: J = S(U) / s(g₁),  I = (D(g₁ )D(g₂) – S²(U))^1/2/D(g₁).

Таким образом, задание римановой метрики позволяет производить оценку пути эволюции и оценить качественные различия производственных процессов при эволюции по различным траекториям.

Кривизна пространства состояний и ее связь со структурными сдвигами. Рассмотрим простейшую модель предприятия, в которой прибыль определяется разностью между доходом от реализации и затратами. Поскольку доход равен произведению объема Q реализованной продукции на цену ее сбыта P, имеем S = PQ - C. Одну и ту же прибыль можно получать при различных производственных ситуациях. Следовательно, этому уравнению будет отвечать некоторая совокупность эквипотенциальных поверхностей. Для анализа  данного производственного процесса в пространстве возможных производственных ситуаций зафиксируем  базовую точку (Q_o, P_o, S_o, C_o) и в ее окрестности перейдем к индивидуальным индексам  x₁ = Q / Q_o,   x₂ = P / P_o,   x₃ = S / S_o,    x₄ = C / C_o.

 Зависимость в индикаторной форме запишем в виде  x₄ = F(x₁, x₂, x₃), где F(x₁, x₂, x₃) = ax₁x₂ - bx₃ - индикаторная функция затрат, a = P_oQ_o/C_o - величина дохода, b = S_o / C_o - величина прибыли, приходящиеся на рубль затрат в базовой точке. При фиксировании затрат на уровне x₄ = x^o₄  получим поверхность возможных состояний x₃ = f(x₁, x₂) = b^-1(ax₁x₂ - 1). Продифференцируем уравнение  поверхности и полученное равенство перепишем в виде dx₄ = u grad F, где u = dr, r = (x₁, x₂, x₃). Отсюда заключаем, что в любой точке r = a данной поверхности можно построить касательную плоскость mu = 0. Здесь r = a + u. При этом, наиболее быстрое снижение затрат будет происходить в направлении вектора нормали к данной плоскости m = - grad F(a).

Поверхность фиксированных затрат параметризуем уравнениями x¹ =x₁,   x² = x₂,   x³ = f(x₁, x₂) = b^-1(ax¹x² - 1) и эволюцию деятельности предприятия свяжем с интенсивностью выпуска продукции. В зависимости от выпуска будут меняться цена продукции и прибыль предприятия. Эти зависимости на  поверхности фиксированных затрат определят кривую x¹ = x₁,  x² = x₂(x₁),  x³ = f(x₁, x₂(x₁)).  Направим ось Ox₁ по касательной к данной кривой в точке a. Тогда ось Ox₃ будет направлена по нормали к касательной плоскости, а  прибыль будет функцией объема выпуска  x³  = x₃(x₁). Касательная к этой кривой в точке r = a является линией пересечения касательной и нормальной плоскостей к поверхности в данной точке, отвечает вектору интенсивности выпуска, который служит касательным вектором к кривой выпуска, лежащей на поверхности и проходящей через точку r = a. При параметризации поверхности получаем разложение u = u¹r₁ + u²r₂, где uⁱ = dx_i, а r_i - направляющие векторы соответствующих криволинейных координат. Свяжем эволюцию по возможной траектории с поворотом нормали к кривой, т.е. с кривизной поверхности в соответствующей точке, которая таким образом характеризует ожидаемые структурные сдвиги при выборе возможного направления динамики.

 Дифференцируя разложение радиус-вектора текущей точки поверхности по векторам стандартного базиса r = x¹e₁ + x²e₂ + x³e₃, будем иметь: r₁ = e₁ + a/b x²e₃,    r₂ = e₂ + a/bx¹e₃. Эти векторы лежат в касательной плоскости, к которой перпендикулярна ось Ox₃. Эта ось определяется векторным произведением r₁´r₂ = b^-1(- a(x²e₁ + x¹e₂) + be₃) = b^-1m. Следовательно, наибольший рост прибыли предприятия  пропорционален наиболее быстрому сокращению затрат. Если модуль вектора определить в евклидовой метрике, то вектор нормали будет устанавливать оптимальные пропорции между производственно-хозяйственными показателями деятельности предприятия на данном уровне затрат. Для вектора нормали к кривой получаем выражение

n = (- ax₂e₁ - ax₁e₂ + be₃) / (a²(x₁² + x₂²) + b²)^1/2.

