Задача ранжирования при выборе приоритетов производства. 

К разделам сайта:          Домой        Примеры       Теория индексов      Банки      Физика

В этом примере рассмотрим задачу выбора изделия для производства при оптимальном приспособлении к конъюнктурному спросу на рынке ее сбыта, когда предполагается, что имеется несколько разработанных вариантов модификаций этого изделия. Постановку подобной задачи позаимствуем из работы "Саати  Т., Кернс К.  Аналитическое планирование / Организация систем // М., Радио и связь, 1991". Предположим, что для производства требуется выбрать модель автомобиля определенного класса со средней себестоимостью в пределах s = 12742 условных единицы и лучшими среднеклассовыми характеристиками из трех возможных его модификаций. Эти модификации определяются, в основном, условиями предназначения автомобиля такими, например, как езда в основном в городских условиях; поездки как в городских условиях, так и в сельской местности; поездки в основном в сельской местности. Поскольку в первые три года эксплуатации автомобиля он не требует особых затрат на ремонт, то в стоимость автомобиля включим стоимость его реализации и расходы на трехгодичную его эксплуатацию: текущие расходы по содержанию автомобиля, расходы на бензин для поездок по городу, расходы на бензин для поездок в сельской местности. В дальнейшем, все встречающиеся именные числовые величины будем исчислять в установленных выше условных единицах стоимости.Пусть бинарные экспертные оценки отношения стоимости расходов по i-му фактору к стоимости расходов по j-му фактору определяется матрицей L = [1   7    3    9; 1/7   1   1/2   1;  1/3   2    1   3;  1/9   1   1/3   1]. Долю расходов по i-ому фактору, приходящихся на j-ый автомобиль в его суммарной стоимости за трехлетний период эксплуатации определим матрицей P = [ 1/4    1/3    5/12;   1/2    1/3    1/6;   4/7    2/7    1/7;   6/11  3/11  2/11 ], а доли расходов по каждому фактору в средней стоимости  автомобиля определим нормированным главным  собственным  вектором  матрицы L: w = ( 0.627  0.094  0.208  0.072 ). 

По формуле s_i = w_is найдем средние характеристики данного класса автомобиля. Его стоимость будет составлять 7984 условных единиц. Трехгодичные текущие расходы по эксплуатации - 1 198 условных единиц, расходы на бензин для поездок по городу - 2 645 и в сельской местности - 915 условных единиц. Для дальнейшего анализа удобно ввести величину, равную утроенной средней стоимости автомобиля a = 3s. 

Суммарная величина стоимости каждой модификации автомобиля вместе с трехгодичными затратами на его эксплуатацию найдем из условия c = aw^тP. Имеем: c₁ = 13 800, c₂ = 12 200, c₃ = 12 225. Легко видеть, что для среднего выполняется условие s = ¹/_n å c_i = 12 742. Если потребитель ориентирован на стоимость автомобиля, то на первый взгляд ранжирование по стоимости показывает, что потребитель предпочтет второй автомобиль в силу его меньшей стоимости. Однако, как легко заметить, стоимости второго и третьего автомобиля практически совпадают и выбор потребителем автомобиля, вероятно, последует с опорой на среднеклассовые характеристики, т.е. с учетом агрегированного качества данного класса, которое не всегда адекватно определяется его стоимостью.

Для построения агрегатных оценок стоимостной вектор c разделим на нормирующий  множитель  a и введем матрицу X = ((p_ij^1/2)). Данную матрицу будем рассматривать как некоторую систему, элементы которой описываются ее столбцами, т.е. элемент x_j Î X является j-ым столбцом этой матрицы. Для бинарного сопоставления элементов x и y системы X введем ковариационную функцию M(x, y) = w_ixⁱ yⁱ.

Элемент x_j описывает в некотором метрическом пространстве характеристики j-го автомобиля, стоимость которого будет равна  c_j = aM(x_j, x_j). Вместе с этой метрической функцией рассмотрим функцию вариации Г(x, y) = D(x)D(y) – M²(x, y), где введено обозначение D(x) = M(x, x).

Отсюда следует, что стоимость автомобиля в силу равенства D(x) = D₁(xçy) + D₂(xçy), где D₁(xçy) = M²(x, y)/D(y) и D₂(xçy) = Г(x, y)/D(y), можно разбить на два слагаемых, первое из которых c_1j = a D₁(x_jçy) определяет стоимость качества автомобиля y в стоимости автомобиля x_j, а второе c_2j = a D₂(x_jçy) равно стоимости тех качеств автомобиля x_j, которые не присущи автомобилю y. Получаем векторные равенства:

                  [13800  13800  13800] = [13800  13088  11386] + [    0    702      2214],

                  [12200  12200  12200] = [11579  12200  11779] + [ 621       0        426],

                  [12225  12225  12225] = [10264  11798  12225] + [1921  427            0].  

