ФИЗИКА В ЭКОНОМИКЕ
в социальной сфере, психологии, биологии, химии, праве
К разделам сайта: Домой Примеры Теория индексов Банки Физика
На этом сайте представлены работы по применению основного подхода к решению физических задач к решению экономических проблем. Рассматриваются задачи моделирования, оценки, ранжирования, классификации, распознавания, управление. В качестве названия темы выбрано название "Социальная физика", т.к. методы работ в основном опираются на методы теоретической и квантовой механики. Название темы не новое и относится к XIV веку.
При построении математических алгоритмов принципиально не будет подчёркиваться особая разница между объектами физической природы и социальными или экономическими объектами, полагая, что фундаментальные математические приёмы решения подобных задач аналогичны.
Одной из основных задач науки, социальной и, в частности, экономической, является её возможность предсказывать и предвидеть различные явления. Наука, претендующая на фундаментальную, должна опирается и на фундаментальные математические методы хотя бы потому, что математика является одним из основных методов моделирования явлений. А поскольку математика зарождалась и развивалась исходя из естественных физических потребностей человека, то, очевидно, что при применении математики в той или иной сфере человеческой деятельности трудно уйти от её физических основ. Физические основы проявляется в аналогиях при моделировании и математическом описании явлений. В данной теме хотелось бы заложить основы фундаментального подхода к описанию социальных прикладных наук и, прежде всего, экономических. Определить предмет как " теоретическая экономика", но, такое название, во-первых, уже эксплуатируется в экономической литературе и, во-вторых, отношение к данной теме ещё только формируется, да и данная работа быть может является всего лишь одним из камней в общем фундаменте этой дисциплины. Поэтому тема работы определяется даже более широко - как "социальная физика", полагая, что предложенный подход к описанию экономических явлений найдёт применение не только в экономической науке, но и в широком спектре других социальных наук.
Первым шагом к математическому решению любой задачи служит математическое моделирование, которое связано с оценками наблюдаемого явления. Оценки присутствуют как в самой модели, так и появляются в результате её анализа. Оценки служат характеристиками явления и отражают внешнее и внутреннее его состояние, его поведение, связь с окружающей средой. Анализ даёт предпосылки к управлению явлением путём воздействия на его характеристики. В данной работе прежде всего ставится цель создания универсального подхода к постановке и решению экономических задач на основе фундаментальных математических и естественнонаучных методов. На этом сайте первоначально будут представлены некоторые работы по заглавным темам. В дальнейшем предполагается их регулярное дополнение и обновление. На сайте так же предполагается разместить два раздела: монографии и статьи.
Здесь предполагается, что, как и объекты физической природы, социальные и экономические объекты имеют своё предназначение они "рождаются ", "живут", и "умирают", Их существование поддерживается и направляется внешними и внутренними силами. Внутренние силы рассматриваются как реакция объекта на внешние воздействия. Внешние силы могут выражаться в материальных, финансовых воздействиях на объект, а могут определяться нормами, правилами, законами и т.п., регламентирующими поведение объекта. Внешние силы различаются по их действию: сосредоточенные - действующие на объект в целом, либо на отдельные элементы в его иерархической структуре, распределённые - действующие на совокупность его элементов, которая определяется как взаимосвязанная система. Внешние силы, которые действуют на каждый элемент объекта определим как массовые. Элементы, посредством действия на которые оказывается внешнее воздействие сосредоточенных и распределённых сил на объект, будем называть граничными, а соответствующие силы - поверхностными силами.
Любой объект рождается для выполнения определённого предназначения. Это предназначение характеризует его качество, его внутреннюю структуру, взаимоотношения между его внутренними элементами. В процессе жизнедеятельности под действием внешних и внутренних сил в объекте происходят качественные изменения. Возникающие на внутренних связях напряжения отражаются в его иерархической структуре, происходит перераспределение внешних воздействий по структуре объекта. Меняются пропорции в значимости межэлементных связей и отдельных элементов, приоритеты одних элементов и связей повышаются, других снижаются. Можно сказать, что объект по отношению к его исходному состоянию деформируется. Он может не вернутся к исходному состоянию даже после снятия внешних нагрузок. Появляется остаточная деформация. Такая деформация объекта может гармонично сочетаться с изменением окружающей среды, а может вступать с ней в противоречия. В последнем случае возникающие деформации в объекте могут превысить допустимые пределы и разрушить последний.