Векторы r₁, r₂ и n составляют сопровождающий базис траектории эволюции  предприятия. Квадрат элемента длины дуги этой траектории совпадает с первой квадратичной формой dr² = a_ijuⁱu^j = u*Au, в a₁₁ = 1 + (a/b x₂)²,  a₁₂ = a₂₁ = (a/b)²x₁x₂,  a₂₂ = 1 + (a/b x₁)². Кривизна  нормального сечения поверхности будет определяться отношением k(dr) = u*Bu / u*Au . Здесь в числителе стоит вторая квадратичная форма поверхности u*Bu = nd²r = b_ijuⁱu^j. В рассматриваемом случае b₁₁ = b₂₂ = 0,   b₁₂ = b₂₁ = a / D^1/2,   D = b² + a²(x₁² + x₂²). При различных направлениях эволюции из некоторой фиксированной точки на поверхности уровня ее кривизна меняется, принимая значения от наибольшего значения k₁ до своего наименьшего значения k₂. Если от направления наибольшей кривизны отложить угол j, то для кривизны будет справедлива формула Эйлера

k(dr) = k₁cos²j + k₂sin²j,

где k₁ и k₂ - главные кривизны поверхности. Они являются корнями уравнения det (B - k A) =0. Это квадратное уравнение . По теореме Виета из него находим среднюю кривизну поверхности H = (k₁ + k₂) / 2 = - ax₁x₂ / D^3/2 и кривизну Гаусса K = k₁k₂ = - a²b² / D². Зная коэффициенты первой и второй квадратичных форм, легко получить значения коэффициентов связности Г¹₁₁ =  Г²₁₁ = Г¹₂₂ = Г²₂₂ = 0, Гⁱ₁₂ = a²x_i / D,  i = 1, 2. Эти коэффициенты участвуют в формировании выражения для кривизны Римана-Кристоффеля, входят в тензор деформации и в определение скорости эволюции при переходе из одного состояния в другое на поверхности фиксированных затрат, которая описывается деривационными формулами Вейенгартена  путем изменения сопровождающего базиса на траектории:

r₁₁ = r₂₂ =0, 

r₁₂ = r₂₁ = (a²(x₂r₁ + x₁r₂) + n) / D,

n₁ = a(a² x₁x₂r₁ - (b² + a²x₂²)r₂) / D^3/2,

n₂ = a(-(b² + a²x₁²)r₁ + a²x₁x₂r₂) / D^3/2;

где введены обозначения: r_ij = ¶r_i / ¶x_j,  n_i = ¶n / ¶x_i,  i = 1, 2.

 График изменения кривизны поверхности при эволюции в различных направлениях из данной точки можно построить в виде индикатрисы Дюпена. Для этого в касательной плоскости от точки касания следует отложить в направлении касательного вектора dr отрезок длины

çk(dr)ç^-1/2. 

Получим

u*Bu = (b₁₁(u¹)² + 2b₁₂u¹u² + b₂₂(u²)²)² = 1.

Коэффициенты второй квадратичной формы вычисляются в точке касания, точке r =a.

Если det  B > 0,  то индикатриса Дюпена представляет собой эллипс. В этом случае поверхность в рассматриваемой точке имеет форму эллиптического параболоида, и точка r =a является точкой эллиптического типа. Если det B < 0, то индикатриса состоит из двух гипербол с общими асимптотами. Поверхность в такой точке имеет форму гиперболического параболоида, и точка r  = a является точкой гиперболического типа. В точке эллиптического типа кривизна Гаусса положительна и главные полуоси эллипса определяют главные кривизны. Для точки гиперболического типа кривизна Гаусса отрицательна. В случае точки параболического типа кривизна Гаусса равна нулю. В рассматриваемом случае K < 0 во всех точках поверхности и, следовательно, поверхность постоянных затрат имеет вид гиперболического параболоида.

Пусть точка r = a служит началом локальной системы координат и касательная плоскость к поверхности F(r) = C, где C  = const, является координатной плоскостью. Если x₃ = f(x₁, x₂), то в силу специфики разложения криволинейных текущих координат  первые производные этой функции в начале координат обращаются в нуль и ее разложение в ряд Тейлора начинается с членов второго порядка. Это разложение в обозначениях Монжа

R = ¶²f(0, 0) / ¶x₁², 

S = ¶ ²f(0, 0) / ¶x₁ / ¶x₂, 

T = ¶f(0, 0) / ¶x₂²

имеет вид

x₃ = 1/2 (Rx₁² + 2Sx₁x₂ + Tx₂²) + ... .

