5. Представление сети категорией.

Любая сеть характеризуется двумя видами множеств - множеством узлов N и множеством упорядоченных связей между ними M, множеством морфизмов, как бинарными соответствиями. Будем полагать, что каждый узел X имеет связь с любым другим узлом Y сети соответствием соответствием (X, Y). Причём, отсутствие связи будем полагать тоже связью, т.е. множеству морфизмов принадлежит и несобственный элемент Æ. Рассматривать сеть как слой, заключённый между двумя граничными плоскостями. Полагаем одну из этих плоскостей верхней, другую нижней и возмущение элементов одной грани по слою передаётся элементам другой грани так, что на другой грани получаем образ этих возмущений, по которому судим о характере прообраза. Распространение возмущений от нижней грани к верхней будем называть прямым распространением, в обратном направлении - обратным распространением. Такая сеть расслаивается скрытыми плоскостями - срезами, и возмущение одного граничного слоя к другому передаётся посредством последовательного возмущения узлов срезов с одного слоя среза другому. При этом, оценка возмущений на верхнем граничном слое в информационных политических, социальных, экономических и др. интеллектуальных системах  может проводится по скалярному или векторному критериям.

Представление системы в виде множества информационных узлов и связей между ними является малой категорией. Обозначается

(5.1)                                  K = (N, M),

где N = Ob K определяется как множество объектов категории, а N = Hom_K(X, Y), где X, Y - являются элементами множества N. Если на любом срезе S выделить некоторое множество узлов, то вместе с ними ниже лежащие объекты определят подкатегорию L, которая наследуется из K. Подкатегория L называется полной, если Hom_L(X, Y) = Hom_K(X, Y) для любых X и Y из L. Количество объектов категории может быть счётным. В практическом описании систем это множество полагается почти счётным.

Примером такой категории является структура, в которой установлена нумерацию слоёв i = 0, 1, 2, .... Поскольку множество объектов счётно (или почти счётно), то на каждой грани N_i слоёв будет находится конечное число объектов |N_i| = n_i при бесконечном (либо конечном) числе слоёв.

Если объекты категории пронумеровать стандартным порядком

N = {1, ..., n₀, n₀ + 1, ..., n₁, n₁ + 1, ...}.

и на верхнем граничном слое будет только один элемент, то имеем

N = {0, 1, ...}.

В последнем случае множеству морфизмом можно продать вид

    M = {(1,0), (2, 0), ..., (n₁, 0), (n₁ + 1, 1), (n₁ + 2, 1),  ..., (n₁ + 1, 2), ...} 

Так, в примере, изображённом на рис. 4.2, для сети прямого распространания находим, что

(5.2)       N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},

(5.3)   M = {(1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2),

                 (6, 3), (7, 3), (8, 3), (9, 3),  (6, 4), (7, 4), (8, 4), (9, 4), (6, 5)}.

Для сети обратного распространения в бинарных соответствиях множества морфизмов M следует изменить порядок.

Система на одной и той же структуре может менять свои свойства: морально устаревает парк оборудования; меняется руководитель фирмы, декан факультета; институт проводит выпуск студентов и набирает новый контингент и т.п.На одной и той же структуре сети можно наблюдать явления, обладающие различными свойствами как по качеству, так и в количественном отношении. Свойства сети определяются количественными отношениями числовых характеристик, заданных на её объектах и морфизмах, что и характеризует её функциональные особенности. Поскольку схема сети определяется категорией, то эти функциональные особенности задаются функцией её объектов и связях между ними. Задание функции на аргументах категории называют функтором.

Предыдущая 

Следующая

Содержание