2.8. Аналитические функции

1. Рассмотрим последовательность

                                                                    S₀, S₁, S₂, … , S_m, ...                                                            (1)

тензоров одинаковой валентности. Как и при изучении «обычных» (числовых) последовательностей, каждой такой последовательности  можно  сопоставить ряд. Действительно, , пусть Т₀ = S₀, T₁ = S₁ — S₀, T₂ = S₂ — S₁ и т. д.; тогда (1) — последовательность «частичных сумм» (отрезков) ряда Т₀ + Т₁ + + Т₂ +... . Обратно, каждому ряду T₀ + T₁ + T₂ + … из данных тензоров одинаковой валентности можно сопоставить последовательность (1), полагая S_m = å{Т_k: k = 0, 1, 2, …, m}. В результате вопрос о сумме ряда сводится к вопросу о пределе этой последовательности.

Пусть, например, (1) состоит из двухвалентных тензоров.  Тогда с фиксированием базиса для E и, следовательно, для E Ä E имеем S_m = _ms^ije_ie_j. Естественно считать, что последовательность (1) сходится, когда сходится каждая из последовательностей ₁s^ij, ₂s^ij, ₃s^ij, ... , образуемых компонентами тензоров (1). Тензор S = s^ije_ie_j с компонентами s^ij = lim {_ms^{i j} : m à ¥}  при этом называется пределом последовательности (1). С помощью известных предложений о пределах суммы и произведения на число сходящихся числовых последовательностей нетрудно показать, что будучи сходящейся в каком-либо базисе e₁, e₂, e₃ Î E последовательность (1) сходится и в любом другом базисе, причем к одному и тому же предельному тензору S, который, таким образом, от выбора базиса не зависит. Но при таком «покомпонентном» определении предела последовательности (1) некоторые важные вопросы остаются в стороне. Более общий подход опирается на понятия нормы.

Напомним, что нормой (длиной) вектора х Î E называется число |х| = (х × х)^1/2. Из этого определения и свойств метрической формы пространства E (которое по условию собственно евклидово) вытекает, что 1) |х| ³ 0, причем | х | = 0 <=> х = 0, 2) |cx| = |c||x|, 3) |x + y| £ |x| + |y| («неравенство треуголь­ника»). Аналогично, нормой векторов пространства E Ä E— двухвалентных тензоров над E — называются значения отображения Т -> |Т|, Т Î E Ä E в R (поле скаляров), для которого 1) |Т|>0 и |T| = 0 <=> T = 0, 2) |cT| = |c||T|, 3) |T_u + T_v| £ |T_u| + |T| и, кроме того, 4) |Т_u × Т_v| £ |Т_u| |Т_v| при любых Т, Т_u, Т_v Î E Ä E (дополнительное по сравнению с имевшими место в предыдущем случае условие 4) обеспечивает непре­рывность композиции Т_u, T_v -> T_u × T_w в топологии, которую порождает норма на E Ä E.

В соответствии с изложенным в п. 2 2.6 для каждого Т Î E Ä E скалярный инвариант sp (T × T*) = tⁱ_jt^j_i — неотрицательное число, причем sp (T × T*) = 0 <-->Т = 0. Можно показать, что при |T| º (sp (T × T*))^1/2 вместе с первым выполняются и все остальные из перечисленных выше условий 1) —4). Таким же образом обстоит дело и при отождествлении | Т | с | l_м |, где l_м — максимальное по модулю из собственных чисел тензора Т.

Последовательность (1) называется сходящейся, если существует такой тензор S Î E Ä E, что lim|S_m — S|=0 при m ® ¥. Если последовательность (1) сходится в смысле этого определения, то она сходится и покомпонентно, равно как и наоборот.

Выше мы считали, что (1) состоит из двухвалентных тензоров. Но с очевидными изменениями все это остается в силе и для последовательности из тензоров любой данной валентности.

2. Пусть теперь С₀, С₁, С₂, ... —какие-либо тензоры валентности .соответственно 2, 4, 6 и т. д. С заданием такой бесконечной системы тензоров над E каждому Т Î E Ä E можно сопоставить ряд

                                                             С₀ + С₁:Т + С₂:Т):Т + С₃:Т):Т):Т + .. .                                        (2)

(двоеточие здесь обозначает двухкратное „свертывание"; так

C₁ : T = (c^ijkle_ie_je_ke_l) : (t_pqe^pe^q) = c^ijklpq(e_ie_je_ke_l × e^p) × e^q = c^ijklt_lke_ie_j,