Из условий

r₁₁ = ¶²f / ¶x₁² e₃,    

r₁₂ = ¶²f / ¶x₁ / ¶x₂ e₃,     

r₂₂ = ¶²f / ¶x₁² e₃

получаем равенства

b₁₁ = R,   

b₁₂ = b₂₁ = S, 

b₂₂ = T,

т.е. вторая квадратичная форма поверхности отличается от суммы членов второго порядка лишь множителем 1/2. Поэтому, в случае, если RT – S² > 0, поверхность в окрестности рассматриваемой точки имеет вид эллиптического, а в случае RT –S² < 0 – гиперболического параболоида.

Если при данной параметризации  уровень цен зависит только от выпуска продукции и определяется уравнением x₂ = p – qx₁, то будем иметь x₃ = b^-1(ax₁(p – qx₁) - 1). Сечение поверхности плоскостью  дает параболу, которая имеет точку максимума x₁ = p / (2q),  x₂ = p / 2. На значения этих переменных не влияют уровни прибыли и затрат. Поэтому при известных зависимостях x₄ = x₄(x₁) и x₃ =  x₃(x₁) можно определить уровни затрат и прибыли подстановкой найденного оптимального объема выпуска.

Сделаем численный анализ производственного процесса по исходным данным таблицы 1 на конкретном примере, приведенном в методическом пособии Шеремет А. Д., Дей Г. Г., Шаповалов В. Н. “Метод цепных подстановок и совершенствование факторного анализа экономических показателей” (Вест. МГУ, сер.“Экономика”,1971, №94).

Анализ данных показывает, что объем выпуска продукции на 94% связан с ценами на нее. Из-за длительного периода выпуска этой продукции падает фактический спрос на рынках ее сбыта. Чтобы удержать прибыль в пределах среднего уровня 2.5 млн. руб. приходится увеличивать объемы выпуска. Но увеличение выпуска продукции ведет к быстрому наращиванию затрат по полной себестоимости, поскольку последняя на 81% определяется выпуском продукции (коэффициент  детерминации d = 81). Подобная погоня за ценами ведет к излишней перенапряженности производства. Очевидно, существует такая равновесная точка, когда дефицит спроса на продукцию позволяет поддерживать цены на нее на определенном уровне. Это дает возможность снять напряженность производственного процесса и получить прибыль выше среднегодового уровня за предыдущий период.                

                                   Таблица 1. Характеристика производства за пять лет.

При переходе к индивидуальным индексам за  базис  возьмем последний отчетный год и введем переменные x₁ = Q / 2695,  x₂ = P / 4764,  x₃ = S / 2703,   x₄ = C / 10137. Получаем следующие уравнения регрессии:  x₂ = 1.7019 - 0.7098x₁,  x₄ = 0.4477 + 0.5661x₁, при уравнении межфакторной зависимости вида  x₃ = b^-1(ax₁x₂ – x₄),  a = 1.2667, b = 0.2667. При пересечении  последней  поверхности с плоскостями получаем параболу x₃ = - 3.3717x₁² + 5.9611x₁ - 1.6789.

Данная парабола в точке x₁ = 0.8842 имеет максимум, которому отвечает оптимальный выпуск продукции Q = 2382 шт. Этому оптимуму будет соответствовать средняя  цена на данную продукцию на рынках ее сбыта P = 5119 руб., издержки производства по полной себестоимости C = 9610 тыс. руб. и прибыль S = 92583 тыс. руб. Прибыль на 3.4% превышает среднегодовой уровень прибыли за предшествующие пять лет. Следовательно, оптимизация производства по отношению к последнему году сократит выпуск продукции на 12%. Это приведет к повышению спроса и поднимет цены на продукцию на 7%. На 5% снизится уровень затрат.

Полученные результаты анализа совпадают с результатами предельного анализа, проведенного в работе в указанной выше работе.. Поскольку оптимальная точка совпадает с точкой, в которой предельные издержки равны предельному доходу D = PQ,  где D = S + C, то из условия x₃ ® max вытекает условие dD / dQ = dC / d Q. Переходу из состояния  x₁ = x₂ = x₃ = x₄ в состояние производственного оптимума x₁ = 0.884,  x₂ = 1.074, x₃ = 0.956, x₄ = 0.948 отвечает вектор интенсивностей u = dr/dt = (- 0.116, 0.074, 0.044, 0.052), на котором первая и вторая квадратичные формы принимают  значения u*Au = 0.058,  u*Bu = - 0.012 Для кривизны кривой в окрестности базовой точки получаем значения k(dr) = - 0.2083. Кривизна Гаусса и средняя кривизна поверхности равны - 0.011 и  -0.342, соответственно.