Описание объекта определяется состоянием его элементов, которое определяется набором параметров и их числовыми величинами. Так, в простейшем случае, появляется пространственная система координат Rn (карта Y), в которой определ��������ному набору из n числовых значений параметров объекта ставится в соответствие определённая точка x = (x1, x2, .., xn) в пространственной системе координат, а изменению его состояния - кривая g в этом пространстве, траектория эволюции. В такой системе координат можно определить "расстояние" между двумя состояниями объекта. Помещая в эту систему координат "часы", добавляя временную ось, приходим к системе отсчёта. Система отсчёта уже определяет пространственно-временную структуру, в которой система возможных состояний объекта характеризуется как "мир", где точки рассматриваются как события, или мировые точки, а время - как линейное отображение линейного пространства параллельных переносов мира на вещественную "ось времени". В этом пространстве движение можно задать дифференцируемым отображением, x: T® Rn, x = g(t), tÎT, скорость - изменением состояния в единицу времени, а ускорение - изменением в единицу времени скорости. В пространственно-временной структуре можно поставить вопрос об определении инерции объекта как его реакции на изменение скорости, о влиянии ускорения на элементы объекта и связи между ними и определить массу экономического объекта как меру его инерции, меру реакции на внешние воздействия.
Описание объекта одномерным массивом x - одна из форм (простейшая форма) представления объекта. Для описания можно применять массивы двумерные, трёхмерные и, вообще, массивы любой размерности, рассматривать объект как сложную иерархическую структуру. В этом случае становится естественным применение тензоров и тензорного анализа и синтеза как дальнейшее обобщение вектора и векторного анализа. Действительно, любую организацию можно рассматривать как многоуровневую сложную структуру. В такой структуре каждый элемент любого критериального уровня имеет свою цель, которая должна быть согласована с общей целью организации как целого. Согласование этих целей на критериальных слоях организации приводит к представлению организации в виде множества непрерывных ориентированных цепей. Согласованными по Колмогорову будут и введённые на данных иерархических слоях меры, основанные на множествах вероятностных распределений на слоях. С другой стороны, на данных распределениях можно построить энтропийные меры и на их основе получить критериальные информационные функции оценки состояния структуры по целям как в целом, так и на любом её слое.
С другой стороны, для изучения динамики объекта можно построить множество систем отсчёта, которые будут связаны как с самим объектом, так и с другими объектами окружающей данный объект среды. В разных системах отсчёта одни и те же законы эволюции по разному могут быть формализованы. Возникают проблемы согласования таких систем при отражении информации об эволюции объекта в разных системах отсчёта.
Универсальность взгляда на строение Мира следует из того, что мега-, макро-, микро-, нано- миры построены по одному и том же дуальному принципу. Мир есть объект K = K(Ob, F), состоящий из множества Ob других объектов K = K(Ob, F) Î Ob и множества F различной природы связей между этими объектами. То есть, Мир - матрёшка с бесконечными вложениями, если, к тому же предположить, что в каждую матрёшку вкладывается множество меньших матрёшек. Дуальность построения Мира закладывает дуальность в основные универсальные характеристики объекта любой природы (физической, биологической, экономической, социальной, психологической).
Любой объект (как явление Мира) имеет две (и только две) основные характеристики - внешнюю, назовём её объёмной характеристикой, и внутреннюю, качественную, которая определяется природой его внутренних элементов-объектов и связей между ними. В этом смысле любой объект представляется как количество определённого качества и как качество определённого количества. В математике объекты вида K определяются как категории, а карты Y = Y(K), задаваемые выражением вида K(Y(Ob), Y(F)), - как функторы.
Зафиксируем множество K, и картографированное множество Y(K) будем рассматривать как множество X допустимых состояний некоторого объекта, или множество других объектов, непосредственно или опосредованно взаимодействующих друг с другом и, таким образом, создающих в множестве X некоторую напряженность существования объектов, взаимную связь, поле. Пусть x, y Î X, а D = D(x) и D* = D(y) некоторые оценки этих состояний в данном поле. Не нарушая общности будем их рассматривать как энергетические оценки состояний, оценки в энергетическом поле. Переход из состояния x в состояние y оценим величиной E = E(x, y), а обратный переход - сопряжённой величиной E* = E(y, x).
