15. Импульс.

Пусть X многообразие допустимых состояний системы K. На нём рассмотрим  возможную траекторию эволюции L. На траектории зафиксируем произвольную точку a как начало подвижной системы координат q и точку y. К траектории эволюции в точке a построим касательное пространство X_a и скалярным произведением μ(x,y) зададим на нём евклидову структуру, а поскольку L и a произвольны, то на данном многообразии будет задана евклидова структура. Меру расширим на некоторую окрестность точки a и построим проекцию x точки y на X_a.

В аффинном пространстве допустимых состояний рассмотрим симплекс A³ = (a,y,x), а в присоединённом векторном пространстве X возможных смещений состояний зададим три биекции

(15.1)        F_a : a → F(a, y) = y,  F_a : a → F(a, x) = x, 

            F_y : y → F(y, x) = u.

Каждая биекция определяет возможное смещение состояний, т.е. включает и возможные качественные преобразования состояний. Будем полагать, что первые два смещения (15.1)нормированы, определяют чистые состояния

(15.2)                                    D(x) = D(y) = 1

и их качественные отличия малы. Последнее соотношение (соотношение Шаля) приводит к равенству

(15.3)                                         x = y + u,  

в котором второе слагаемое правой части, в силу малого качественного различия состояний x и y, мало. Учитывая равенства (15.2) и отбрасывая малые более высокого порядка, из соотношения

D(x) = D(y) + m(y, u) + m(u, y) + D(u)

находим, что

m(y, u) = 0,

т.е. состояние x отображается суммой двух ортогональных векторов, где первое слагаемое определяет составляющую, качественно подобную исходному состоянию, второе – отвечает качественным структурным преобразованиям.

Воспользовавшись малостью второго слагаемого, разложим правую часть равенства (15.3) в точке y в ряд Маклорена

(15.4)                         x = (I + φ + ½ φ² + …) y,              

где введено обозначение

(15.5)                        φ = u ∂ / ∂q = u ∂_q .                   

Оператор (15.5) действует в присоединённом пространстве на векторы возможных переходов из состояния y, т.е. на векторы, закреплённые в точке y , как линейный функционал. Множество всех таких функционалов определяет касательное пространство к пространству возможных состояний X в точке y с базисом φ^o_k = ∂ / ∂ q^k, k  = 1, 2, …, n.  Просуммировав ряд, получаем выражение

(15.6)                       x  = T_φ y,             

где оператор преобразования

(15.7)                       T_φ  = exp(φ).                  

Данный оператор с одной стороны характеризует качественные преобразования состояния  до его совпадения с качеством состояния x. С другой стороны, он определяет поворот единичного вектора y до его совпадения с вектором x вокруг их общего начала, точки a, на некоторый угол θ, т.е.

φ = φ(θ).

Следует отметить, что изменение качества суть внутренние структурные преобразования явления и, чтобы они происходили, нужно приложить усилие, энергетический импульс. Аргумент оператора (15.7) связан с этим воздействием, с данным импульсом, некоторым вектором p. В квантовой физике вектор силового воздействия связывают с вектором градиента отношением

(15.8)                             ∂_q = ip / h   

где величина h является метрическим коэффициентом связности. Подставляя это выражение в (15.5), с учётом (15.6) находим выражение для оператора качественных преобразований

(15.9)                              Tφ = exp(ip/h).                                                  

Соотношением (15.8) на многообразии возможных состояний служит связующем звеном римановой и симплектической структур.

Действительно, рассмотрим рис. 15.1, на котором изображена траектория AO₁B  эволюции системы в достаточно малой окрестности точки O₁, которая является точкой округления (омбилическая точка) и рассматривается как один из полюсов единичной сферы с центром O. Сфера помещена в трёхгранник Френе, где T - касательная плоскость к кривой в фиксированной точке O₁ (в аффинной системе координат это точка a), N - нормальная, а S - спрямляемая плоскости кривой в точке округления.  

Рис. 15.1. Интерпретация задачи на трёхмерной сфере.

С помощью параллельного переноса (15.3) систему координат (t - ось абцисс, масштабным вектором которой служит нормированный касательный вектор; n - ось ординат с масштабным вектором нормали к кривой; b - ось аппликат, масштабным вектором которой служит нормированный бивектор u),  перенесём в центр сферы. Тогда осями координат будут линии пересечения этих плоскостей.

С производс��венной точки зрения вектор x можно полагать качеством исполнения планового задания, а вектор y - его фактическим исполнением. Если структурное различие невелико, то вектор u практически коллинеарен вектору b, который можно рассматривать в качестве нормированного вектора градиента к сфере в точке O₁.

Вычислим площадь параллелограмма P натянутого на векторы x и y.

P = |x˄y| = |(x×y)^┴| = σ(x)σ(y)sinθ = σ(x)σ(u)sinθ = sinθ.

С другой стороны имеем

P = σ(x)σ(u) = σ(u),

т.е.

u = (x˄y) = (x×y)^┴ .

Этот бивектор нормируем и, помечая полученный вектор мнимым множителем, направим его ортогонально плоскости данного параллелограмма. На рис.15.1 это будет вектор p. Следовательно,

ip = u / σ(u).

Но, в рассматриваемом случае бивектор коллинеарен градиенту

u = k∂_q.

Если ввести обозначение h = k / σ(u), то приходим к зависимости

ip = h∂_q,

из которого получаем оператор оценки прилагаемых усилий для происходящих структурных (качественных) изменений, оператор импульса (15.8)

p = - ih∂_q.

Оценивая его действие на радиус-вектор траектории эволюции приходим к уравнению

∂_qr = ihpr,

нормированное решение которого принимает вид

r = exp(ipq / h).

Его подстановка в соотношение (14.10) приводит к представлению

(15.10)            r = exp(-i(Et - pq) / h) = ∑ _{1 ≤ j ≤ n} p^jexp(-i(E_jt - p_jq) / h).

Предыдущий

Следующий

Содержание 

        матричная квантовая экономика