Как видим, поверхность в окрестности базовой точки представляет собой  гиперболический параболоид со значением главных кривизн k₁ = 0.015 и k₂ = -0.699. Из формулы Эйлера находим угол j = 40^o,  который соответствует направлению с наибольшей кривизной, т.е. направлению, достижение производственных результатов в котором требует наибольших структурных изменений в производстве. Видим, что для перехода предприятия в оптимальное состояние необходимы незначительные структурные сдвиги. Можно ожидать, что и в производственной схеме не потребуется больших качественных преобразований. Практически, в окрестности базовой точки кривая спрямляема, т.е. имеет очень большой радиус кривизны по отношению к длине вектора интенсивности выпуска продукции.

Введение в теорию поля. На множестве X допустимых состояний рассмотрим отображение F: X®R , y = F(x) , которое каждому состоянию x Î X ставит в соответствие определённое вещественное число y Î R. Не нарушая общности изложения, как и выше будем полагать, что x это одно из допустимых состояний предприятия, но F(x) пусть будет  объём оборотных средств предприятия в данном состоянии (либо объём инвестиций). Таким образом, уравнению F(x) = C отвечает в пространстве допустимых состояний множество состояний с одинаковым уровнем оборотных средств, равных C, т.е. различные состояния с одинаковым потенциалом, равным C. Такие состояния будем называть эквипотенциальными. В пространстве X´R уравнению F(x) = C отвечает поверхность, которую назовём эквипотенциальной поверхностью. На эквипотенциальной поверхности переход из одного состояния в другое не меняет потенциала предприятия. Приводит в общем случае только к  его внутренней структурной перестройке, в рассматриваемом случае - к качественному внутреннему изменению (предположим, модернизации технологического процесса) при фиксированном уровне оборотных средств.

На множестве X Ì Rⁿ  рассмотрим кривую, параметризованную отображением g: T ® X, x = g(t), где T – интервал вещественной оси. Пусть t_o, t Î T и x_o = g(t_o) и  x = g(t). В локальной карте кривая задаётся n гладкими функциями xⁱ = gⁱ(t). В каждой точке она имеет касательный вектор

u = (u¹, u², …, uⁿ),

где uⁱ = dgⁱ/dt - скорость роста кривой g.

Полагаем, что этот вектор гладко меняется от точки к точке по кривой. Если g  лежит на поверхности U(x) = C, то касательный вектор меняется так, что всё время лежит в касательном пространстве T_xX к поверхности в соответствующей точке. Если же x и x’ - два допустимых состояния и U(x’) ¹ U(x), то существуют две эквипотенциальные поверхности U(x) = C и U(x) = C’ и путь g с разными конечными потенциалами C и C’ . При этом разность потенциалов U(x’) – U(x) = D_xU(x’) » dU(x). Сделаем следующие преобразования: 

dU(x) = (¶U/¶xⁱ)dxⁱ/dt = (F_idⁱ)(uⁱ¶_i)dt = Fudt = Fdx.

Здесь введены векторы, разложенные по соответствующим составляющим:

F = F_idⁱ, u = uⁱ¶_i,

dr = udt = (dx¹, dx², …, dxⁿ),

r  = (x¹, x², …, xⁿ) Î X,

где F_i  = ¶U/¶xⁱ – доля расхода оборотных средств в общем их объёме U для поддержания предельного выпуска продукции i-го вида на уровне uⁱ. Введены обозначения  ¶_i = ¶ /¶xⁱ для локального ковариантного базиса в касательном пространстве T_x X и взаимного базиса dⁱ = d /dxⁱ, которые отвечают параметру кривой, лежащему в пределах от t_o до t. К каждой точке множества X “прикрепляются” два вектора F и u пространства. Эти векторы на множестве X определяют два взаимных векторных поля, которые характеризуют траекторию динамики объект. Для перевода объекта из состояния x в состояние x’ по траектории g нужно совершить работу, которая, очевидно, определяется объёмами оборотных средств, необходимых для такого перехода. Её можно подсчитать по одной из следующих формул:

A(g) =òdU(x) = òFudt = ò Fdr.

