6. Функторы.
Функторы на множестве категорий отображают одну категорию в другую так, что объекты одной категории отображаются в объекты другой и морфизмы отображаются в морфизмы, т.е.
(6.1) F: K → L, F(N, M) = (F(N), F(M)).
При этом если определена композиция Hom(X, Y)◦Hom(Y, Z) морфизмов категории K, то определена и композиция морфизмов в категории L и
F(Hom(X, Y)◦Hom(Y, Z)) = F(Hom(X, Y))◦F(Hom(Y, Z)).
Зададим на элементах (5.2) и (5.3) категории (5.1) функтор так, что на всех её объектах и морфизмах, если бинарная связь между объектами существует, принимает значения, равные единице. На пустых бинарных соответствиях объектов полагаем значения функтора равным нулю.
Составим матрицы инцидентности связей объектов категории
A10 = [1 1], A21 = [1 1 0;1 1 1],
A32 = [1 1 1 1;1 1 1 1;1 1 1 1],
и отвечающие срезам векторы объектов
x0 = [1], x1 = [ 1; 1], x2 = [1; 1; 1], x3 = [1; 1; 1; 1].
Рассмотрим слой расположенный между верхней границей и смежными объектами среза. Первое равенство в векторной строке показывает, что если рассматривать объект изолированно от других объектов сети, то у него будет единственный тождественный морфизм
Id x0 = Hom(x0, x0),
который включается в множество морфизмов F(M).
Пусть объект высшего граничного уровня связан с первым внутренним срезом. Запишем матричное равенство
x0 = A10x1,
рассматривая его в качестве матричного произведения. Находим
x0 = 2|Ψ0>,
что количественная характеристика x0 = 2 показывает число морфизмов, которыми связан высший элемент с нижней границей сети - первым срезом.
Подсчитаем количество связей высшего элемента сети с объектами второго среза
x0 = A10A21x2 = [2 2 1][1; 1; 1]|Ψ0> = (2 +2 + 1)|Ψ0> = 5|Ψ0>.
Находим, что объекты x3 и x4 имеют по две связи с элементом x0. Элемент x5 имеет одну связь. Всего элемент высшего звена сети с этим срезом имеет пять связей. Для объектов нижней грани будем иметь
x0 = A10A21A32x3 = [5 5 5 5 5][1; 1; 1; 1]|Ψ0> = 20|Ψ0>,
т.е. каждый объект нижней грани имеет по пять связей с ведущим объектом сети, а всего этих связей 20. Поскольку для каждого объекта любого среза можно выделить подкатегорию L, в которой этот объект будет главным, а остальные будут наследоваться из категории K, то можно подсчитать число входящих морфизмов в этот объект с нижней границы или с любого среза подсети L.
Каждый функтор сети можно рассматривать как её возмущение. Если сеть имеет напряжение x0 = 141|Ψ0> условных единиц, то средняя напряжённость связи составит 141/20 ≈ 7 условных единиц. Среднее напряжение связи стандартной сети составляет 1/20 = 0.05.