7. Мера явлений в пространстве L1.
Рассмотрим пример (4.2) сети прямого распространения, в которой на объектах и их связях функтор индуцирует соответствующую масштабную единицу. Из предыдущего раздела заключаем, что x0 = 20|Ψ0>, т.е. правая величина этого равенства представляет естественное описание любого физического объекта как количество определённого качества - "20 связей имеет главный объект данной системы с её "нижними" граничными объектами". Здесь величина |Ψ0> служит масштабной единицей измерения надлежащего качества объекта x0. Если на данный объект слева подействовать "bra"-скобкой Дирака, тогда
<Ψ0|x0 = <Ψ0|x0|Ψ0> = <Ψ0|20|Ψ0> = 20<Ψ0|Ψ0> = 20 = x0,
т.е. при действие слева на объект дуальной скобкой качества получаем значение его количественной характеристики.
Пусть X множество объектов сети K. Введём новое обозначение для метрической функции качества произвольного объекта
e = |Ψ >,
для ей сопряжённой - дуальной функции качества, введём обозначение
e* = |Ψ >* = <Ψ|,
и метрическую функцию определим выражением
(7.1) μ(x,e) = e*x = <Ψ |x = x.
Отсюда находим
μ(e,e) = e*e = <Ψ |Ψ > = 1.
Пусть a и b произвольные объекты X.
Для сравнения их количественных характеристик построим индикатор на метрической шкале отношений
(7.2) Ep(x) = μ(a,e) / μ(b,e) = p*x = μ(x,p),
где введены обозначения:
(7.3) x = a./b = (xk = ak/bk: k = 0, 1, 2, ...),
(7.4) p = b/b = (pk = bk/b: k = 0, 1, 2, ...).
Индикатор (7.2) является математическим ожиданием состояния x объекта x, т.к. μ(p,p) = 1 и
x = Ep(x) = ∑ pkxk = ∑ xkP(x = xk = xk|Ψk>)
Здесь P(x = xk) обозначает вероятность обнаружить величину x в состоянии xk.
Соотношение (7.2) делает множество X метрическим пространством последовательностей суммируемых с первой степенью в некоторой окрестности фиксированной точки b, а в целом. В каждой такой точке будет своя система координат, карта, и данное метрическое пространство становится картографированным многообразием. Естественно, что в практических задачах величина k принимает конечные значения.