матричная квантовая экономика |
ИНДИКАТОРЫ ЭВОЛЮЦИИ В ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ
Рассматривается конечномерное гильбертово пространство ℍn над полем ℍ действительных или комплексных чисел [1], в котором для любой пары (x, y) элементов x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) определены внутреннее произведение и норма, соответственно,
(1) m(x, y) = x ·y = ∑ xj y՟ j, s(x) = D1/2(x) = ||x||,
где введено обозначение
(2) D(x) = m(x, x) = ||x||2.
При этом учитываем, что скалярное произведение обладает свойствами билинейности, симметричности и положительной определённости, которые являются непрерывными операциями [1, теорема 1.8].
Из неравенства Коши-Буняковского, которое в наших обозначениях принимает вид
(3) m(x, x) <= s(x)s(y),
возводя обе части его в квадрат и приводя полученное неравенство к равенству добавлением соответствующего слагаемого, приходим к основному метрическому тождеству [3]
(4) D(x)D(y) = m2(x, y) + Г(x, y),
где добавленное слагаемое Г(x, y) является определителем Грама [4], построенным на паре (x, y) векторов.
В планиметрии тождество (4) является ни чем иным как тождеством Пифагора. В аналитической геометрии Лагранжа, а если быть точнее, в геометрической алгебре Клиффорда [5,6], "тождество Пифагора, бывшее в своё время высшим достижением математической культуры, низведена в современном аксиоматическом изложении" [7, п.14, стр. 68] к аддитивному представлению евклидова и симплектического пространств, опирающееся на выражение тензорного произведения в виде суммы внутреннего и внешнего произведений
(5) xy = x ·y + x∧y.
Здесь отметим связь внешнего и прямого (декартова) произведений
(6) x∧y = i(x×y).
Тензорное произведение (5) имеет структуру векторного пространства ℋn. Слагаемые в его правой части принадлежат взаимно ортогональным дополнениям в этом пространстве поэтому с учётом свойств функционала (2)
(7) D(xy) = D(x)D(y), D(x ·y + x∧y) = D(x ·y) + D(x∧y),
применение к равенству (5) функционала (2) приводит его к тождеству (4).
Тензорное произведение (5) бинарного соответствия является кватернионом [8]. Оно представимо скобкой процедуры Кэли-Диксона, в полярной форме
(8) xy = (x ·y, x∧y) = s(xy)exp(inθ), θ = arctg (|x∧y| /(x ·y)), n = (x∧y)/s(x∧y).
На элементах пространства ℍn рассмотрим множество ограниченных функционалов V. Определим его как сопряжённое пространство (ℍn)*. Будем иметь
(9) V = V(x).
По теореме Рисса о представлении функционала V, в пространстве ℍn существует такой вектор y, что справедливо равенство
(9) V = y · x.
Из неравенства Коши-Буняковского (3) следует
(10) |V| = s(x)s(y).
Причём равенство достигается на пропорциональных элементах, например, x = ky. Если положить k = 1/s(y), приходим к соотношению
(11) |V| = s(y).
Как совокупность функционалов вектор y принадлежит сопряжённому (ℍn)* для ℍn пространству поэтому вместе с вектором y ∊ ℍn будем рассматривать ему
сопряжённый вектор y* ∊ (ℍn)* и скалярное произведение в выражении (9) записывать матричным произведением
(12) V = y*x.
Из свойств скалярного произведения вытекает изометрия представления
(13) V = x*y.
Используемые источники.
1. Фёдоров В.М. Курс функционального анализа //С.-П., М., Краснодар, 2005.
2. Валентайн (Valentine F.) Convex sets. - N.Y., 1964.
3. Соловьёв А.С. Основное метрическое тождество // ж. "Экономика и социум", №12(55), 2018, www.iupr.ru.
4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц //М., наука, 1988.
5. Казанова Г. Векторная алгебра //М., Мир, 1979.
6. Тарханов В.И. Геометрическая алгебра - язык творческого мышления //http://plotnikovna.narod.ru/ga.pdf
7. Арнольд В.И. Теория катастроф // М., Наука, 1990.
9.
× · ∧