аналогично C₂:T):T = c^ijkle_ie_je_ke_l и т. д.). По определению ряд (2) сходится, если сходится последовательность С₀, С₀ + С₁ : Т, Со + С₁ : T + C₂ : Т): Т, ... , образуемая отрезками ряда. Пусть F(T)—сумма ряда, т. е. предел этой последовательности, и W Ì E Ä E — подмножество, образуемое всеми такими Т Î E Ä E, при которых этот предел существует. Иными словами, W — область сходимости ряда (2). Очевидно, что W всегда не пустое множество, ибо (2) заведомо сходится при Т = 0. Тем самым с заданием ряда (2) определяется тензорная функция — отображение по правилу

                                   F: T -> F(T) = С₀ + С₁:Т + С₂:Т):Т + С₃:Т):Т):Т + .. .,  T Î W,                (3)  

некоторого подмножества W Ì E Ä E в E Ä E. Свойства этой функции во многом аналогичны свойствам обычных (скалярных) аналитических функций. Факты же, в которых проявляется специфически тензорная природа аргумента и значений отображения (3), связаны с понятием группы симметрии.

Как уже упоминалось (п.1), норма на E Ä E допускает различные конкретизации. Но в любом случае значения нормы |Т| — некоторый скалярный инвариант тензоров T Î E Ä E. В соответствии с доказанным в п.1 2.7 это означает, что при А Î О(E) преобразование А²: Т -> А²(Т) = А* × Т × А всегда сохраняет норму: |А* × Т × А| = |Т| для каждого Т Î E Ä E и А Î О(E). Отсюда следует, что при любом Т Î W и любом А Î О(E) вместе с (2) сходится и ряд А* × С₀ × А + A* ×  (C₁ : Т) × А + ... . Сумма этого ряда есть образ A²(F(Т)) = A* × F(T)  × A суммы F(T) исходного ряда при автоморфизме А² пространства E Ä E, т. е.

                                   A* × F(T)  × A = A* × C₀ × A + A* × (C₁ : T)  × A + . . .  .                                    (4)

Пусть G₀, G₁, G₂, ... — группы симметрии тензоров соответственно С₀, C₁, С₂, ... . В соответствии с определениями п. 2 2.7 A Î G₀ <=> A²(C₀) = A* × C₀ × A = C₀. Нетрудно видеть также, что A Î G₁ <=> A* × (C₁ : T)  × A = C₁ :(А* × Т × А) при любом T Î E Ä E, A Î G₂ <=> A* × (C₂ : T) : T)  × A = C₂ : (A* × T × A) : (A* × T × A) и т. д. Поэтому всегда, когда A Î G₀ ⋂ G₁ ⋂ G₂ ⋂ . . .  для каждого Т Î E, вместе с (2) и (4) сходится и ряд, получающийся заменой Т в (2) тензором А* × Т × А, причем F (А* × Т × А) = = A* × F(T) × A. С определенной оговоркой справедливо и обратное, а именно если для некоторого А Î О(E) из T Î W всегда вытекает А* × Т × А Î W и F(A* × T × A) = A* × F(T)  × A, то необходимо A Î G₀ ⋂ G₁ ⋂ G₂ ⋂ . . . = ∩{G_m: m = 0, 1, . . . , ¥}. Отсюда видно, во-первых, что группу симметрии функции (3) можно определить непосредственно по образцу определений п.3 2.7:

                            A Î G_F, A Î O(E),  F(A* × T × -A) = A* × F(T)  × A,  " T Î E Ä E.                        (5)

и, кроме того, что это равносильно определению, по которому

G_F = G₀ ⋂ G₁ ⋂ G₂ ⋂ . . . = ∩{G_m: m = 0, 1, . . . , ¥}.

3. Когда последовательность С₀, С₁ С₂, ... состоит из произвольных данных тензоров (валентности 2, 4, 6 и т. д.), ото­бражение, которое описанным образом определяется с помощью ряда (2), т. е. действует по правилу (3), — общего вида отображение из E Ä E в E Ä E, аналитическое в некоторой окрест­ности нулевого элемента этого пространства. Термин „анали­тическое отображение" здесь вполне оправдывается, например, уже тем, что, как вытекает из (3), компоненты тензора F(T) Î E Ä E в любом базисе суть аналитические функции компонент тензора-аргумента в том же базисе для E Ä E. В соответствии с (6), с другой стороны, группой симметрии этой тензорной функции может служить любая из подгрупп полной ортогональной групп, представляющих группы симметрии тензоров четной валентности.