Рассмотрим вектор u Î T_x X. Представим его в виде u = uⁱe_i, где e_i = ¶ /¶xⁱ. Этот вектор действует как линейный функционал

u(F) = uⁱ¶U/¶xⁱ,            u(xⁱ) = uⁱ,

и

(u₁ + u₂)(U) = u₁(U) + u₂(U),           (au)(U) =au(U).

Векторы e_i в касательном пространстве T_x X являются касательными к координатным кривым xⁱ = gⁱ(t). Легко показать, что они линейно независимы и поэтому их можно принять за базис пространства X Ì Rⁿ. Если в точке x Î X происходит переход от одной локальной системы координат (от карты j: jⁱx = xⁱ) к другой (к карте y: yⁱx = yⁱ), то данные базисные векторы преобразуются по закону e_i = p^j_ir_j, где введены обозначения p^j_i =¶y^j/¶ xⁱ  и r_j = ¶ /¶y ^j. Здесь i, j Î N ={1, 2, …, n}.

Рассмотрим теперь дифференциал функции U в точке x Î X. Определим его формулой dU =¶U/¶xⁱ. Известно, что дифференциал является линейным оператором и, следовательно, все дифференциалы, вычисленные в точке x, образуют линейное пространство. Введём обозначение T_x*X для этого пространства и назовём его сопряжённым касательным пространством для пространства T_xX, или кокасательным пространством в точке x пространства X. Элементами этого пространства будут векторы F = F_ieⁱ, где введены обозначения F_i = ¶U/¶xⁱ, eⁱ = dxⁱ. Векторы eⁱ, i Î N,  составляют базис кокасательного пространства. Поскольку эти векторы линейно независимы, то их можно взять за другой базис пространства Х.  Скорость изменения потенциального поля вдоль кривой g, например, оценка изменения оборотных средств в единицу времени в точке x = g(t), определяется производной по направлению вектора скорости кривой в данной точке dU(x)/dt = u(U)|_x =  Fu = F_iu^j(eⁱ, e_j) = F_iu^j. Значит выражение (eⁱ, e_j)  можно рассматривать как скалярное произведение векторов пространства X, равное единице при j = i и нулю при j ¹ i, т.е. ввести симметричный билинейный функционал M(eⁱ, e_j) = (eⁱ, e_j) = d ⁱ_j , где d ⁱ_j символ Кронекера.     

Построим в точке x ковариантный базис e_i  пространства X. По этому базису можно разложить любой другой вектор этого пространства, в частности, любой вектор контравариантного базиса eⁱ, построенного в той же точке и наоборот. Пусть эти разложения имеют вид eⁱ = w^ije_j и e_i = w_ije ^j. Отсюда получаем метрические соотношения для ковариантных и контравариантных базисных векторов M(e_i, e_j) = w_ij  и M(eⁱ, e^j) = w^ij, соответственно. Для компонент метрического тензора w = w^ije_ie_j = w_ijeⁱe^j в ковариантном и контравариантном базисах имеют место равенства w_ikw^kj = d ^j_i и w_ji = w_ij, w^ji = w^ij. Таким образом, многообразию X ставится в соответствие сопряжённое многообразие X* и каждому вектору u = (u¹, u², …, uⁿ)Î X  может быть поставлен в соответствие сопряжённый вектор u* = (u₁, u₂, …, u_n)Î X*. Например, вектору  u = uⁱe_i соответствует  вектор сопряжённого пространства u* =  u_ieⁱ. Между компонентами сопряжённых векторов существует взаимная связь: uⁱ = w^iju_j, u_i = w_iju^j, которая в матричной форме  записывается в виде  u = u*W* и u* = Wu, где введены обозначения: W  = ((w_ij)), W* = ((w^ij)).

Пусть F = m/2u*W, где m/2 – коэффициент пропорциональность. Получим dU/dt = m/2D(u), или dU/dt = m||u||²/2. Это аналог кинетической энергии объекта в точке x = g(t). Интегрируя последнее равенство, находим работу, которую произвело потенциальное поле для переноса объекта по траектории g из состояния x₀ = g(t₀) в состояние x₁ = g(t₁): A(g) = òm||u||²/2 dt = òmD(u)/2dt. Отсюда следует, что оценка s(u) = ||u|| является скоростью объекта в точке x траектории g(t) его эволюции.