Пусть
D(x) = E(x, x), D(y) = E(y, y).
Метрический функционал E(x, y) разложим в сумму симметрической и антисимметрической частей:
E = T(x, y) + U(x, y) = T + U = L*, E* = T* + U* = L, T* = T(y, x) = T(x, y), U* = U(y, x) = - U(x, y).
Симметрическую часть назовём кинетической энергией перехода, а антисимметрическую - потенциальной. Тогда оценка E будет полной энергией, а ей сопряжённая - лагранжианом. Любую полевую теорию удобно задавать с помощью функционала действия S(L), плотностью которого служит лагранжиан. В пространстве функций, интегрируемых (суммируемых) с квадратом функционал действия принимает вид
S(L) = L*L = E*E = T*T + U*U = T2 - U2 = ||E||2.
Такая форма функционала порождает статистические оценки в гиперболическом пространстве, в экономической теории используются оценки математический статистики, построенные в эллиптическом пространстве. Для перехода в эллиптическое пространство введём новый метрический функционал Y с функционалом действия
S(Y) = Y*Y= T*T - U*U = T2 + U2
и линейной связью E = AY оператором наблюдения A. Из связи
S(L) = lS(Y)
заключаем, что коэффициент пропорциональности l является собственным значением оператора L =A*A, определяет собственную функцию Y, которая и служит новым метрическом функционалом.
На рис.1 представлена связь метрического нормированного функционала Y с энергетическими функционалами T и U. Здесь OM = ||Y|| = 1, угол ÐBOM = q = ½ s, где s = arccos l есть величина дуги M1BM. Величина показателя l равна длине отрезка ON = ON1.
Рис.1. Связь карты Y с энергетическими характеристиками.
Предположим, что за эволюцией состояния x = x(t), t Î T, некоторого объекта ведётся наблюдение на временном горизонте T по скалярной оценке D(x) относительно внешнего поля, которая служит функцией состояния и, следовательно, зависит от временного фактора t. Пусть x1 = x(t1) и D1 = D(x1). Но,
D1 = D(x1) = E(x1, x1) = Y(x1, x1) = T(x1, x1) = T11, U(x1, x1) = 0.
В гиперболической системе координат этому состоянию отвечает точка A, в эллиптической - точка B.
Предположим теперь, что под действием внешнего силового поля объект переходит из состояния x1 в состояние x2 = x(t2). В общем случае изменяется и его энергетическая оценка
D2 = D(x2) = E(x2, x2) = Y(x2, x2) = T(x2, x2) = T22, U(x2, x2) = 0.
Как видим, новому состоянию в гиперболической и эллиптической системах координат снова отвечают точки A и B, соответственно.
При переходе одного состояния в другое состояние возникает качественный переходный момент. Этот момент не связан с механическим перемещением объекта в пространстве, а относится к оценке его внутренней качественной перестройки. Этот собственный внутренний момент объекта в отличие от момента механического перемещения называется спином. Он обозначен s. На рис.1. спину в координатной карте соответствует дуга окружности BM. Либо дуга в противоположном направлении BM1. В энергетической интерпретации это, соответственно, дуги гиперболы BM и BM1. Представление эволюции объекта в виде количественно-качественных преобразований приводит к пониманию эволюции как волнового процесса. Переход из одного состояния в другое состояние вместе с этим, как видим, можно интерпретировать и переходом с одного энергетического уровня объекта на другой с применением физической терминологии..
Пусть D2 ≠ D1, тогда D1D2 ≠ T12T21 = T2. Введём новую G функцию такую, чтобы выполнялось равенство
D1D2 = T2 + G.
Тогда если D1D2 < T2, то G < 0, если D1D2 > T2, то G > 0.