Однако обычно название „аналитическая" (тензорная функция), по крайней мере для функций интересующего нас сейчас вида (с аргументом и значениями — двухвалентными тензорами над E), употребляется в существенно более узком смысле. Именно, допустим, что (3)—изотропная функция, т. е. G_F = O(E). Тогда и только тогда, как вытекает из (6), изотропными должны быть и все тензоры С₀, С₁, С₂, ... —„коэффициенты" ряда (3). На основании доказанного в п. 4 2.7 это означает в свою очередь, что С₀, C₁, C₂, ... в данном случае представляются линейными комбинациями изомеров тензоров соответственно I, II, III (= I Ä I Ä I) и т. д. В частности, для любого целого m ³ 0 возьмем в качестве С_m тот изомер тензора с_m II. .. I (m – раз), для которого

                       C_m : T) : T) : . . . ) : T = c_m T × T × . . . × T, T Î E Ä E,c_m Î R                                    (7)

(несложно проверить, что такой изомер существует при любом m ³ 0). С так выбранными  „коэффициентами” C_m  ряд в (3) записывается согласно (7) в виде

                                            А(Е) = с₀I + с₁T + с₂T × T + . . . ,                                                        (8)

где с₀, с₁, с₂, ... Î R.

4. Пусть z Î С — произвольное комплексное число. Как и в 2.5, ряду (8) естественно сопоставить скалярный степенной ряд

                                                      F(z) = c₀ + c₁z + c₂z²  _{. . .  .}                                                                                   (8’)

Произвольному Т Î E Ä E при этом сопоставляется произвольное z Î С, а тензору I — число 1. Наоборот, каждому ряду (8') можно поставить в соответствие определенный степенной ряд с членами из E Ä E, а именно ряд (8), заменяя скалярные степени z^m тензорами Т × Т ×  ...  × Т. При том же „законе сопоставления" ряду

                                                  c₀ + c₁(z – b) + c₂(z – b)² + . . .                                                 (9)

соответствует ряд

                                                         c₀I + c₁(T – bI) + c₂(T – bI)  ×  (T – bI) + . . .  .                                (9’)

Целесообразность такого сопоставления степенных рядов на комплексной плоскости и рядов с членами из E Ä E определяется в первую очередь тем обстоятельством, что хорошо изученные факты о сходимости ряда (9) позволяют сделать некоторые выводы и о сходимости соответствующего тензорного ряда. Основной из этих выводов состоит в следующем: ряд (9) сходится при | Т — bI | < r и расходится при | Т — bI | > r, где r — радиус круга сходимости ряда (9). Если воспользоваться одной из указанных в п. 1 конкретных норм в E Ä E, а именно |Т| = |l_М|, то это же самое можно сформулировать и так: ряд (9') сходится при каждом Т Î E Ä E, характеристические числа которого лежат внутри круга сходимости ряда (9), и расходится для таких Т Î E Ä E, хотя бы одно из характеристических чисел каждого из которых лежит вне этого круга. Для случая | Т — bI | = r ответ также зависит от свойств ряда (9); когда последний сходится (расходится) на границе круга \ z — b | £ r, соответственно при | Т — bI | = r сходится (расходится) и ряд (9').

Изучение тензорных степенных рядов в свою очередь связано с тем, что по аналогии с ситуацией в классическом анализе с помощью таких рядов определяется некоторый класс „элементарных" тензорных функций (отображений E Ä E в E Ä E).

Напомним, например, что по определению экспоненциальной функции z ® е^z

                             e^z = 1 + z + z²/2! + z³/3! + ... = l + å{z^m/m!: m = 1, 2, . . . , ¥}.                      (10)

Этот ряд сходится при любом конечном значении z Î C, т. е. е^z представляет собой „целую функцию". Целой функцией является и

                 a^z = 1 + (ln a) z + (ln a)² z² / 2! + (ln a)³z³ / 3! + . . .  = 1 + å{(ln a)^m z^m / m! .           (11)

Для функций ln z, (1 + z)^a

         ln z = z – 1 – (z – 1)² / 2 + (z – 1)³ / 3 - . . . = å{(-1)^m-1 (z – 1)^m / m :  m = 1, 2, . . . , ¥},   (12) 

                   (1 + z)^a = 1 + az + a (a - 1)z² / 2! + a (a -1) (a - 2) z³ / 3! + . . . ,                          (13)

причем, с некоторыми оговорками относительно значений z на границе круга сходимости, в первом случае |z — 1| < 1, во втором (при a > 0 и не целом) |zj < 1. В соответствии с этим „элементарные" тензорные функции е^T, а^T, ln Т, =(I + T)^a определяются следующим образом:

                                       e^T = I + T + ½! T × T + 1/3! T × T × T + . . . ,                                         (10’)

                              a^T = I + (ln a) T + (ln a)² T × T / 2! + (ln a)³ T × T × T / 3! + . . . ,                   (11’)

                         ln T = T – I – (T – I)  × (T – I) / 2 + (T – I)  × (T – I)  × (T – I) / 3 - . . . ,                (12’)

                              (I + T)^a = I + aT + a (a - 1) T × T / 2! + a (a - 1) (a - 2) T × T × T / 3! + . . . ,             (13’)

причем, в соответствии с изложенным выше критерием сходимости тензорных рядов, функции е^T и а^T определены своими рядами для любого Т Î E Ä E, функция In T — для | Т — I | < 1, а функция (I + T)^a для |Т| < 1 (при не целом a > 0).