Работа в стационарном поле. Область пространства X, в котором определена функция U(x₁, x₂, …, x_n) явно не зависящая от времени, называется стационарным потенциальным полем. Если эта функция дважды непрерывно дифференцируема, то в данной области можно построить векторное силовое поле F = ÑU такое, в котором составляющие F_i = ¶U/¶xⁱ будут непрерывны. При различных значениях постоянной C уравнению U(x) = C будет отвечать семейство эквипотенциальных поверхностей, т.е. поверхностей с одинаковым потенциалом состояний x = (x₁, x₂, …, x_n) Î X. Фиксируя в пространстве X начало координат oÎ X, определим присоединённое векторное пространство X, элементами которого являются векторы r = x – o =(x¹, x², …, xⁿ) и функции U(r). Если вектор dr = (dx¹, dx², .., dxⁿ) принадлежит касательной плоскости, то выполняется равенство (F, dr) = (ÑU, dr)  = dU = 0, т.е. вектор u = dr/dt ортогонален поверхности эквипотенциального уровня, для которой он вычисляется. Линия, касательная, в каждой точке которой совпадает по направлению с силой F, называется силовой линией. Поскольку касательный вектор в каждой точке такой линии коллинеарен силе, то уравнение силовой линии имеет вид F = m/2u. Силовые линии потенциального поля ортогональны семейству эквипотенциальных поверхностей, так как вектор u, как вектор коллинеарный вектору F, направлен по нормали к поверхности равного потенциала. Работа в таком поле равна

A(g) =òdU(x) = U(x) – U(x_o) = C – C_o

и не зависит от пути g. Таким образом мы приходим к тому, что переход из одного состояния в другое в потенциальном поле связан с некоторыми энергетическими затратами.

Мера и основные метрические функционалы. Обозначим переход из состояния x в состояние y парой z = (x, y) и для множества возможных переходов введём обозначение Z. Пополним множество Z множеством обратных элементов z ^-1 = (y, x). Если X множество допустимых состояний, то множество Z будет подмножеством множества X´X.

Пусть E(Z) - пространство, сопряжённое пространству Z, элементами которого являются ограниченные метрические тензоры E = E(z), определённые на элементах множества Z. Каждый такой тензор запишем в виде тензорной суммы

E = E(z) = T(z) + U(z) = T + U = L*.

Тогда

E* = E(z ^-1) = T(z ^-1) + U(z ^-1) = E* + U* = L.

То есть каждой точке пространства E Î E(Z) можно в соответствие поставить упорядоченную пару действительных чисел (T, U) Î R´R, идентифицируемую действительными метрическими мензорами T и U. Второе равенство  данному метрическому пространству ставит в соответствие сопряжённое пространство E* Î E*(Z), в котором каждый элемент определён сопряжённой парой (T*, U*) соответствующих сопряжённых метрических тензоров. Метрические тензоры пространства E построим в виде средних

T = (E + E*) / 2,      U = (E - E*) / 2.  

Тогда сопряжённые тензоры будут определяться формулами

T* = T,       U* = - U.

Обычно полевую теорию задают с помощью функционала действия, который в пространстве суммируемых с квадратом функций удобно записывать в виде

S(L) = ò L*L dm = ò E*E dm = ò (T² - U²) dm = S(T) - S(U),

где введены обозначения:

S(T) = ò T² dm,    S(U) = ò U² dm.

В общем случае, представленные здесь интегралы будем рассматривать как интегралы Лебега-Стильтьеса, в которых суммирование проводится по всем пространственным переменным и времени.

Тензор E в пространстве R´R определяет гиперболическ5кую метрику, которая не удобна при использование характеристик математической статистики. Поэтому перейдём к другой метрики Y: R´R ® C, действующей в комплексном пространстве, и такой, что Re Y = T, Im Y = - U. Такую связь можно установить линейным оператором E = AY, E* = Y*A*. Оценку действия в пространстве C определим выражением

S(Y) = ò Y*Y dm =  ò (T² + U²) dm = S(T) + S(U).

Представленные ранее функционалы действия в эллиптическом пространстве, т.е. в пространстве с метрическим функционалом Y, будет определять выражение

S(L) = S(E) = ò Y*QY dm,    Q = A*A.

Естественно определить тензор L как лагранжиан, определить полную E, кинетическую T и потенциальную U энергию перехода состояния x в состояние y. При этом, собственное значение

l = S(L) / S(Y) = ò Y*QY dm / ò Y*Y dm.

оператора Q, соответствующее собственному значению измерительного тензора Y, позволяет определить отношение

U / T = ± ((1 - l) / (1 + l))^1/2  

между потенциальной и кинетической энергией при этом переходе, которое можно представить в виде меры вращательной симметрии в угловом измерении

q / h = arctg U/T,

где h вводится как масштабный коэффициент.

