О деформации социально-экономических систем.

К разделам сайта:  Главная страница   Примеры  Теория индексов   Банки   Физика             

Вы можете оставить свой комментарий по этой теме в гостевой книге, которая находится на главной странице.

Перейти к основному разделу данной темы "Оценки на структурах".

Пусть на некоторой схеме градуированного пучка S_*(t), t Î T, со слоя S_k+1 проводится оценка эволюции элемента s Î S_k на временном горизонте и данный элемент характеризуется слоем S Ì S_k+1 мощности n = çSç. Пусть в конфигурационном пространстве  каждый элемент s_i Î S,  i Î N  = {1, ... , n}, описывает траекторию xⁱ = xⁱ(t),  t Î T. Таким образом, элементу s Î S_k в этом конфигурационном пространстве отвечает многомерный процесс x(t) = (xⁱ(t)ç  i Î N).  Для множества возможных состояний элемента введём обозначения X и рассмотрим оператор ортогонального проектирования P_t на X_t : X = U{X_t = P_tX: t  Î T}.

В каждом пространстве X_t введем локальный базис e_i = e_i(t) сопутствующей системы координат и с помощью положительно определенной билинейной формы M(x, y) построим метрический функционал такой, М(e_i, e_j) = g_ij. Билинейная форма на базиснвх векторах определит метрический тензор g, который запишем в ковариантных и контравариантных компонентах: g = g_ij eⁱ e^j  = g^ij e_i e_j.

В процессе эволюции происходит непрерывное преобразование криволинейного базиса и, как следствие, метрического тензора М(e_i’, ej’) = g_i’j’. Оценим возможность перехода в пространстве X_t с траектории a = a(t) на достаточно близкую  траекторию x = x(t) при непрерывном преобразовании Лагранжевых координат x^i’ = x^i’(x¹, ... , xⁿ, t), xⁱ = xⁱ(x^1’, ... , x^n’, t). Этому переходу будет отвечать вектор вариации dx =  dxⁱ e_i, который является функцией координат состояния x. В пространстве X_t’ подобная смена траекторий будет характеризоваться вектором dx' = dx^i’ e_i’, компоненты которого в соответствии с преобразованием криволинейных координат ( в момент времени t' Î T представимы следующей суммой (по индексу i Î N): dx^i’ =  ¶x^i’ / ¶xⁱ dxⁱ.

Оценивая величины этих векторов, найдём D(dx) = g_ijdxⁱdx^j и D(dx') = g_i’j’ ¶x^i’ / ¶xⁱ ¶^j’x / ¶x^j dxⁱ d^jx = g'_ij dxⁱ dx^j. Таким образом, векторы dx и dx' в пространственно-временной структуре T ´ X могут иметь различное направление и длину. Вариация их направлений характеризует скручивание траекторий, или поворот пространства X_t’ по отношению пространства X_t. А разность амплитудных оценок свидетельствует о деформации одной области относительно другой, о структурной внутренней перестройки. Эту деформацию можно определить разностью величин D(dx') - D(dx) = 2 e_ij  dxⁱ dx^j, где выражение e_ij = 1/2(g_i’j’ ¶xi’/ ¶xⁱ ¶xj’/ ¶x^j – g_ij) = (g'_ij – g_ij)/2 будет тензором деформации, который можно представить в виде разложения по базису пространства X_t в ковариантной, контравариантной и смешанной формах, соответственно, e =  e_ij eⁱ e^j = e^ij e_i e_j =  eⁱ_j e_i e^j. Связь их компонент осуществляется метрическим тензором e^ij = g^ik g^lj e_kl , eⁱ_j = g^ik e_kj.

 Из симметричности метрического тензора следует, что тензор деформации симметричен и, если его компоненты равны нулю во всех точках пространства T´X, то области X_t могут быть лишь сдвинуты и повернуты относительно друг друга в этом пространстве. Сами же пространства меняться не будут. Отметим, что компоненты тензора деформации зависят от компонент состояния и параметра t.

 Обозначим T(t) период времени, который прошел с начала отслеживания динамики узла к моменту времени t и X(t) = È{X_t :  t Î T(t)} - информационное поле его динамике за этот период. Если тензор деформации равен нулю в каждой точке множества X(t), то динамика узла не подвергается никакой структурной перестройки. Следует отметить, что xⁱ = xⁱ(t) - это траектория эволюции i-го узла k+1-го уровня. Если элемент  e_ij тензора деформации к некоторому моменту времени становится отличным от нуля, то к этому моменту времени в динамике элементов s_i и s_j слоя S Î S_k+1(s) произошла переоценка пространственных метрических отношений, повлекшая структурные изменения в поведения узла s Î S_k. Если же все компоненты тензора деформации во всех точках пространственно-временной структуры T´X равны нулю, то в сценарии эволюции пространств X_t в каждой сцене X_t расположение точек будет одно и то же. В этом случае траектории узлов имеют одни и те же кривизну и кручение.