Отсюда заключаем, что стоимость первого автомобиля может быть оценена по качественному признаку второго 

                                                    13800 = 13098 + 702

и третьего

                                                    13800 = 11386 + 2214.

Значит, в стоимости первого автомобиля цена качества второго автомобиля составляет 13098 условных единиц, а качество третьего стоит 11586 усл. ед.. Таким образом, технология производства автомобиля по первой модели достигает качества второго автомобиля гораздо более дорогой ценой, чем производство самого автомобиля второй модели. В стоимости первого автомобиля 94.9% составляет стоимость качества второго автомобиля и 84% содержится качества третьей модели. Те же 84% качества заключены и в третьей модели по отношению к первой, т.е. данное бинарное отношение обладает свойством симметрии.

Для качественного анализа системы перейдем в евклидово пространство. Оценку D(x) будем считать как дисперсию элемента по отношению к его нулевому состоянию и определим норму элемента x в пространстве X ||x|| = s(x) = D^1/2(x). В этом  евклидовом пространстве система стратегий выбора определяется матрицей X = [0.500  0.577  0.646; 0.707  0.577  0.408; 0.756  0.534  0.378; 0.738  0.522  0.428]. Здесь каждому выбору стратегии j = 1,  2,  3 отвечает столбец матрицы. Находим амплитуды векторов: ||x₁|| = 0.601,  ||x₂|| = 0.565,  ||x₃|| = 0.566.

Каждому элементу  x  Î X отвечает признак,  который соответствует вектору  подобного направления качественного развития автомобиля.  Признаковая  система  элементов множества X будет формировать матрицу X_o  = [0.832  1.022  1.141; 1.176  1.022  0.722; 1.258  0.946  0.668; 1.229  0.924  0.754]. При качественном подобии любые состояния отличаются только количеством содержания определенного признака.

Для анализа состояния системы введем индикаторные матрицы

L = ((D(x_i)/D(x_j))), l = ((s(x_i)/s(x_j)),  I = ((M(x_i, x_j)/D(x_j))),   J = ((Г(x_i, x_j)/D(x_j))) 

и матрицы  коэффициентов  согласованности и рассогласованности признаков 

r = ((Iⁱ_j/lⁱ_j)),   v = ((Jⁱ_j/lⁱ_j)),V = ((Jⁱ_j/Iⁱ_j)),   q = ((k arctg Vⁱ_j)).

Элементы матрицы детерминации d = (((rⁱ_j)²)) = [   1  0.949  0.840;  0.949  1  0.965;  0.840  0.965  1 ] говорят об очень высокой вероятности обнаружения качества одной стратегии выбора в другой. Матрица угловых оценок в градусном измерении q = [ 0^o   13^o   23.6^o; - 13^o   0^o   10.8^o; - 23.6^o   - 10.8^o    0^o] свидетельствует о том, что сумма угловых характеристик различия между признаками x₁ и  x₂ и  x₂ и x₃ примерно равна угловой оценки отклонения признака x₁ от x₃, т.е. все три признака компланарны, геометрически это отвечает тому, что они лежат в одной плоскости признакового пространства  R³. Действительно, поскольку det L = 0, то эти признаки линейно зависимы и один из них можно представить линейной комбинацией остальных.

Высокая степень качественной близости признаков выделяет данный тип автомобилей в определенный класс, среднеклассовый признак которого можно определить, если искать его в виде линейной комбинации основных признаков этого класса в барицентрических координатах y = aⁱx_i. При определении неизвестных коэффициентов этой линейной комбинации приходим к следующей задаче квадратического программирования

min { f = x^т r x:   r x ³ 1, x ³ 0 },

после решения которой находим a = x /f_min^1/2. Получаем в силу: a¹ = a³ = 0.5, a² = 0 и определяем автомобиль со среднеклассовыми характеристиками x = lⁱx_i, lⁱd_ij = 1, lⁱ ³ 0, l¹ = 0.485, l² = 0, l³ = 0.515.

Получаем усредненные по качеству характеристики автомобиля данного класса: стоимость машины равна 7984 условных единиц, расходы по эксплуатации равны 1108 у. е., расход бензина при езде в городе составит 2523 у.е., в сельской местности - 920 у.е.  Данные характеристики достаточно близки к характеристикам второго автомобиля. По суммарным затратам второй и третий автомобили оказываются выше среднего уровня.

Если провести ранжирование по нечетко выраженным классовым признакам, то приоритеты распределятся следующим образом: x₂ > x > x₃ > x₁. Здесь выше среднего уровня будет только второй автомобиль.