Полагая, что T и U билинейные и x = ly, имеем

Y*Y = T(x, y)T(y, x) - U(x, y)U(y, x)= T(x, x)T(y, y)= D(x)D(y),

где введены обозначения

D(x) = Y_x(x)  = T(x, x),        D(y) = Y_y(y)  = T(y, y).

В случае x ¹ ly,  D(x) ¹ T(x, y) и D(y) ¹ T(y, x) и, следовательно,

D(x)D(y) = D(x, y) ¹ T(x, y)T(y, x).

Всегда можно подобрать функционал U так, чтобы имело место равенство

 D(x, y) = T(x, y)T(y, x) - U(x, y)U(y, x) = Y_y(x)Y_x(y).  

Меры T(x, y) и Y_y(x) гомотопически эквивалентны мере D(x) и получаются расширением с диагонального подмножества множества X´X на всё множество.

Метрический тензор Y  можно представить в виде

Y_y(x) =  T(x, y) - i U(x, y) = s(x)s(y)exp(-iq(x, y)/h) = s(x, y)exp(-iq(x, y)/h),

где введены обозначения:  

s(x) = D^1/2(x),    q(x, y) = h arctg U(x, y)/T(x, y),    s(x, y) =s(x)s(y),

Видим, что масштабный коэффициент h играет роль метрической связности отношения кинетической и потенциальной энергии. Действительно, если |U(x, y)| << T(x, y), то q(x, y) = hU(x, y)/T(x, y). Тензор U учитывает оценки волновых характеристик в связях состояний x и y. Это хорошо видно из конструкции метрики Y. 

Пусть x = x(t) и y = y(t) описывают некоторые, в общем случае, многомерные обновляющие стохастические процессы на временном горизонте T. Продифференцировав Y по параметру t Î T, приходим к волновому уравнению

ih ¶_tY = HY,

в котором множитель H = ¶_tq + ih¶_tln s, ¶_t = ¶ / ¶t, выступает в качестве оператора Гамильтона. В предельном случае, когда амплитуды процессов меняются медленно, правая часть уравнения сводится к простому умножению метрического тензора  на величину круговой частоты качественных сдвигов ¶_tq. Если гамильтониан сохраняет своё значение на интервале изменения параметра, то процесс называется сохраняющимся. Механический смысл гамильтониана в случае сохраняющегося процесса заключается в том, что гамильтониан определяется как энергия процесса. А смысл закона сохранения энергии в таком случае состоит в том, что если на интервале T процесс сохраняющийся и в момент времени t Î T его энергия фиксируется на уровне E, то это значение энергии сохраняется на всём интервале T. В случае сохраняющегося процесса H = E = const и

Y_y(x) = y(x, y) exp(- iEt/h),    t Î T.

Для сохраняющегося процесса можно ввести круговую w = E / h и угловую n = 2pw частоту, длину волны l = c/w , где c – скорость распространения волны, модуль k = 2p / l = 2pn / c = w / c волнового вектора k, задающего направление распространения волны.  Поскольку движение связано с перемещением некоторой формы материи, то можно ввести количество движения p = hk при этом перемещении.

При построении метрической функции в произвольном случае гамильтониана интервал изменения параметра разобьем промежуточными точками t_k  на n интервалов T_k , k Î N = {1, 2, …, n}, так, чтобы можно было считать, что на каждом интервале объект находится в стационарном состоянии с фиксированной величиной гамильтониана E_k.  На каждом участке траектории эволюции получаем своё метрическое уравнение, решение которого определяет собственную метрическую функцию Y_k . Для построения метрической функции на всём интервале воспользуемся принципом наложения состояний. Получим

Y_y(x) = å _{k Î N} a ^kY_yk(x, t) = å _{k Î N} a ^ky_yk(x) exp(-iE_kt /h),      t Î T.

Последовательность функций Y_k можно ортонормировать, например, методом Грама-Шмидта, а саму метрическую функцию Y - нормировать.

Оценки. Задание метрического тензора Y определяет систему координат ( или карту, Y-карту). В случае нормирования метрического тензора собственное значение

l = ò_V' ò_V Y*(x')Q(x', x)Y(x) dx'dx

тензора Q даёт его оценку в этой карте. В фиксированной карте заданную совокупность тензоров Q₁, Q₂, ... можно линейно упорядочить и, следовательно, присвоить определённый ранг, ранжировать. Пусть, например, оценки тензоров упорядочены отношением  l₁ > l₂ > ... Тогда последовательность тензоров можно упорядочить отношением Q₁ > Q₂ > ... и каждому из них присвоить соответствующий порядку ранг 1, 2, ...