 Введём аффинное пространство A(X, U), т.е. вместе с пространством допустимых состояний X будем рассматривать пространство U возможных переходов их из одного состояния в другое на этом пространстве. Пространство U будет присоединенным к X векторным пространством. На некоторой траектории x = x(t) в соответствии и локальным временем t = t' - t в лагранжевых переменных зафиксируем две точки x и x'. Будем иметь

(1)                                                                                       x' = x + u,

где x, x' Î X, u ΠU. Смещение будет функцией тех же лагранжевых переменных u = u(x¹, x², ... , xⁿ, t) Î U. При малых смещениях амплитуда s(u) эквивалентна расстоянию между гиперповерхностями X_t и X_t’.

Продифференцируем (1) по криволинейной координате xⁱ и для криволинейного базиса введем обозначения e_i = ¶x / ¶xⁱ, e_i’ = ¶x / ¶x^i’. Для изменённых базисных векторов получим выражение e_i’¶x^i’ / ¶xⁱ = e _i + ¶u / ¶xⁱ.

В связи с эволюцией элементы на X_t’, находящиеся в узлах i и j, могут быть сдвинуты. Последнее можно оценить по формуле

M(e_i’ ¶x^i’ / ¶xⁱ, e_j’ ¶x^j’ / ¶x^j) = M(e_i + ¶u / ¶xⁱ, e_j +  ¶u / ¶x^j).

 Откуда находим

g'_ij = g_ij + M(e_i, ¶u / ¶x^j) + M(e_j, ¶u / ¶x^j) + M(¶u / ¶xⁱ, ¶u / ¶x^j),

т.е. оценку сдвига определяет тензор деформации

e_ij = 1/2(g'_ij  - g_ij) =  M(e_i, ¶u / ¶x^j) + M(e_j, ¶u / ¶x^j) + M(¶u / ¶xⁱ, ¶u / ¶x^j).

Раскладывая теперь вектор смещения по компонентам локального базиса u = uⁱ e_i и учитывая представление ¶e_i / ¶x^j = Г^k_ij e_k, найдем

¶u / ¶xⁱ = (¶u^k / ¶x^j + Г^k_ij u^j) e_k,

где в скобке стоит ковариантная производная контравариантных компонент вектора смещения

Ñ_ju^k = ¶u^k / ¶x^j + Г^k_ij u^j.

 Теперь тензор деформации можем записать в виде

e_ij  = ½ (g_kj Ñ_i u^k + g_ki  Ñ_j u^k + g_kl Ñ_i u^k Ñ_j u^l).

 Учитывая свойства метрического тензора g_rj Ñ_i u^k =  Ñ_i g_kj u^k = Ñ_i u_j, запишем тензор деформации в виде e_ij = ½ (Ñ_i u_j + Ñ_j u_i + Ñ_i u^k Ñ_j u_k) и введём оператор Гамильтона Ñ = eⁱ Ñ_i, тогда тензор деформации для конечных смещений в ковариантных координатах примет вид

 e  =  ½ ( Ñu + uÑ + uÑ Ñu). 

Если в этом выражении отбросить члены более высокого порядка, то получим выражения тензора деформации для малых смещений

e = ½ (Ñu + uÑ).

Для ортонормированного базиса oⁱ = eⁱ H_i сопутствующей криволинейной системы координат тензоры-слагаемые в правой части e определяются формулами

Ñu = ½ (H_i H_j)(¶(H_iu_i) / ¶x^j – Г^k_ij u_k H_k) oⁱ o^j, Ñu = ½ (H_i H_j)(¶(H_ju_j) / ¶xⁱ – Г^k_ji u_k H_k) oⁱ o^j.

Предположим, что тензор деформации известен и ставится  задача определения вектора смещений состояний. В этом случае речь идет об интегрируемости системы уравнений def u = e, где введено обозначение def u = ½ (Ñu + uÑ + Ñu uÑ).

В силу симметрии тензора деформации e_ij =  e_ji эта система состоит из n(n+1)/2 уравнений относительно n неизвестных, т.е. система уравнений переопределена - число уравнений на n(n-1)/2 больше числа неизвестных. Поэтому задача интегрирования системы  может быть решена только при наложении n(n-1)/2 определенных зависимостей на элементы ее правой части (наложения n(n-1)/2 условий на компоненты тензора деформаций). Это объясняется тем, что каждый элементарный объект s_i  Î S узла s Î S_k развивается по своей траектории xⁱ = xⁱ(t), оставляя на гиперповерхностях X_t свой след в виде пространственных точек. И если меняется расположение следа при переходе из X_t в X_t’ хотя бы для траектории одного узла, то это изменение можно обнаружить только при сопоставлении "картинок" X_t и X_t’ по взаимному расположению на них точек-следов, по изменению расстояний между ними. При этом непрерывно меняется и мировая линия, соответствующая траектории эволюции узла s. Эти условия обеспечивают непрерывное единство существования элементов в схеме как подсистемы единой системы S_*. Они характеризуются кривизной пространства состояний и, посредством ковариантных компонент тензора кривизны с опущенным верхним индексом, записываются в виде R_{i’j’,m’n’} – R_ij,mn  = 0. Эти выражения трактуются как общие условия совместности деформации.

