14. Эволюция системы и уравнение Шредингера.
Рассмотрим соотношение (12.5) и запишем его в виде
(14.1) D = σ*σ = <Ψi |ai*ai Ψi> + <ΨlΨk|(bkl)*bkl|ΨkΨl> = <ψ|H|ψ>
в подвижной системе координат Френе |ψ> = (|Ψi(t)>: i = 1, 2, ..., n), полагая, что дисперсия на интервале изучения динамики системы сохраняется. Тогда радиус-вектор r = |ψ(t)> определяет годограф траектории эволюции системы и имеет место равенство
(14.2) r*r = 1.
Отметим, что если дисперсия сохраняется, то коэффициенты разложения не меняются во времени и, следовательно, гамильтониан сохраняется на всём временном отрезке.
Дифференцируя равенство (14.2) по временному фактору, получим
(14.3) ṙ*r + r*ṙ = 0.
Но, производная радиус-вектора есть скорость кривой эволюции, которая ортогональна в точке дифференцирования радиус-вектору годографа траектории системы. Введём мнимую ось и вектор скорости направим по этой оси, масштабируя его величиной h. С учётом того, что оператор "звёздочка" определяет эрмитову сопряжённость, находим
(14.4) v = ihṙ, v* = - ihṙ*.
Если полагать смещение малым и происходящим под "энергетическим" воздействием гамильтониана, то в силу самосопряжённости гамильтониана, которое следует из (14.1), имеем
(14.5) v = Hr, v* = r*H.
При подстановке (14.5) в соотношения (14.4) получаем хорошо известные в квантовой физике уравнения Шредингера
(14.6) ihṙ = Hr, ihṙ* = - ṙ*H,
Фиксируя начальное состояние r0 = |ψ(t0)> и энергетическую функцию E = D системы, проинтегрируем уравнение
(14.6) ihṙ = Er
по времени
(14.7) r = r0 exp(- iEt / h)
Агрегатное состояние (14.6) разложимо по состояниям уникальных признаков. Действительно, для каждого уникального признака справедливо уравнение
(14.8) ihṙj = Ejrj,
решение которого имеет вид
(14.9) rj = r0j exp(- iEjt / h).
В пространстве L1 в барицентрических координатах приходим к выражению
(14.10) r = ∑ pjrj = ∑ pjr0jexp(- iEjt / h).
Здесь множитель r0j зависит только от текущих координат.