Предположим, что построена полная система {Y_k(x): k Î N = {1, 2, ..., n}, x Î V} собственных функций оператора Q. По этой системе функций разложим все функции подынтегрального выражения. Пусть

Q(x', x) =Y_i(x')q^ij(x', x)Y_j^*(x),        Y(x) = Y_k(x)a _k,       Y*(x) = (a _k)*Y_k*⁽x) = `a_k Y_k*⁽x),      i, j, k Î N.

В предположении, что последовательность собственных функций ортонормирована, имеем

l = q^ij `a<sub>i</sub> a<sub>j</sub> ,      å<sub>jÎN</sub> `a_i a_j = 1,     a_j > 0,   i, j Î N,

где

a_k = ò_V Y_k*(x)Y(x) dx.

Переходя к матрично-векторной формулировки задачи, полученный результат можно представить как  скалярную оценку оператора Q, которая определяется значением квадратической формы с матрицей коэффициентов q^ij . Эта оценка является наибольшим собственным значением данной матрицы, которому отвечает её собственный вектор с компонентами a_i.

Оценки в категориях. Целостная количественно качественная двойственность объекта определяется его двойственным внутренним строением. Внутреннее строение любого объекта состоит из элементов двух видов. Первый вид элементов назовём объектами. Второй вид - связями между этими объектами. Свойства элементов первого вида и теснота связей между ними и выделяют объект их окружающей среды, формируют его как элемент среды, наделённый некоторым индивидуальным агрегированным свойством. По отношению друг к другу объекты и связи между ними могу принимать различные значения, определяя тем самым различные состояния объекта в целом.

Представим объект в виде категории K = K(Ob, F) и определим его состояние x заданием на этой категории функтора P, т.е.

x = P(K) = K(P(Ob), P(F)).

Для множества допустимых состояний введём обозначение X, а само состояние объекта определим как x = AY, полагая, что Y - карта, а A - некоторый оператор, действующий в этой карте. Пусть другое состояние y Î X определено в карте F и идентифицировано оператором  B, т.е. y = BF. Оценку взаимодействия состояний x и y определим скалярным произведением

y*x = ò F*QY dm / ò F*Y dm =`Q.

Таким образом оценка определяется как среднее`Q значение оператора Q = B*A взаимодействия состояний в картах Y и F, соответственно. 

Естественно полагать, что состояние, определённое в одной локальной карте можно описать в другой карте, т.е. карты Y и F взаимосвязаны. Эту связь представим отношением F = f*Y. Получим

`Q = ò Y* f Q Y dm / ò Y*f Y dm .

Это будет средневзвешенной величиной оператора Q в карте Y. С учётом равенства (f*) ^{-1 = (}f ^-1)^*, средневзвешенное значение оператора Q в карте F будет определять выражение

`Q = ò F* f Q⁽f ^-1)^* F dm / ò F*⁽f ^-1)^*F dm .

Если оператор действительный, то его среднее значение так же действительная величина и `Q* = `Q.  

Введём  функционалы

T(x, y) = y*x = `Q,     T(y, x) =x*y  =`Q* = ò F*F*Y dm / ò F*Y dm ,

D(x) = x*x = ò Y*A*AY dm / ò Y*Y dm ,    D(y) = y*y =  ò F*B*BF dm / ò F*F dm,

учтём, что в общем случае D(x)D(y) ¹ T(x, y)T(y, x) и введём дополнительный функционал

G(x, y) = D(x)D(y) – T(x, y)T(y, x),

с помощью которого определим функционалы

U(x, y) = G ^1/2(x, y),     U(y, x) = - G ^1/2(y, x).

Приходим к основному метрическому тождеству оценки одного состояния объекта по отношению другого

s ² = T ² + U².

Здесь

s = s(x)s(y),   T = T(x, y),  U = G ^1/2(x, y) = U(x, y).

На рис.1 представлена связь метрики с энергетическими функционалами, при ||Y|| = 1.

Рис.1 Связь карты Y с энергетическими характеристиками.

Сегодня на сайте:

1.  Введение

2.      Анализ динамики на примере эволюции банков Ростовской области.    

3.  Учимся измерять   

4. Графический анализ действия банков                            

5. Сравнение массивов