11. Основное тождество как связь евклидова и симплектического пространств.
Рассмотрим метрическое тождество Грама (9.9)
(11.1) D(z) = μ2(z) + D(w).
В это тождество входят две различные переменные. Переменная z определяет бинарное соответствие двух допустимых состояний одного и того же объекта сети как элементов u и v евклидова пространства Rn, мера в котором определяется функцией μ(u,v) и для дисперсии бинарного соответствия имеет место представление D(u,v) = D(u)D(v).
Второе слагаемое правой части определяет дисперсию бивектора w = u˄v. Его модуль задаётся кососкалярным произведением составляющих векторов, т.е. равен ориентированной площади параллелограмма, натянутого на эти векторы. Кососкалярное произведение определяет симплектическую структуру на плоскости и, соответственно, симплектическую структуру на многообразии. Если риманова структура на многообразии даёт возможность определять длину пути эволюции объекта путём суммирования длин малых векторов, то симплектическая структура на многообразии позволяет измерять площади двумерных поверхностей, суммируя площади малых параллелограммов, чторасширяет возможности анализа.
Пусть u = ui|Ψi>, v = vj|Ψj> векторы евклидова пространства Rn. Введём обозначения:
ωij = uivj - vi uj,
|Ψij> = |ΨiΨj> = |Ψi> ˄ |Ψj>, 1 ≤ i < j ≤ n;
|Ψij>* = <Ψji| = <Ψj|˄<Ψi|,
|Ψij>*|Ψkl> = <Ψji|Ψkl> = <Ψi|Ψk><Ψj|Ψl> = δikδjl.
Из последнего равенства заключаем, что скалярное произведение двукачественных признаков равно единице при их совпадении и нулю в противном случае.
Если воспользоваться формулой Лагранжа (9.5), то получаем
w = ∑1 ≤ i < j ≤ n ωij|Ψij> = ∑1 ≤ k ≤ n(n - 1)/2 wk|Φk>,
|Φk> = |Ψij>, k = (2n - i)(i - 1)/2 + j - i, 1 ≤ i < j ≤ n.
Здесь бивектор представляется вектором евклидова пространства Rs размерности s = n(n - 1)/2 с ортонормированным базисом ek = |Φk>, в котором скалярное произведение произвольных элементов a и b задаётся обычным способом как μ(a,b) = b*a, а тождество Грама (11.1) остаётся справедливым и для четырехвектора w = (a˄b)˄(c˄d), т.е. для оценки бинарного соответствия z = (u,v) двух пар бинарных соответствий u = a˄b и v = c˄d, например, для сравнения двух альтернативных вариантов "план -факт".