К разделам сайта: Домой Примеры Теория индексов Банки Физика
СЕТЕВЫЕ ОЦЕНКИ
Рассматриваются многоуровневые иерархические структуры [1], представляемые как сети со множеством узлов (множеством объектов Ob) и множеством их связей (морфизмов H), т.е. малые категории [2]
(1)
Звено такой сети изображено на рис .1, на котором представлены два состояния: рис. a) и рис. b), где ai, bi ϵ Ob, hij ϵ H; i, j = 0, 1, 2.
Из рис. 1 видим, что каждый узел сети характеризуется своей собственной функцией Yi и отличается только своим собственным значением ai, а состояния a) и b) отличаются только амплитудами объектов. Функцию Yi определим как волновую функцию [3] соответствующего узла системы в стационарном состоянии [4].
Амплитуды объектов – числовые характеристики. Будем полагать, что
Рис.1. К сравнению звена иерархической структуры.
числовыми величинами являются и связи между узлами, т.е. на категории (1) задаётся функтор и каждое состояние определяется своим функтором
(2)
Полагаем, что на данных категориях каждый узел определяется левым модулем, например, для рис. 1a)
(3)
Заданные операции (2) и (3) на множестве узлов сети образуют линейное метрическое пространство (метрический линеал [5, стр. 15]) с мерой, определяемой внутренним произведением
(4)
индуцируемой гомоморфизмом
(5)
Гомоморфизм (5) характеризует скалярную оценку узла. Из соотношений (3) и (5) следует представление результирующей волновой функции в виде
(6)
где для пропускной способности соответствующей связи (как доли в формировании единицы амплитуды результирующего свойства), введено обозначение
(7)
Собственные функции являются базисом метрического пространства в области сравнения достаточно близких к фиксированному состоянию состояний, которые отличаются только их собственными значениями.
Воспользуемся аддитивной связью между тензорным ab, внутренним и внешним a∧b произведениями векторных величин
(8)
Произведение (8) можно записать скобкой процедуры Кэли-Диксона, полярной формой
(9)
где величина
(10)
является унитарным кватернионом.
Здесь n единичный вектор представления a∧b = |a∧b|n, а аргумент равен
(11)
Заметим, что выражение (8) суть "аксиоматическое изложение евклидовой геометрии" [6, стр. 70] и представляет аддитивное расслоение линеала в евклидову и симплектическую структуры, а свойства гомоморфизма (5) сводит его к теореме Пифагора – к равенству
(12)
являющееся основным метрическим тождеством [7] материального мира, с мультипликативным представлением
(13)
Любая управляемая сеть - сеть прямого распространения [8]. Рассмотрим дихотомическую структуру с одним промежуточным срезом, рис. 2. К таким структурам можно отнести искусственные нейронные сети подобные сетям Хопфилда и Хемминга [9]. Следуя [10], отметим, что при любом сравнении в той или иной форме всегда присутствует эталон. "Основное назначение эталона состоит в том, что содержащаяся в нём информация определённого типа служит для оценки аналогичной информации в других объектах. … Эталоны могут выбираться или назначаться извне и ни один их них может не принадлежать множеству рассматриваемых объектов".
Рис.2. К сравнению дихотомический сетей.
Как видим, бинарное соответствие состояния a некоторого объекта с состоянием выбранного эталона b при анализе удобно представить тензорным произведением ab, при этом полагая состояние эталона нормированным, ||b|| = 1. Вытекающее из такого представления расслоение (8) чётко выявляет две "надлежащие универсальные характеристики фундаментальных структурных элементов материи на каждом данном уровне её самоорганизации", [11 стр. 44], - качество и количество, где качество характеризуется волновой функцией рассматриваемого элемента данной сети, или её агрегатным значением, а количество определено амплитудой данной волновой функции в той же агрегации.
Не нарушая общности изложения анализа, для упрощения, положим напряжённости связей сети равными единице. Определим в каждом проекционном пространстве координаты результирующих элелентов. При отображении a, b → ℝ2 имеем: a = a' = [a1; a2], b = b' = [b1; b2]. При a, b → ℝ4 имеем: a = a'' = [a3; a4; a5; a6], b = b'' = [b3; b4; b5; b6]. При этом с промежуточного среза получаем те же оценки что и с нижней границы. Из тождества (12) находим
(14)
Если рассматривать многослойную сеть с модульной структурой, то видим, что каждый узел формирует подмодуль. Пусть сеть a имеет n =|N| слоёв. Зафиксируем два среза i, j ϵ N с индикацией узлов подмножествами Ni, Nj ⊂ N. На i-срезе выделим m-узел. Пусть он описывается величиной am = amΨm, m ϵ Ni. Предположим, что нормированная сеть (сеть стандартного вида) b, D(b) = 1, служит её эталоном. Выражение (14) в общем случае принимает вид
(15)
Здесь Nj(m) определяет множество индексов элементов j-слоя смежных m-узлу i-слоя. При учёте пропускной способности связей узлов сети в предыдущем выражении оценки модуля сделаем подстановки
с учётом мультипликативного свойства связей
(16)
В заключение заметим, что подобные сетевые задачи возникают в задачах таксономии, идентификации и классификации, в анализе и обработки данных [12, 13], в задачах физической химии [14], в частности, возникают в теории старения органических соединений. Место им найдётся и в теории старения организма [15]. Их место в интеллектуальных информационных системах [16] естественно.
Используемые источники.
1. 1. Месарович М., Мако Д., Тахакара И. Теория многоуровневых иерархических систем // М., Мир, 1973.
2. 2. Новиков Б.В. Теория категорий //Луганск, 2004.
3. 3. Соловьёв А.С. К корпускулярно-волновой интерпретации материи //"Экономика и социум", №2(33), 2017. www/iupr.ru
4. 4. http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom5/ch4/formulas/fml4.5_more.htm
5. 5. Постников М.М. Аналитическая геометрия //М., Наука, 1986.
6. 6. Арнольд В.И. Теория катастроф //М., Наука, 1990.
7. 7. Соловьёв А.С. Основное метрическое тождество //"Экономика и социум", №12(55), 2018, www.iupr.ru
8. 8. Соловьёв А.С. Основной метрический треугольник в анализе чувствительности управляемых сетей //"Экономика и социум", №10(65), 2019, www.iupr.ru
9. 9. Короткий С. Нейронные сети Хопфилда и Хэмминга //http://masters.donntu.org/2018/fknt/shumskyi/library/article5.pdf
1 10. Кузьмин В.Б. Эталонный подход к получению нечётких отношений предпочтения /Нечёткие множества и теория возможностей. Последние достижения. Под редакцией Р. Ягера//М., Радио и связь, 1986.
1 11. Идлис Г.М. Единство естествознания по Бору и единообразные взаимосвязанные периодические системы физики, химии, биологии и психологии /Исследования по истории физики и механики, 1990 //М., Наука, 1990.
1112. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен //М., Мир, 1976.
13. Фор А. Восприятие и распознавание образов М., Машиностроение, 1989.
14.Бек М., Надыпал И. Исследования комплексообразований новейшими методами //М., Мир, 1989.
15. https://www.gazeta.ru/science/2019/12/08_a_12853682.shtml
16. Романов В.П. Интеллектуальные информационные системы в экономике //М., «ЭКЗАМЕН», 2007.