Эту новую функцию представим в виде произведения двух функций
G = U12U21 = U(x1, x2)U(x2, x1) = - U122 = - U2,
полагая, что функция U антисимметричная. Получаем
D1D2 = T2 - U2 = E*E = L*L = S(L), D2 = D1-1S(L) = lD1-1S(Y), D1 = S(L)D2-1 = lS(Y)D2-1.
Если D1D2 > T2, то G > 0. В этом случае сделаем подстановку -1 = i2 и дополнительное слагаемое запишем в виде G = (iU)2. Приходим к равенству
D1D2 = T2 + U2 = Y*Y = ||Y ||2 = S(Y).
Таким образом, вместе с энергетическим описанием объекта E = T + U можно рассматривать его интерпретацию в карте (в координатной системе) Y = T - iU, в которой составляющие T и U несут экономический (философский, социологический, биологический, психологический, правовой) смысл и имеют физическую интерпретацию.
Из рис.1 следует не только связь между характеристиками процесса в эллиптической и гиперболической геометрии, но и то, что в обеих ������с��е��ах описание волновых процессов идентично. Действител��но, на качественном уровне описания процесса в карте Y имеем
Y = ||Y || exp(-iq / h), q = 2h/p arctg U/T.
На энергетическом уровне имеем представление
E = ||E|| exp(q / h), q = h Arcth U/T.
Как видим, одна формула приводится к другой заменой -iq на q.
Дифференцируя по параметру t координатную метрическую функцию приходим к волновому уравнению
ih ¶tY = HY, H = ¶tq + ih ¶t ln ||Y ||.
Дифференцируя по данному параметру вторую метрическую функцию, получаем уравнение
h ¶tE = HE , H = ¶tq + h ¶t ln ||E||.
На стационарных участках эволюции решением этих уравнений, соответственно, будут
Y = A exp(-iw t / h), E = B exp(w t / h).
Метрические функции на распределениях по пространственным показателям даются интегральными представлениями Фурье и Лапласа, соответственно,
Y = ò A exp(-iwt / h)dm, E = ò B exp(wt / h)dm .
Из этих параллелей можно сделать вывод, что к любому явлению природы при рассмотрении задач оценки, анализа, ранжирования, классификации, распознавания, управления в социальной сфере, экономике, биологии, химии, праве и т.п. следует подходить с учётом их волновой природы, что математика является универсальным инструментом анализа и наиболее преуспела в решении физических задач. Что различия в математической и физической интерпретации результатов основано лишь на применении к описанию одних и тех же явлений различных систем координат и, следовательно, при математическом описании явлений в науках, отличных от физики, удобнее будет применять тот язык, который установился в наиболее продвинутой естественной науке, который можно принять в качестве универсального языка описания любых явлений окружающего нас мира.
Из понятия эволюции как последовательности переходных процессов легко выявить связь между дискретностью и непрерывностью. Переход из одного состояния в другое состояние это переход из одного качества в другое качество, это преобразование внутренних параметров явления. Между одним состоянием явления и другим его состоянием должно быть некоторое "расстояние", которое определяет этот переход как скачёк. Таким образом, эволюция любого явления представляется в виде непрерывного множества скачков. По меткому замечанию Ф. Энгельса мы поэтому и не замечаем эти скачки.
Представим эволюцию объекта наблюдения как некоторую траекторию в факторном пространстве его описания с метрическим функционалом Y и предположим, что в процессе наблюдения он переходит из состояния x в состояние y. При этом имеем:
Y (x) - тензор описания объекта в состоянии x в карте Y,
Y (y) - тензор описания объекта в состоянии y в карте Y,
A - оператор наблюдения, количественный тензор описания переходного процесса,
т.е.
Y (y) = AY (x).
Из метрического тождества Пифагора получаем оценку
s(y) = D1/2(y)
состояния y по отношению состояния x
s(x) = ks(y),
где введены обозначения:
k = T(x, x) / T(y, y) = (I2 + J2)1/2 - статистический индекс постоянного состава,
I = T(y, x) / T(y, y) - индекс переменного состава,
J = U(y, x) / T(y, y) - индекс структурных сдвигов.
