Оценки функциональной динамики региона.

К разделам сайта:          Домой        Примеры       Теория индексов      Банки      Физика

Рассмотрим открытую высоко агрегированную модель оценки функциональной  региональной динамики. Подобная модель применима к оценке динамики любого объекта. Пусть данный объект обменивается с внешней средой материальными потоками u₁ (импортные потоки) и u₂ (экспорт) и производит вида продукцию u. Оценки действия объекта, его импорт и экспорт, определим, соответственно, формулами:

 F = cu,      F₁ = c₁u₁,     F₂ = c₂u₂.

При этом первый множитель в правой части каждой формулы определяет стоимостную характеристику, а второй - служит выражением объемной части каждого действия. Если рассматривать в них первый множитель как условную стоимостную характеристику (например, как некоторую среднюю характеристику соответствующего вектора цен), то второй множитель будет отвечать количеству условных единиц данной стоимости. При таком предположении правые части в этих выражениях будут произведениями скаляров.

Составим уравнение динамики организации при последнем предположении. Предположим, что за локальный отрезок времени Dt, прошедший с момента t до момента t', организация изменила свой потенциал на величину FDt = Q' - Q. При этом она выпустила продукции в количестве u условных единиц с привлечением импортируемых ресурсов в количестве Du₁ и было отправлено на экспорт продукции в количестве Du₂ условных единиц. Действие объекта будем рассматривать как его реакцию на воздействие окружающей среды, а воздействие окружающей среды на объект - как реакцию окружающей среды на действие последнего. Поскольку задача о первопричине напоминает средневековый спор о курице и яйце, то условимся, что интервал Dt мал и действие объекта в момент t Î T = [t₁, t₂] определяется его реакцией на состояние внешней среды, т.е. в момент времени t объект заимствует из внешней среды в кредит в размере DF денежные средства, которые обращает в материальные средства в количестве Du₁ по цене c₁, т.е.

Q = F + DF,

где F = cu, DF = c₁Du₁. Пусть в следующий момент t' = t + Dt оценка принимает вид

Q' = F' + DF'.

Здесь DF' = c₂Du₂ направляемые объектом во внешнюю среду материальные средства , Du₂ - их количественная величина, c₂ - цена. Величина  F' = c'u' отвечает действию объекта в момент времени t' = t + Dt, где ценовую величину определим выражением

c' = c + Dc,

а объемную характеристику материальных ресурсов запишем в виде

u' = u +Du₁ - Du₂.

Это взаимодействие будем рассматривать за достаточно малый отрезок времени, поэтому материальные ресурсы и их стоимостную характеристику оценим на интервале T непрерывными и дифференцируемыми функциями u(t) и c(t) параметра t Î T, полагая, что взаимодействие объекта с отделяющимся материальным потоком в момент времени t' мгновенно прекращается, а присоединяемый к материальным ресурсам внешний поток ресурсов до их присоединения не оказывал на действие на динамику объекта никакого влияния. В связи с этим, результат будет справедлив только при условии возможности перехода к пределу при Dt ® 0. Получаем уравнение

(1)                                                           (c +Dc)(u + Du₁ - Du₂) + c₂Du₂ – c₁Du₁ =FDt,

которое после преобразования принимает вид

 ĉu = Ф + Ф₁ – Ф₂,

где введены обозначения: ĉ = Dc / Dt - средняя себестоимость материальных ресурсов на временном отрезке Dt; Ф₁ = s₁R₁, Ф₂ = s₂R₂ - силы реакции внешней среды на действие объекта и объекта на воздействие внешней среды; s₁ = c₁ - c, s₂ = c₂ - c - относительная стоимость дополнительно привлекаемых и отделяемых во внешнюю среду ресурсов за период Dt; R₁ = Du₁ / Dt, R₂ = Du₂ / Dt - средние величины присоединяемых и отделяемых потоков ресурса временной интервал Dt, соответственно. В предельном случае уравнение (1) имеет вид

(2)                                                                     u dc/dt = Ф + s₁du₁/dt – s₂du₂/dt.

В случае, когда имеет место только привлечение (импорт) или только отделение (экспорт) средств, получаем равенства

du₁/dt = du/dt,     du₂/dt = du/dt

и уравнение (2) принимает вид

(3)                                                                 u dc/dt = Ф + (-1)^r du/dt,      r = 1, 2.

Это уравнение получено И.В. Мещерским в 1897 году для описания движения точки переменной массы, а обобщенное уравнение (2) было опубликовано им в 1904 году. При r = 1 уравнение (3) описывает эволюцию организации в условиях импорта своей продукции, при r = 2 - в условиях только экспорта. В случае, когда абсолютная стоимость импортируемых (экспортируемых) ресурсов принимается равной нулю, приходим к уравнению

dF/dt = Ф.

Если же относительная стоимость ресурсов принимается равной нулю, то уравнение имеет вид

u dc/dt = Ф.

Из уравнения (3) при отсутствии внешнего импульса, т.е. когда имеет место условие Q' = Q, имеем

u dc/dt = (-1)^rs_rdu/dt,    r = 1, 2,

или

udc = (-1)rsrdu,     r = 1, 2.

