12. Гамильтониан.
Представим качественный признак как вектор уникальных качественных признаков |Ψ>, которые определим в качестве базиса, и компоненты бинарного соответствия разложим по этому базису, запишем их в виде векторов u = U|Ψ> и v = V|Ψ>, полагая, что операторы являются диагональными матрицами. Тогда
(12.1) μ(u,v) = <Ψ|V*U|Ψ> = <Ψ|A|Ψ>.
Определим квадрат меры
(12.2) μ2(u,v) = <Ψ|A|Ψ><Ψ|A|Ψ> = <Ψ|A2|Ψ>.
Здесь оператор I = |Ψ><Ψ| является тождественным и
AI = IA = A.
Очевидно, второе слагаемое в основном метрическом тождестве Грама также можно записать в виде (12.2) поскольку имеет место представление w = B|Φ>, где B диагональная матрица с элементами на диагонали wk, k = 1, 2, n(n - 1)/2. Находим
Γ(u,v) = D(w) = <Φ|B2|Φ>.
Здесь |Ψ> = [|Ψ1>; |Ψ2>; ...; |Ψn>] - вектор-столбец с ортонормированными компонентами, которые определяют базис евклидова пространства Rn, а |Φ> = [|Φ1; |Φ2; ...; |Φn(n - 1)/2>] - вектор-столбец с ортонормированными координатами, которые определяют базис евклидова пространства Rn(n - 1)/2.
Рассмотрим пространство R(n + 1)n/2, полученное объединением данных пространств. определим в нём вектор вектор |φ> = [|Ψ>; |Φ>] и вектор
σ = |σ> = σ|φ> = ∑ai |Ψi> + ∑∑bkl|ΨkΨl> = ai |Ψi> + bkl|ΨkΨl>.
С учётом символического обозначения суммирования сопряжение будет иметь представление
(12.3) σ* = <φ|σ* = <Ψi|(ai)* + <ΨlΨk|(bkl)*.
Учитывая, что вектор (12.3) определяется на поле действительных чисел, имеем
(12.4) (ai)* = ai, (bkl)* = blk = - bkl.
В силу базисности векторов |Ψ> и |Φ> в соответствующих пространствах и последнего условия (12.4) находим
(12.5) D = σ*σ = <Ψi |ai*ai Ψi> + <ΨlΨk|(bkl)*bkl|ΨkΨl>.
или
(12.6) D = <Ψ|A2|Ψ> + <Φ|B2|Φ>= <φ|H|φ>,
где матрица плотности является квадратной диагональной матрицей
(12.7) H = [A2 0;0 B2]
размерности (n + 1)n / 2. Поскольку
<φ|φ> = (n + 1)n / 2,
то введём новый нормированный метрический вектор
(12. 8) ψ = ((n + 1)n / 2)1/2φ
и величину
(12.9) E = 2D / (n + 1)n.
В новых обозначениях равенство (12.6) принимает вид
(12. 10) <ψ|H|ψ> = E.
Оператор плотности (12.7) полностью описывает состояние системы, называется гамильтоновым оператором, или гамильтонианом, и приобретает, таким образом, фундаментальное значение. В квантовой механике он определяет энергетическое состояние системы, а оценка его среднего состояния (12.10) характеризует агрегированный энергетический уровень (12.9) рассматриваемой системы в метрике (12.8).
С учётом нормированности метрической функции (12.8) заключаем, что оценка среднего значения гамильтониана является собственным значением, отвечающему данной агрегатной метрической функции
(12.11) H|ψ> = E|ψ>.
Но, в рассматриваемом случае гамильтониан диагональная матрица. Если для её диагональных элементов ввести обозначения hi, то получаем представление
H|ψ> = ∑1 ≤ i ≤ (n + 1)n / 2 hi|ψi>,
где |ψi> собственные функции гамильтониана соответствующие его собственным значениям hi описывают уникальные свойства системы. Если теперь в левую часть последнего равенства подставить правую часть равенства (12.11) и обе части полученного соотношения разделить на агрегатную оценку (12.9) энергетического уровня системы, то получим представление агрегатной метрической функции в пространстве суммируемых с первой степенью последовательностей по её уникальным признакам в барицентрических координатах в евклидовом пространстве R(n + 1)n / 2
(12.12) |ψ> = ∑1 ≤ i ≤ (n + 1)n / 2 αi|ψi>, αi = hi / E = <ψi|ψ>.
Здесь собственное значение гамильтониана hi определяет энергетический уровень Ei = hi соответствующего уникального признака в рассматриваемом состоянии системы, а соответствующая координата характеризует вероятность присутствия этого признака в её агрегатном свойстве.