Траекторию эволюции в карте Y представим пространственной кривой и в точке x этой кривой разложим эволюцию по формулам Френе. Рассмотрим эволюцию в соприкасаемой с кривой плоскости. В этой плоскости перемещение, оцениваемое общим индексом k, разлагается на две ортогональные составляющие. Одна из которых, индекс I, даёт оценку роста объёмной характеристики объекта. Вторая, индекс J, - даёт оценку структурных изменений и является по отношению к величине объёмной характеристики малой величиной второго порядка. Очевидно, продолжением является учёт малых третьего порядка и т.д. Следующие приближения дают коэффициент скручивания кривой эволюции первой степени, второй степени и т.д.
Выражение
q = 2h/p arctg v, v = U(x, y)/T(x, y),
является одним из показателей структурных сдвигов. Графики этой функции представлены на рис. 2 фиг. а) и б).
Рис.2. Графическое представление структурных сдвигов.
Естественно, что структурные сдвиги можно интерпретировать по- разному в зависимости от смысла оценки, например, с высвобождением а) и поглощением б) энергии. Здесь расстояние c определяет длительность переходного момента, т.е. длительность настоящего, условный интервал, отделяющий прошлое от будущего, который характеризуется масштабным коэффициентом h. В теории нейронных сетей такие функции называют функциями активации.
Тривиальным примером приведённых выше формул являются правила применения, установления допустимых границ, эффективного использование в планировании агрегатных индикаторов экон��мич��с��ого роста - индексов. Как правило, при оценке состояния товарообо��ота в текущем году выручку D = pq сравнивают с выручкой базисного года Do = poqo, прежде всего, интересуясь приростом товарооборота в абсолютном выражении D = D - Do. В относительном выражении товарооборот можно оценить по индикатору темпов роста товарооборота Ipq = D / Do = pq / poqo. Ясно, что количество проданного товара зависит от его цены q = q(p). Ограничиваясь линейными членами, запишем эту зависимость в виде q* = pP. А, определяя Q в качестве псевдообратного оператора оператору P, найдём p = q*Q. Здесь оператор Q - оператор пересчёта продукции в текущие цены. Аналогично, po = qo* Qo. Но, при малых темпах прироста, при которых, как правило, и используются агрегатные индексы, будет справедливо приближённое равенство Qo » Q. Поскольку доход определяется действительным числом, то оператор пересчёта продукции в цены будет самосопряжённым. Введём вспомогательную характеристику T и ей сопряжённую T*
T = qo* Q q, T* = q*Qqo
и запишем основное метрическое тождество
Do*D = T*T + G .
В этом равенстве дополнительное слагаемое G в правой части показывает не только погрешность приближённого равенства Do D » T*T , но и определяет условия её происхождения. Действительно, если разделить обе части данного равенства на выражение Do2, то имеем
Ipq = PpLq = b LpLq = LpLq + e,
т.е. индекс товарооборота приближённо равен произведению индексов Ласпейреса цен и продукции, При этом погрешность этого приближения тем больше, чем больше разница в ассортименте продаж в отчётном году по отношению базисного периода и эта погрешность связана с определителем Грама. Отсюда же получаем выражение для коэффициента Борткевича
b = 1 + G / T2 = 1 - U*U / T2 = S(Y ) / T2.
Индексы, применяемые в практике экономического анализа, можно получить из индикаторов математической статистики, если записать математическое ожидание произведения случайных величин x, y в виде билинейного функционала
T(x, y) = x*Q y = òò x*(x)Q(x, h)y(h)dxdh,
ядро которого определяет степень зависимости данных случайных величин. В случае независимых величин, ядро распадается на множители
Q(x, h) = h(x)g(h)
и
T(x, y) = a*b,
где
a* = T*(x) = ò x*(x)h(x)dx, b = T(y) = ò g(h)y(h) dh
В общем случае вводим математические ожидания данных случайных величин
a = T(x) = ò H(x) x(x) dx, H(x) = ò Q(x, h) dh, b = T(y) = ò G(h) y(h) dh, G(h) = ò Q(x, h) dx,
a* = T*(x) = ò x*(x)H(x) dx
и mn-й момент
mmn = T((x - a) m, (y - b) n) = òò ((x(x) - a) m)* Q(x, h)(y(h) - b)n dxdh
Важное место в анализе случайных явлений занимает момент m11. Этот момент называется ковариацией и обозначается cov(x, y). Он обладает свойством
m11 = cov(x, y) = T(x, y) - T(x)*T(y),
из которого следует, что для независимых случайных величин корреляция обращается в нуль.