Если рассматривать это уравнение относительно изменения стоимости продукции, то, после интегрирования при начальных условиях u = u_o, c = c_o, будем иметь

c = co + (-1)^r-1 s_r ln(u_o/u).

Пусть в начальный момент цикла a = Dt объект располагал собственными средствами в объеме u_k и привлёк заемных средств в количестве u_a (принимаем r = 1). Предположим, что с окончанием этого цикла все заемные средства были полностью использованы и у объекта на начало и последующего хозяйственного цикла осталось в распоряжении только исходное количество ресурсов. Тогда  u_o = u_k + u_a и 

c = c_o + s₁ ln(1 + u_a/u_k).

Это известная формула К.Э. Циолковского для расчета предельно допустимой скорости ракеты в момент полного выгорания запасов топлива, опубликованная им в 1903 году. Из нее вытекает, что если предположить, что u_k - объем основных средств производства, а u_a - объем заемных средств (оборотных средств), то себестоимость выпускаемой продукции зависит только от объема оборотных средств и от их относительной стоимости. Применим уравнение Мещерского в макроэкономическом монетарном анализе региональной динамики на временном горизонте T = {0, 1 , ... ,12}. Пусть функции F, F₁ и F₂ определяют, соответственно, оценку в стоимостном выражении внутрирегионального потребления, где c =c(t), t Î T, - средняя внутрирегиональная цена приведенной единицы потребляемого продукта, u = u(t) = u_o - количество потребляемых продуктов в приведенных единицах; c₁ и c₂ - неизменные цены на импортную и экспортную продукцию в данных приведенных единицах, которая равномерно в рассматриваемый период импортируется в регион и экспортируется из него, т.е. можно записать: u₁(t) = ů₁t, u₂(t) = ů₂t. В таком случае из соотношения для средней цены на продукцию внутрирегионального потребления получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью

(4)                                                                       ċ+ pc = f,

где введены обозначения: p = (ů₁ – ů₂)/u, f = (Ф + c₁ů₁ – c₂ů₂)/u. Удовлетворяющее начальным условиям c(0) = c_o решение уравнения (4) имеет вид

c(t) = c_oexp(-pt)+ a(1 - exp(-pt)).

Здесь a = (Ф + c₁ů₁ – c₂ů₂) / (ů₁ – ů₂). О поведении функции c(t) можно судить по знаку ее производных. Справедливы равенства 

-sign (dc/dt) = sign (d²c/dt²) = sign {[(c_o- c₁)ů₁ - (c_o – c₂)ů₂ - Ф] / (ů₁ – ů₂)}.

Из этих равенств заключаем, что внутрирегиональные цены строго монотонны и динамика их роста или снижения ускоряется с течением времени. Из данных же равенств следует, что если выполняются одновременно условия (c_o – c₁)ů₁ - (c_o – c₂)ů₂ - Ф > 0, ů₁ – ů₂ < 0, либо условия (c_o – c₁)ů₁ - (c_o – c₂)ů₂ - Ф < 0, ů₁ – ů₂ < 0, то эти цены монотонно убывают и c(t) < c_o для любого t Î T. Если же  sign ċ > 0, то при любом t Î T  

c(t) > c_o

цены монотонно возрастают и для исходных данных имеют место неравенства

(c₀ – c₁)ů₁ - (c_o – c₂)ů₂ – Ф > 0, ů₁ – ů₂ < 0,

либо неравенства

(c₀ – c₁)ů₁ - (c_o – c₂)ů₂ – Ф < 0, ů₁ – ů₂ < 0.

При этом, если при каком-либо t Î T выполняется равенство c(t) = c_o, то цены будут постоянны на всем временном горизонте и для поддержания постоянства на соответствующем уровне внутри региональных цен потребуется приложение внешнего усилия, которое в принимает вид Ф = s₂R₂ – s₁R₁, т.е. должно выполнятся условие Ф + Ф₁ – Ф₂ = 0. Последнее говорит о том, что в этом случае дополнительно приложенное усилие должно быть равнодействующим экспортных и импортных усилий (сил). Агрегатные свойства региона меняться не будут, но поскольку, усилия их составляющие определяются в денежном выражении, то подобные усилия характеризуются финансовым потоком. Чтобы погасить движение цен вверх, потребуются увеличить экспорт. Остановить движение цен вниз можно увеличением импорта. Здесь  R1 = ů₁, R₂ = ů₂.

Рассмотрим числовой пример. Пусть имеем исходные цены c_o = 5 при стабильном внутрирегиональном объеме потребления u = 91000 условных единиц. Импортные и экспортные поставки характеризуются средними ценами 4.5 и 5.5, соответственно, и двумя и пятью процентами роста в количественных характеристиках в месяц по отношению к внутреннему потреблению. Тогда для поддержания равновесия на исходном уровне потребуется усилие в условном денежном эквиваленте составляющее Ф = 35 единиц, которое следует аккумулировать в экспортно-импортных операциях. Если этого не сделать, то к концу года цены опустятся до уровня c(t₂ - t₁) = 4.49 условных единиц. Если же приложить усилие равное Ф = 990, то цены к концу годового цикла поднимутся до отметки 5.79 условных ед.