10. Основное тождество как диалектическое единство сходства и различия.
Мера μ(u,v), входящая в правую часть основного метрического тождества (ОМТ ), является симметрической функцией пары векторов, линейная относительно аргументов и на соответствующем линейном пространстве определяет евклидову структуру. Эта мера является мерой сходства объектов. Из u = v следует
μ(u, v) = D(v), ν(u,v) = 0.
Дуальная мера ν(u,v) служит мерой различия объектов. Если объекты в данном бинарном соответствии не имеют качественного сходства, не соизмеримы, то
μ(u,v) = 0, ν(u,v) = D(v).
В таком случае будем говорить об ортогональности данных векторов (объектов) u┴ = v.
Если зафиксировать некоторый объект сети и допустимое множество его состояний U, то при фиксировании его состояния v = v|Ψ> (предположим как эталон) окрестность Uv будет некоторой поверхностью. В определённых пределах эту поверхность можно спрямить и рассматривать как евклидову плоскость касательную в точке v к аффинному множеству U, к которому U присоединяется как векторное пространство. Выбор евклидовой структуры - меры μ(u,v), в любой точке данного аффинного множества определяет его как многообразие с римановой структурой. Риманова структура на U даёт возможность на многообразии, используя присоединённое пространство U, проводить анализ эволюции объектов, например, находить длины кривых, суммируя длины малых векторов на кривых эволюции и т.п. Она определяет и две другие меры метрического тождества - дисперсионную функцию D и меру ν на бинарных соответствиях элементов присоединённого векторного пространства и евклидово расстояние между точками аффинного множества:
D(z) = D(u)D(v), D(v) = μ(v,v), ν(z) = (D(z) - μ2(z))1/2.
Можно отметить, что векторные элементы в этих формулах можно заменить точками аффинного пространства. Действительно,
μ(u,v) = v*u = <Ψ|v*u|Ψ> = <Ψ|μ(u,v)|Ψ> = μ(u,v)<Ψ|Ψ> = μ(u,v).