9. Основное метрическое тождество. Тождества Лагранжа, Пифагора, Грама.
Рассмотрим пространство U. Это пространство линейно, а его координатные оси определяются как уникальные качественные признаки. Возьмём произвольно два его элемента u и v как различные допустимые состояний одного и того же объекта
(9.1) u = u|Ψ>, v = v|Ψ>.
Это требование необходимо для возможности сравнения этих состояний. Для определённости будем считать, что они заданы над полем вещественных чисел. Пусть это пространство евклидово. Тогда в этом пространстве задано скалярное произведение выражением (8.4) и в нём существует евклидова норма и евклидова метрика
(9.2) ||u|| = σ(u) = D1/2(u), ρ(u,v) = ||u - v||.
Рассмотрим экономически целесообразный случай - конечномерность данного пространства, когда количественные характеристики объектов (9.1) принадлежат пространству Rn. Введём для ориентированного бинарного соответствия векторов (9.1) обозначение z = (u,v), (v,u) = - z.
На данном бинарном соответствии построим ориентированный треугольник и его площадь обозначим величиной ν = ν(z), ν(- z) = - ν(z). Для бинарное соответствие запишем и величины σ(z) = σ(u)σ(v), μ(z) = μ(u,v). Очевидно, последние две величины неотрицательны и на противоположном бинарном соответствии. Но, площадь треугольника равна векторному произведению данных векторов и из известного векторного равенства
(9.3) |a´b|2 + (ab)2 = a2b2
на данном бинарном соответствии получаем метрическое тождество Пифагора
(9.4) σ2 = μ2 + ν2.
Если площадь треугольника вычислить по формуле Лагранжа
(9.5) ν(z) = (∑(uivj - viuj)2)1/2, 0 ≤ i < j ≤ n - 1,
то тождество Пифагора переходит в метрическое тождество Лагранжа.
Обратимся к векторному равенству (9.3). Воспользуемся тем, что векторное произведение является дополнительным вектором к внешнему произведению
(9.6) u´v = (u˄v)┴ = w┴,
где введено обозначение
(9.7) w = u˄v = |u> ˄ |v> = |uv> = |w>,
и для его квадрата введём обозначение
(9.8) Γ(z) = Γ(u,v) = w*w = <w|w> = D(w) .
Выражение совпадает с определителем Грама для пары векторов u и v. Приходим к новому представлению основного метрического тождества для бинарного соответствия z векторов
(9.9) σ2 =μ2 + Γ.
По аналогии с предыдущим назовём (9.9) тождеством Грама.
Таким образом для основного метрического тождества оценок на объектах сети имеет место три различных представления: в виде тождества Пифагора, в виде тождества Лагранжа и в виде тождества Грама.