К разделам сайта:  На главную страницу   Примеры   Теория индексов   Банки   Физика             

Вернуться к основному разделу данной темы "Оценки на структурах".

Задача, приведенная в качестве примера в разделе "Оценки по размытым групповым свойствам" данной темы, возникла при анализе действия большой системы, которая объединяла восемнадцать подразделений, каждое из которых рассматривалось по двадцати пяти показателям. Здесь "большая"  система представляет собой почти блочную диагональную матрицу с незначительными связями некоторых строк в блоках, которые вносят пренебрежимо малый вклад в оценку действия каждого блока. Это дает основание разбить данную  систему по  видам  функциональных  свойств на четыре подсистемы. В одну такую подсистему, рассмотренную в качестве примера выше, и вошли пять  подразделений, которые описываются в своем функциональном пространстве состояний четырнадцатью  показателями. Таким образом,  большая  система данной декомпозицией разбивается на четыре объекта второго уровня. Если определить общегрупповые характеристики каждого  из этих объектов в своем параметрическом пространстве, то затем композицией этих объектов можно воссоздать исходную систему и сделать агрегатные оценки ее развития в целом. Из предыдущего анализа вытекает, что для оценки действия системы как целого можно построить для каждой подсистемы объект со средними групповыми характеристиками и оценить долю вклада каждого блока в общее действие системы. Таким образом,  при анализе системы как целого будут  выступать  всего  четыре объекта.

Рассмотрим теперь выделенную ранее подсистему. Она состоит из пяти объектов. Будем полагать, что в процессе действия каждый из них реализовал свою цель и эта цель  описывается  представленными  матрицей  A показателями. Поскольку эти объекты объединены в единую подструктуру, то каждый из них мог бы  реализовать  любую из этих целей. Получаем конус соцелей, натянутый  на эти цели. Он, естественно, будет описываться выпуклой  оболочкой, а направление его оси будет общим групповым направлением динамики.  Следовательно, общие групповые свойства определяются качеством действия каждого объекта.

Оболочку конуса образуют базисные направления развития. Эти направления  наиболее удалены друг от друга и от среднего классового направления динамики,  т.е. имеют наименьшую  согласованность со  средними классовыми  признаками. Отсюда вытекает экстремальная задача определения такого направления.

Пусть некоторый признак z входит в конус соцелей и выбран в качестве общего группового признака развития класса  X. Найдем минимальный  коэффициент корреляции признака z на допустимом множестве X

f(z) = min r(x, z),

Здесь максимум берется по всем x Î X. Это будет функцией z Î X. Если z осевой  признак  конуса, то функция f(z) будет достигать своего наибольшего значения на базисных элементах множества X. Для определения осевого признака получаем условие  

f(z_o) =  max f(z). 

Пусть X Î Rⁿ и N = {1,2,...,n}. На  элементах  множества X определим метрику M(x, y), по которой каждому  элементу x_i  поставим в соответствие признак  e_i так, что  e_i = xⁱ / s(x_i) и  s(e_i) = 1. Следовательно, имеем

 r(x_i, z) = M(e_i, z). 

Разложим осевой признак по элементарным признакам e_i

 z = a ^je_j.

Будем иметь

 r(x_i, z) = a^j r(x_i, x_j).

Последние выражение в матричной форме принимают вид:

r(X, z) = Rz,

где R = ççr_ij = r(x_i, x_j) çç - корреляционная матрица размерности n ´ n.

Из условия

D(z) = r_ijaⁱa^j

получаем

 r(X,z) = z^тRz.

С учетом неравенства

 r(x_i, z) ³ f(z)

для всех  x_i Î X приходим относительно неизвестных коэффициентов разложения  к задаче математического программирования

 max{f(z); Rz ³ r, z^тRz = 1, z ³ 0}.

Подстановка z = rx приводит эту задачу к эквивалентной задаче квадратического программирования

 min{F = x^тRx:  Rx ³ 1, x  ³  0}

относительно неизвестного вектора x, после решения которой  получаем наибольший  коэффициент корреляции - коэффициент корреляции оси с базисными векторами и среднеклассовый признак:

                  _____

                   r_max = 1 / Ö  F_min ,   z = r_maxx.

Отсюда находим  коэффициент корреляции базисных векторов с осью конуса соцелей r_max = 0.836 и базисные векторы x₂, x₃, x₄, x₅. Признак  x₁  будет находиться внутри конуса соцелей. Его коэффициент корреляции с осевым признаком будет  равен 0.890. Коэффициенты разложения осевого признака будут равны

a₁ = 0,  a₂ = 0.377,  a₃ = 0.338,  a₄ = 0.116,  a₅ = 0.344

 Найдем в  барицентрических  координатах   нормализованный осевой вектор конуса:

 z = lⁱx_i,

где

lⁱ = aⁱ / s(x_i) / å{ aⁱ / s(x_i):  i Î N}.

 Будем иметь:

l¹ = 0,  l² = 0.295,  l³ = 0.338,  l⁴ = 0.091, l⁵ = 0.275.

 В рассматриваемой задаче пять объектов (кафедр) составляли определенный  класс  подразделений одной организации. В этом случае полученный признак характеризует среднее групповое направление развития объектов данного класса этой организации. Предположим, что для подразделений этого  класса  определен эталон, который задает желаемые показатели деятельности для объектов этого подразделения и этот эталон описывается  вектором a; его  показатели вполне достижимы для каждого объекта выделенного класса. Тогда вектор среднего классового признака развития определяется  равенством

 z = Az,

 где  A = diag a - диагональная матрица.

В таблице 1 приведены показатели масштабированного состояния; среднеклассового, когда  в  качестве эталона взят вектор, составленный из наивысших достижений по  каждому  из  показателей группы; направление развития  группы  и вероятности обнаружения каждого фактора деятельности группы в общем ее действии.

                    Таблица 1. Основные характеристики показателей динамики.

 В таблицу 2 внесены основные относительные показатели состояний, соответствующие среднему групповому признаку.

                             Таблица 2. Основные относительные показатели состояний.

Состояние x₁ наиболее тесно связано с общим групповым признаком. Поэтому, имея  четвертую по величине амплитудную характеристику, оно имеет наибольшую оценку гомотетии и занимает относительно общего группового признака развития лидирующее  положение.

 Состояния x₂, x₄ и x₅ имеют практически одинаковые общие групповые характеристики, но как следует из матрицы коэффициентов корреляции 

                                       R =  [1.000  0.707  0.742  0.758  0.775;

                                                0.707  1.000  0.536  0.622  0.569;  

                                                0.742  0.536  1.000  0.719  0.562;

                                                0.758  0.622  0.719  1.000  0.666;                 

                                                0.775  0.569  0.562  0.666  1.000] 

они имеют  значительные  расхождения  на оболочке конуса соцелей, т.е. имеют существенно разные качественные признаки.

Можно изобразить примерную картину на окружности, если спроектировать признаки в пространство R³ и посмотреть на размещение признаков на единичной сфере с конца осевого признака конуса.