Пересчитаем компоненты тензора деформации и символы Кристоффеля, отвечающие моменту времени t', в сопутствующую систему координат, отвечающую моменту  времени t, обозначив их соответственно  g'_ij и Г'ⁱ_jk . Из условия связности для кривизны получим

R_{i’j’,m’n’} =  ½ (¶²g'_in / ¶^jx^j / ¶x^m +  ¶²g'_jm / ¶xⁱ / ¶xⁿ  -  ¶²g'_im / ¶x^j / ¶xⁿ -  ¶²g'_jn / ¶xⁱ / ¶x^m) + g_rs (Г'^r_jm Г^'s_in – Г^'r_jn Г^'s_im).

С учетом представления для тензора деформации, условиям совместности деформации можно придать вид

 ¶²e_in / ¶x^j / ¶x^m +  ¶²e_jm / ¶xⁱ / ¶xⁿ - ¶²e_im / ¶x^j / ¶xⁿ -  ¶² e_jn / ¶xⁱ / ¶x^m + g_rs (Г'^r_jm Г^'s_in  - Г'^r_jn Г^'s_im) + g_rs (Г^r_jm Г^s_in – Г^r_jn Г^s_im) = 0.

 Для малых деформаций эти условия принимают вид

 ¶²e_in / ¶x^j / ¶x^m +  ¶²e_jm / ¶xⁱ / ¶xⁿ - ¶²e_im / ¶x^j / ¶xⁿ -  ¶² e_jn / ¶xⁱ / ¶x^m   =  0.

По известному тензору деформации можно найти вектор деформации в каждой точке аффинного пространства A(X, U). Предположим, что на траектории x = x(t), tÎT, в момент времени t зафиксирована точка x, в которой определен тензор деформации e. Построим в данной точке касательный t и нормальный n векторы и вектор бинормали b. Вектором деформации будет вектор, который получается действием тензора деформации на вектор нормали в виде линейного оператора e_n =  e n. С другой стороны, вектор деформации удобно представить в виде разложения по данной тройке векторов e_n=  e_nt +  e_nn + e_nb. Отсюда заключаем, что тензор деформации действует на элемент траектории так, что первая составляющая удлиняет его, вторая - изгибает, третья - скручивает. Поскольку последняя составляющая является малой третьего порядка, то ею обычно пренебрегают и для выражения тензора деформации ограничиваются двумя первыми составляющими e_n=  e_nt +  e_nn. В этом случае в матричной форме записи получаем выражения:

 e_nn  =  n^тen,  e_nt = e_n - e_nn = en -  (n^тen)n.

Тензор деформации является самосопряженным оператором и, следовательно, все его собственные значения действительны, а собственные векторы ортогональны. Поэтому всегда можно ввести в рассматриваемом пространстве такой ортогональный базис, в котором координатные оси будут совмещены с собственными векторами тензора деформации.

Предположим, что каждому собственному значению e_i тензора деформации некоторой системы отвечает нормированный вектор e_i - единичный элемент качественного признака. На этой системе признаков построим координатные оси xⁱ в фиксированном локальном моменте времени t и рассмотрим ориентированный единичный объем

dV = de₁Ùde₂Ù .... Ùde_n.

Пусть к моменту времени t' произошли изменения системы. Появились смещения uⁱ = x^i’ - xⁱ в факторах описания состояния системы. При этом, система координат xⁱ перешла в систему координат x^i’. Тогда произошла деформация системы, которая отразилась в деформации элементарного объёма dV:

 dV' = de_1’Ùde_2’Ù .... Ùde_n’.

 Стороны элементарного объема деформировались в соответствии с темпами относительного прироста  e_i каждой его стороны (отвечающей соответствующему фактору)

de_i’ = (1 + e_i)de_i.

Найдём относительное изменение объема

 q = (dV' - dV) / dV = I₁ = div u,

где введены обозначения I₁ для линейного инварианта тензора деформации (след тензора деформации) объёма и дивергенции вектора смещения системы координат div u = ¶u/ ¶x¹ + ¶u / ¶x² + ... + ¶u / ¶xⁿ.

Отсюда заключаем, что преобразование объема является инвариантом преобразования координат. Дальнейшим обобщением будет естественно, имея тензор деформации, построить в окрестности каждой точки поле скоростей и ускорений. Связать их с усилиями, прилагаемыми к системе в соответствующем эквиваленте. Ввести тензор напряжений, под действием которого в организации осуществляются внутренние и внешние эволюционные процессы и получить для описания эволюции системы систему дифференциальных уравнений.