Моменты
m20 = s2(x) = cov(x, x) = T(x, x) - T(x)*T(x) = D(x) - T2(x), m02 = s2(y) = cov(y, y) = T(y, y) - T(y)*T(y) = D(y) - T2(y)
называются дисперсией, а величины s(x), s(y) - стандартными отклонениями.
Хорошо известно, что математическая статистика служит основным инструментом квантовой механики. Как видим, она же служит и основой теории индексов - основного инструмента экономического анализа, а развивая теорию индексов в направлении качественного анализа, можно, к тому же, применить энергетический подход.
В основе принятия решения всегда лежит распознавание ситуации, качественный анализ. Действительность всегда неоднозначна. Её описание, как правило, включает множество факторов. Инструментом анализа таких ситуаций служит искусственные нейронные сети. Применение сетевых технологий в построении информационных, управленческих, хозяйственных моделей находит все новые успешные применения в практике управления и принятия решений. В мире накоплен громадный опыт применения сетей, сто из ста западных финансовых и промышленных компаний применяют сетевые технологии. Трудности заключаются не в том, что нет наработок в теории сетей, а в том, что для каждой организации, для каждой решаемой проблемы возникает необходимость построения своей сетевой модели. Естественный выход следует искать в построении сетевых моделей на основе модульной структуры. Базовый элемент такой структуры построим опираясь на коммутативную диаграмму, изображённую на рис. 3.
Рис.3. Базовый элемент сетевой структуры.
Это категория, имеющая четыре узла A, B, C, D, связанных тремя морфизмами jAC , jBC , jCD . Будем полагать, что узлы и морфизмы - это элементы расслоения некоторого единого объекта. Узлы A, B принадлежат одному и тому же слою. Здесь слой 1. Узлы C и D лежат на разных слоях в иерархии расслоения объекта. При этом, слой W является определённым классом расслоения единого объекта и представляет вероятностное пространство (W , ℱ , T) Лебега-Стильтьеса, а каждый узел является измеримым классом его x расслоения (Wx , ℱx , Tx ), где Wx - это множество элементов x-разбиения слоя W, ℱx - s-алгебра, образованная всеми ℱ -измеримыми x-множествами, Tx - вероятностная мера Лебега-Стильтьеса, полученная ограничением меры T на множество ℱx . Данный элемент будем рассматривать в качестве нейрона с телом в узле C.
Входящие в узел морфизмы назовём дендритами, исходящий - аксоном. Дендриты прикрепляются к телу и аксону изучаемого нейронного узла с помощью синапсов. Сигнал о состоянии соответствующего узла поступает на синапсы дендритов, в которых обрабатывается и передаётся по дендриту в тело соответствующего нейрона. Тело нейрона, точнее его ядро, действует как сумматор поступающих по дендритам сигналов. Сигналы возбуждают узел нейрона и это возбуждение передаётся на аксон, посредством которого возбуждающий сигнал поступает через прикреплённых к нему с помощью синапсов дендриты к другим нейронам. Здесь рассматривается конвергентный тип соединений нейронной сети, когда большое число нейронов одного уровня контактирует с меньшим числом нейронов следующего уровня, сигнал о состоянии объекта F, как бы сжимаясь, поступает в единый информационный центр.
Естественно полагать, что сеть всегда находится в одном из своих допустимых состояний. При этом считать, что её текущее состояние определяется состоянием, в которое она переходит после предыдущего сигнала. Таким образом, сеть обладает определённого вида памятью. При поступлении сигнала в нейрон меняется его энергетическое состояние. Нейрон возбуждается. Оценку действия сигнала по отношению ранее поступившего можно определить величиной S(E). Нейрон передаёт сигнал лишь тогда, когда он переходит в другое качественно допустимое состояние, фиксируя его при помощи тангенциальной функции активации q = 2h/p arctg v, т.е. функции, которая определяется спиновой характеристикой s. Это объясняет волновой характер прохождения сигналов по данной сети.
В данном разделе представлены темы: