К разделам сайта:На главную страницу   Примеры   Теория индексов   Банки   Физика             

Вернуться к основному разделу данной темы "Оценки на структурах".

Проблемы построения метрического функционала, например, методом анализа  иерархий или какими-либо другими методами бинарного сравнения, неизбежно требуют привлечения  групп  экспертов. Если  строить  процесс  автоматической классификации, то можно обратить внимание на тот факт, что выделение  объекта  из общей совокупности следует вести по выявлению у него некоторого свойства, которое выделяло его в общей  группе, например, по отклонению фиксированного  от среднего группового признака. Что же такое  средний групповой  признак?

Прежде всего, будем полагать, что каждый объект группы  несет  в  себе  некоторый признак, присущий только ему. По этому признаку и его количественному содержанию он индивидуализируется. Если в группе имеются другие объекты, содержащие только этот признак, то данные объекты будем полагать подобными. Каждый такой индивидуализирующий объект признак можно считать сложным и рассматривать его как некоторую совокупность элементарных признаков его составляющих, суперпозицию элементарных признаков. Если  теперь обратить внимание на выделенную совокупность объектов, то можно заметить, что элементарный  признак, отмеченный  у одного объекта, встречается и при формировании индивидуальных признаков других объектов, но у различных объектов содержание того или иного элементарного признака различно. Элементарный признак – собственная функция объекта. Его количественное содержание – в выделенном объекте является собственным значением этого свойства в данном объекте. Определимся с видом какой-либо средней и по содержанию каждого элементарного признака на данной группе объектов найдем средний уровень по каждому признаку. Совокупность всех  элементарных признаков с найденной средней интенсивностью каждого из них будет некоторым агрегированным признаком, который также можно рассматривать как, пусть даже гипотетический, объект группы. Объект, обладающий подобным свойством, и будет в нашем понимании средним групповым объектом, а присущий ему признак – средним групповым признаком.

Предположим, что на множестве объектов сформирован средний групповой объект и определен индикатор, по которому можно установить дистанцию любого объекта от этого фиксированного объекта. Тогда, задаваясь определенным расстоянием от данного  объекта, можно  очертить сферу, в которую попадают те объекты, которые обладают свойствами, наиболее тесно привязывающими их к данной группе; устанавливать принадлежность  объекта к данной группе, проводить классификацию в самой группе и т.п.

Однако в  реальном мире исследователь неминуемо сталкивается с множеством случаев, когда сравнение объектов на всей их совокупности невозможно и приходится  такие оценки строить субъективно при помощи бинарных сравнений. В таких  случаях выделенный признак невозможно количественно определить на конкретном объекте, а, следовательно, и невозможно по декартовой рационалистической методологии  построить средний групповой объект. С подобной ситуацией мы сталкиваемся, например, при размещении торговых точек многоцелевого назначения; в ситуациях закрепления торговых зон за филиалами фирмы, когда сферы их влияния перекрываются и т.п. Здесь для бинарного сравнения приходится строить функцию предпочтения в виде агрегатного критерия такую, которая была бы монотонна и на ограниченных множествах принимала свое наибольшее и наименьшее значения.

Пусть X Ì R - множество допустимых состояний некоторого элемента схемы S_* ,в котором каждый объект x Î X несет  в  себе некоторый выделенный элементарный  признак e, т.е. некоторое присущее только ему агрегатное свойство. Будем полагать, что и набор основных элементарных свойств e_i, i Î N,  ççNçç = n, также принадлежит X. Образуем из всевозможных подмножеств множества X множество B Î B(X). Как и объект x Î X, расслаивающийся в определенную совокупность основных элементарных признаков, несет в себе определенное  агрегатное свойство, так  и  любой  элемент  B Î B(X), состоящий из признаков x Î X, также несет в себе некоторое агрегатное свойство.

На множестве B(X) построим дистрибутивную булеву алгебру и, будем полагать, что элемент b Î B₁ È B₂ Î B(X) содержит в себе свойство, присущее и множеству  B₁, и  множеству  B₂.  Аналогично, элементы множества  B₁ È B₂ содержат в себе признаки принадлежности множеству B₁, множеству B₂, либо тому и другому одновременно. Элементы множества B₁ D B₂ имеют либо только признаки принадлежности множеству B₁, либо признаки принадлежности к элементам множества B₂.

На элементах k₁, k₂  вещественной оси K, на которой строятся индикаторные оценки, определим операции:

k₁Ùk₂ = min(k₁, k₂),        k₁Úk₂ = max(k₁, k₂)

на  произвольном  объекте  A Î B(X) и найдем наибольшее и наименьшее значения соответствующих индикаторов по всем a Î A:

    _                                                                                                            

l(xçA) =  Ù{ l(xça):  a Î A},  l(xçA) =  Ú{ l(xça):  a Î A},

   _

 l²(x) =  Ù{ l²(x ça):  a Î A},  l²(xêA) =  Ú{l²(xôa):  a ÎA},

     _

I(x çA) =  Ù{I(x ça):  a Î A},    I(x çA) =  Ú{I(x ça):  a Î A},

      _

 J(xçA) =  Ù{J(xça):  a Î A},    J(x çA) =  Ú{J(xça):   a ÎA},

      _

r(x, A) =  Ù{r(x, a):  a Î A},    r(x, A) =  Ú{r(x, a):  a Î A}

и т.д..

Для любой  оценки состояния x Î X по отношению состояния a Î A справедливы неравенства

                                                                                                                  _

f(x çA)  £  f(xça)  £  f(x çA).

На основе индикаторов оценки гомотетии I и ротации J выберем из множества X те состояния, для которых оценка коэффициента гомотетии не ниже уровня I_o, а оценка ротации не превышает величины J_o. Обозначим их выражением X(A). Находим                                                                                                          

                             _

X(A) = {x Î X:  I(xçA) £  I_o,  J(xçA)  £ J_o}.                                  

Очевидно, аналогичным образом может быть построено множество допустимых состояний на интервальных оценках индикаторов

                                            _

X(A) = {x Î X:  I_o  £  I(xçA) £ I₁, J_o  ³  J(xçA) ³ J₁}.

Пусть A, B Î B(X). Тогда множество

X(AÈB) =X(A)ÈX(B) Ì X

обладает свойствами A или B или и тем и другим одновременно;

множество

X(A Ç B) = X(A) Ç X(B)

обладает каждым из групповых свойств A и B; множество

X(A D B) =X(A) D X(B)

обладает только  одним  из  групповых  свойств A или B

и, наконец, множество

X(A\ B) =X(A)\ X(B)

обладает только групповым свойством множества A.

Данные  операции на множестве X образуют булеву алгебру.Удовлетворяют всем аксиомам Беллмана-Гертса и, следовательно, для любых элементов A, B Î B(X) имеем:

I(xçAÈB) = I(xçA) Ú I(xçB),

J(xçA ÈB) = J(x çA) Ú J(x çB),

I(xçA Ç B) = I(xçA) Ù I(xçB),

I(x çA ÇB) = I(x çA) ÙI(x çB).

Возьмем любой  оценочный  критерий и обозначим его f. Принадлежность состояния x множеству X(A Ç B) определим величиной

f(x çAÇB) = f(xçA)Ùf(xçB)

с оценочной функцией

j_f(A) = Ú{f(xçA): x Î X}.

Оценочная функция устанавливает верхнюю грань оценки f(x çAÇB) по свойству A на множестве X.

По вещественному числу l и верхней грани оценочной функции  построим  множество

X(AÇB) = {x  Î X:  j_f(AÇB) > l},

которое служит подмножеством состояний, обладающих одновременно свойствами A и B по критерию f на уровне не ниже  l.  Число l является порогом  разделения множества допустимых состояний по содержанию свойства AÇB.  Оно разбивает множество X на два подмножества: подмножество X(AÇB) и дополнение к нему в X  CX(AÇB).

Для множества состояний, удовлетворяющих свойству AÈB, функцию принадлежности построим в виде

f(xçAÈB) = f(xçA) Ú f(xçB)

с оценочной функцией

j_f(A) = Ù{f(xçA):   x Î X},

а для симметрической разности возьмем

f(xçADB) = f(xçA) D f(xçB)

с оценочной функцией

j_f(ADB) = Ú{D(f(xçA), f(xçB)):   x Î X},

где введены обозначения:

D( a, b) = (aÚb) Ù ((a - a)(b - b)),

a = f(xçA), b = f(xçB), a = Ú{f(xçA): x Î X}, b =  Ú{f(xçB):  x Î X}.

Множество состояний, обладающих одним из свойств A или B на уровне не ниже l, имеет вид

X(AB) = {xÎX:  Ú{D(f(xçA), f(xçB)) > l:  x Î X}}.

В качестве  примера рассмотрим задачу упорядочения по нечетким свойствам пяти объектов по  четырнадцати  факторам. Это реальные показатели пяти  кафедр одного из экономических ВУЗ-ов, рассчитанные в среднем на одного человека,  которые применялись при управлении по результатам их деятельности. Исходные значения факторов запишем в виде матрицы

A =      [0.607       0.454       0.167      0.523        0.333       0.607;

             0.000       0.000       0.110       0.000       0.000       0.110;

         100.000   100.000   100.000   100.000   100.000   100.000;

             0.000       0.000       0.000       0.632       0.000       0.632;

             5.000       6.000       1.000       4.000       1.000       6.000;

              0.000      7.100      11.000    25.000       0.000     25.000;

              0.750      0.429        0.000      0.153       0.857       0.857;

              0.400      0.256        0.222      0.462       2.000       0.462;

              0.000      0.710        0.000      0.000       0.000       0.710;

            70.000      8.000      50.000  100.000   100.000   100.000;

          376.000  420.000    210.000  296.000   153.000   420.000;

            60.000      0.000      50.000    25.000       0.000     60.000;

           100.000   100.000   100.000   100.000   100.000   100.000],

 в которой пять первых столбцов отвечают пяти соответствующим трудовым коллективам, а последний столбец заполнен наибольшими по строкам элементами.

Чтобы факторы были соизмеримы, отобразим их в единичный куб [0;1]¹⁴. Для этого разделим элементы каждой строки на наибольший в ней показатель, т.е. на соответствующий элемент шестого столбца. Эта, казалось бы, на первый взгляд безобидная операция приводит к тому, что последний столбец становится эталоном в алгоритме сравнения данных коллективов по проекциям на этот эталон. Чтобы это было действительно так,  приходится  полагать, что в данной группе сравнения, допустимы  не только подобные  достижения  по  каждому показателю, но и максимально возможными значениями показателей по всей данной совокупности объектов может  описываться теоретически достижимое состояние и это направление желательно. Поскольку эталон показывает желаемое направление развитие коллективов данной группы, то здесь также задается и направление группового развития, по которому проводится сравнение. Принимая этот эталон как отправную точку, дальнейший алгоритм построим на поисках среднего группового признака. 

Следует отметить, что аналогичные  результаты  оценок,  которые будут получены ниже,  можно было бы найти и другими методами,  например, методом бальной оценки путем ранжирования  факторных  признаков, где присутствие среднего группового признака будет выступать в неявной форме. Для уточнения эталона будет естественным коррекция показателей весовыми функциями.

Будем полагать, что все факторы имеют одинаковый вес, и возьмём ковариационную функцию  в виде

M(x_i, x_j) = x_j^тWx_i ,

где

 x_i = (a^k_iç k Î N),  W  = ççw_kl  =  d_kl / 14çç,   k,l  Î N,     N = {1,2,...,14).

Бинарные оценки гомотетии и ротации принимают вид:

I = I(x_i|x_j) = [0.657  0.464  0.488  0.498  0.509;

                    0.481  0.680  0.364  0.423  0.386;

                    0.417  0.301  0.562  0.404  0.316;

                    0.511  0.415  0.484  0.674  0.448;

                    0.514  0.373  0.373  0.441  0.663],

J = J(x_içx_j) = [0.000  0.465  0.439  0.428  0.415;

                     0.481  0.000  0.574  0.539  0.560;

                    0.377   0.475  0.000  0.391  0.465;

                    0.439   0.528  0.469  0.        0.504;

                     0.415   0.545  0.548  0.495  0.000].

Отобразим их на единичный квадрат [0;1]² с помощью преобразований

 pⁱ_j = (Iⁱ_j – I_max) / (I_max – I_min),

jⁱ_j   = (J_max – Jⁱ_j) / (J_max – J_min)

и функции принадлежности построим в виде:

pⁱ_j(X) =  Ù{pⁱ_j:  j Î K},     jⁱ(X) =  Ù{jⁱ_j:  J Î K},

с оценочными функциями

p(X) =  Ú{pⁱ(X):  i Î K},    j(X) =  Ú{jⁱ(X):  i Î K},

соответственно, где K = {1,2,...,5}.

Для образов матриц I и J получаем:

P =  ççpⁱ_jçç= [0.939  0.430   0.493   0.520   0.549;

                       0.475  1.000   0.166   0.322   0.224;

                       0.309  0.000   0.689   0.272   0.040;

                       0.554  0.311   0.448   0.981   0.388;

                       0.562  0.200   0.190   0.369   0.955],

F = ççjⁱ_jçç= [1.000  0.190   0.235   0.254   0.277; 

                      0.102  1.000   0.000   0.073   0.024; 

                      0.343  0.172   1.000   0.319   0.190;

                      0.235  0.080   0.183   1.000   0.123;          

                      0.270  0.050   0.045   0.138   1.000].          

Векторы

p(X) = (pⁱç i Î K)^т = (0.430 0.166 0.000 0.311 0.190),

j(X) = (jⁱçi Î K)^т = (0.190 0.000 0.172 0.080 0.045)

определяют значение функций принадлежности на множестве допустимых состояний.

Находим максимальные значения на этих векторах:

max p(X) = 0.430,    max  j(X) = 0.190.

Первое значение из них дает верхнюю грань всех минимальных бинарных взаимных   проекций векторов друг на друга. Значит у объекта x₁ наибольшая средняя системная оценка коэффициента гомотетии. Второе значение соответствует нижней грани всех наибольших взаимных  расхождений. Отсюда следует, что этот же объект имеет самое меньшее расхождение с другими объектами. Таким  образом, состояние  x₁  можно  отнести к приоритетному,  присвоить ему ранг 1, исключить его из общей группы и провести  дальнейшие  аналогичные  оценки  на множестве объектов {x₂, x₃, x₄, x₅}. Однако для дальнейшего расслоения прибегнем к порогам разбиения  по соответствующим характеристикам.

Разделим пополам интервалы

p(X) = (0.000, 0.430),   j_j(X) = (0.000, 0.190)

и величины  l(p) = 0.215 и l(j) = 0.095 возьмем в качестве порога разбиения множества X на  подмножества. Получим  два  множества:

 X₁ = {x  Î X:  Ú{p_i(X) > p_l(X): i Î N}, Ú{j_i(X) > j_j(X):  i Î N}} = {x₁},

X₃ = {x Î X:   Ú{p_i(X) £ p_l(X): i Î N}, Ú{j_i(X) £ j_j(X):  i Î N}} = {x₂, x₅},

которые разделены классом X₂ = {x₃, x₄} с приоритетом X₁ > X₂ > X₃.

Поскольку p(x₅)  =  0.190  >  p(x₂) = 0.160 и j(x₅) = 0.090 >  j(x₂) = 0.000, то элементы множества X₃ упорядочиваются в отношении x₅ > x₂. Остается упорядочить элементы разделяющего слоя X₂.  Здесь можно перейти к экспертному анализу, например, полагая X₄ > x₃, т.к. x₄ имеет значительно более значимую оценку коэффициента гомотетии и его структурные сдвиги меньше отличаются от средних групповых. Получаем ранжирование

x₁ > x₄ > x₃ > x₅ > x₂ .

Посмотрим, как будет  меняться данное ранжирование при изменении  коэффициента  гомотетии  в оценке состояний.  Для этого введем прямоугольную систему координат pOj и каждому состоянию x_i на этой координатной плоскости поставим  в соответствие точку

P_i =  (p(x_i), j(x_i)).

От векторного критерия упорядочения состояний перейдем к скалярному. Обозначим величиной  a долю гомотетии в этой скалярной оценке, определим на построенной координатной плоскости направление s = (a, 1 - a) и спроектируем каждую точку P_i на прямую L, ориентированную в этом направлении. Тогда каждой точке P_i будет отвечать ортогональная проекция

pro_LP_i = ap(x_i) + (1 - a)j(x_i)

на эту  прямую. Проекцию и примем за агрегатную оценку состояния x_i. Можно заметить, что приведённому выше ранжированию соответствует значение a, близкое к значению 0.5, но не превосходящее его.

Показатель a  дает оценку важности гомотетии в агрегатной оценке по отношению к структурным сдвигам. С  изменением  параметра a меняются приоритеты гомотетии  и структурных сдвигов. В силу изменения  этих  приоритетов  меняются  и  ранги  состояний. Движение  рангов  при  изменении  приоритетов  приведено в таблицах 1 и 2

.

 Таблица 1. Движение рангов объектов при изменении

приоритетов оценки подобия и оценки структурных сдвигов.

Таблица 1.  Движение рангов объектов при изменении

приоритетов оценки подобия и оценки структурных сдвигов.

При  дальнейшем  уменьшении параметра a меняются  местами только  ранги объектов x₃ и x₄.

Из этих таблиц видим, что устойчивость занимаемого объектом своего положения в группе очень велика. При вращении прямой оценки сохраняются вплоть до значения a = 0.5.  При дальнейшем  снижении  приоритета подобия эталону третий  объект постепенно передвигается с пятого на второе место. Остальные объекты  сохраняют свои ранги, естественно, с учетом этого передвижения.