8. Мера явлений в пространстве L2.
Пусть дана категория K. Зафиксируем на ней какую либо точку b и в её окрестности Kb возьмём произвольный элемент a. Полагая, что фиксированная точка эталон (как элемент для сравнения), перейдём в окрестности данного эталона к относительным координатам (7.3). Тогда окрестность Kb преобразуется в карту Xb векторного многообразия X, а индикатор Ep(x), (7.2), бинарного отношения (a,b) покажет математическое ожидание элемента a в окрестности эталона b. Этот индикатор представляет собой выпуклую линейную функцию. Известно, что если бинарное отношение обладает хотя бы одним индикатором, то с помощью строго монотонных выпуклых функций можно построить множество подобных индикаторов других видов.
Выпуклым отображением
(8.1) U = (X)1/2
преобразуем векторное многообразие X в многообразие U элементы которого определяются соотношением
(8.2) u = u|Ψ> = (uk|Ψk> = (xk)1/2 |Ψk>: k = 0, 1, 2, ...).
Приходим к равенствам
(8.3) Ep(x) = ∑ pk(uk)2 = u*Pu = Dp(u),
где оператор плотности определяется диагональной матрицей
P = diag p,
на главной диагонали которой стоит последовательность компонент вектора вероятности p = (p0, p1, p2, ...).
Индикатор в новом метрическом пространстве есть не что иное как дисперсия образа состояния в векторном пространстве U относительно нуля этого пространства.
Преобразование (8.1) меняет метрические отношения на координатных осях и переводит элементы категории заданным функтором из пространства последовательностей суммируемых с первой степенью в пространство последовательностей суммируемых с квадратом. Происходит расширение возможностей математической модели при анализе социальных и экономических задач. Изучение реального явления сводится к изучению её геометрической модели в декартовой системе координат. Где состояниям отвечают точки, эволюции - кривая, в которой элементами анализа служат прямые, отрезки, векторы. В такой системе можно ввести евклидово скалярное произведение как произведение векторов-состояний u = u|Ψ> и v = v|Ψ>
(8.4) μ(u,v) = v*u = <Ψ|v*u|Ψ> = <Ψ|Q|Ψ>
и расстояние между точками u и v евклидова пространства
(8.5) ρ(u,v) = ((∑(uk - vk)2)1/2.
Следует отметить, что преобразование координат (8.2) меняет количественную характеристику явления, может меняться масштабная единица качества, но никак не само качество объекта. В сети узел- объект как выполнял определённую функцию, так её и выполняет в сети образов.
Агрегатное состояние качества |Ψ> в векторном пространстве U формирует декартову систему координат (карту) Uy.
Мера (8.4) и квадрат расстояния (8.5) выражаются через входящую в равенство (8.3) дисперсию Dp(u):
μ(u,v) = D(u) + D(v) - D(u - v)
ρ2(u,v) = D(u - v).
Зная дисперсию, можно найти среднее квадратическое отклонение состояний в пространстве их образов
σ(u - v) = D1/2(u - v),
и, естественно, использовать косинус угла между двумя векторами.