17. Коммутационное соотношение Гейзенберга.
Состояние системы будем рассматривать как событие x, которое описывается вектором наблюдения
(17.1) x = XU
в гильбертовом пространстве, где X – количественный оператор можно полагать прямоугольной матрицей (наблюдаемая), а U – унитарный оператор характеризует качество данного состояния и представим в виде
(17.2) U = exp(- φ),
где показатель степени задаётся величиной
(17.3) φ = iθ(t) / h.
Здесь, очевидно, можно считать, что характеристика θ определяет внутреннее качественное состояние системы в текущий момент времени.
Не нарушая общности, оценку состояния системы относительно её "нулевого" состояния определим дисперсией
(17.4) D(x) = x*x = (XU)*(XU) = U*X*XU = U*AU,
которая будет средней величиной a эрмитова оператора
(17.5) A = X*X.
Положим, что эта оценка является функцией временного фактора. От временного фактора может явно зависеть либо только количественный оператор (17.5) (представление Шредингера), либо только качественный оператор (17.2) (в представлении Гейзенберга), либо и тот и другой, т.е. будем полагать
(17.6) a(t) = D(x).
Определяя скорость изменения оценки (17.6), получаем
(17.7) da / dt = (∂ U / ∂ t)*AU + U*(∂ A / ∂ t)U + U*A(∂ U/ ∂ t).
Если продифференцировать обе части равенства (17.2), то придём к уравнению Шредингера
(17.8) ih (∂U / ∂t) = HU, H = ∂q /∂t ,
которое в нашем случае характеризует скорость качественных изменений.
Оператор H, стоящий в его левой части является оператором Гамильтона. Он характеризует усилие, которое необходимо осуществить для того, чтобы произошли эти качественные изменения. Поскольку параметр θ в полярной системе координат определяет угловую меру структурных сдвигов, то гамильтониан можно записать в виде метризуемой параметром h угловой скорости
(17.9) H = hw.
Уравнение, сопряжённое (17.8), принимает вид
(17.10) ih (∂U* / ∂t) = - U*H.
Умножая равенство (17.8) справа на вектор состояния (17.1), а ему сопряжённое равенство (17.10) слева на сопряжённый вектор текущего состояния и вычитая из первого полученного выражения второе, приходим к равенству
(17.11) ih (U*A(∂U / ∂t) +(∂U* / ∂t)AU ) = U*(AH - HA)U.
А, если полагать количественный оператор независимым явно от времени, то равенство (17.11) можно записать в виде
(17.12) ih ∂(U*AU) / ∂t = U*(AH - HA)U,
или, переходя к оценке (17.6), в виде
(17.13) ih da(t) / dt = U*(AH - HA)U.
Предположим, что фиксированы два собственных вектора гамильтониана U1 и U2, отвечающие собственным значениям E1 = hw1 и E2 = hw2, соответственно, т.е. имеем
(17.14) HU1 = E1U1, HU2 = E2U2,
и найдём оценку состояния x2, которому отвечает вектор x2 = AU2 относительно состояния x1, с соответствующим вектором состояния x1 =U1. Эта оценка в силу соотношения (17.6) определяется метрическим функционалом
(17.15) μ(x2, x1) = x1*x2 = U1AU2.
Для меры (17.15) соотношение (17.13) принимает вид
(17.16) ih d(U1*AU2) / dt = U1*(AH - HA)U2.
И, в случае фиксирования качественных признаков, получим равенство (17.17) U1*(ih dA / dt)U2 = U1*(AH - HA)U2,
из которого вытекает коммутационное соотношение Гейзенберга (17.18) ih dA / dt = AH – HA.
Если оператор A на некотором временном интервале коммутирует с гамильтонианом, то на этом интервале dA / dt = 0 и оператор A является интегралом движения.
(