13. Матрица плотности и основное тождество.
На одной и той же структуре сети сравним два состояния элементов верхнего граничного слоя. Пусть эти состояния описываются выражениями
(13.1) u = U|Ψ>, v = V|Ψ>,
где операторы U и V представляют матрицы одинаковой размерности не обязательно квадратные (см. пример 4.1.), а |Ψ> - структурные метрические функции качества сети.
Скалярную меру для сравнения данных состояний запишем в виде
(13.2) μ(u,v) = v*u = |Ψ>*V*U|Ψ> = <Ψ|V*U|Ψ>,
а её квадрат в виде
(13.3) μ2(u,v) = v*(uv*)u = v*Mu.
Здесь оператор плотности
(13.4) M = uv*
в отличие от внутреннего произведения (13.2) назовём внешним произведением элементов (13.1).
Будем полагать, что для внутреннего произведения метрической функции Ψ структурного качества сети справедливо равенство
(13. 5) |Ψ><Ψ| = I,
где I - правосторонний тождественный оператор в пространстве операторов и левосторонний тождественный оператор в сопряжённом пространстве, т.е.
UI = U, IV* = V*, I* = I.
Тогда имеем
(13.6) M = uv* = U|Ψ><Ψ|V* = UV*.
Для дисперсии получаем выражение
(13.7) D(u,v) = v*(vu*)u = v*M*u.
Из соотношений (13.3) и (13.5) находим
(13.8) Γ(u,v) = D(u,v) - μ2(u,v) = v*Su,
где введено обозначение
(13.9) S = M* - M = VU* - UV*, S* = - S.
Очевидно, при полном сходстве состояний (13.1) коммуникационный оператор (13.9) равен нулю.
Здесь оператор (*) применяется как эрмитово сопряжение.
Следовательно, основное тождество полностью определяется описанием оператора плотности (13.6) квадрата меры.