Существенно, что все эти функции — изотропные отображения E Ä E (или некоторого W Ì E Ä E) в E Ä E. Целесообразность такого определения основных тензорных функций связана с тем, что им при этом оказываются присущими многие (хотя и не все) свойства соответствующих функций числового -аргумента.

Так, для е^T имеем

                                                                   e^T × е^-T = I

и вообще для любых таких Т₁,  Т₂ Î E Ä E, для которых T₁ × T₂ ¹ T₂ × T₁, будет

                                                                     e^T(1)  × e^T(2) = e^{T(1) + T(2)}

Функции е^T и ln T — взаимно обратные, т. е. ln e^T = T, e^lnT=T и т. д. Функция е^T, как будет видно далее (см. п. 6 ниже), позволяет связать ортогональные и кососимметрические тен­зоры.

5. Пусть P_s: T ® P_s(T) — „полиномиальное" изотропное отображение E Ä E в E Ä E, т. е.

                                         P_s(T) = c₀ I + c₁ T + c₂ T × T + . . . + c_s T × T × . . . × T.                        (14)

С помощью формулы Гамильтона—Кэли (2.3) каждая степень Т × Т ×... × Т при   целом m ³ 3 выражается через   Т × Т, Т, I, и потому многочлен (14) при любом целом s сводится к многочлену, содержащему степени Т × Т ×...  × Т не выше второй (и со скалярными коэффициентами, которые суть функции характеристических чисел или, что то же самое, — полной системы скалярных инвариантов тензора-аргумента Т). Но ряды (10')— (13') также содержат такие степени тензора-аргумента Т (или Т — bI), что дает основание думать, что и они в области сходимости сводятся к конечному тензорному полиному упомянутого типа. Однако, благодаря наличию в правых частях (10')—(13') как угодно больших степеней, проверить это с помощью непосредственно формулы Гамильтона—Кэли затруднительно. Более удобный путь — использование так называемой формулы Лагранжа—Сильвестра, которая одновременно доставляет и более общий, чем степенные ряды, алгоритм сопоставления функциям z ® f(z) тензорных функций.

Пусть z -> f{z) — произвольная комплекснозначная функция комплексного аргумента. Этой функции и каждому тензору Т из некоторого подмножества W_f Ì E Ä E сопоставим полином q(z) такой, что

                                                         q(l_k) = f(l_k),  k = 1, 2, 3,                                                    (15)

(где по-прежнему l₁, l₂, lз — собственные числа тензора T Î W_f). Условимся, что при l₁ ¹ l₂ ¹ lз ¹l₁ этот полином квадратичный: q(z) = b_o + b₁z + b₂z², для каждого Т, для которого два из чисел l₁, l₂, lз совпадают (но не равны третьему) будем брать q(z) = b₀ + b₁z и, наконец, при l₁ = l₂ = lз q(z) = b₀. Иными словами, сопоставляя данной f(z) и каждому T Î W_f полином q(z) = b₀ + b₁ z + b₂ z², удовлетворяющий (15), для осесимметричного Т (с двумя совпадающими собственными числами) считаем b₂ = 0, а для шарового Т — b₂ = b₁ = 0. При этом q(z) для каждого T Î W_f определяется из (15) единственным обра­зом.

Пусть р(z) — минимальный многочлен тензора T Î W_f (2.5). Очевидно, что с приближением z к каждой из точек l₁, l₂, lз комплексной плоскости С числитель и знаменатель отношения

                                                                     (f(z) – q(z) / p(z)                                                                (16)

стремятся к нулю. Будем считать, что при z -> l_k для каждого k = 1, 2, 3 это отношение остается ограниченным (это условие, например, выполняется, когда f(z) в каждой из точек l₁, l₂, lз — регулярная функция). Тогда

                                                        f(z) = q(z) + p(z) w(z)                                                       (17)

где |w(z)| < ¥ при z = l₁, l₂, lз. Так как p(Т) = 0, формальная замена скалярного аргумента z в (17) тензорным Т приводит к определению тензорной функции f: Т à f(Т) Î E Ä E, соответствующей скалярной функции f: z à f(z), причем

                                                              f(T) = q(T) = b₀ + b₁T + b₂T × T.                                              (18)

Условие ограниченности отношения (16) при z ®l_k фактически характеризует „область определения" W_f функции f(Т): для каждой данной f{z) и данного Т Î E Ä E (16) — вполне определенная функция от z и, перебирая различные Т Î E Ä E, можно определить подмножество W_f Ì E Ä E, на котором выполняется упомянутое условие ограниченности отношения (16).

Полином g(z), удовлетворяющий условиям (15), есть полином Лагранжа, который для рассмотренных выше случаев имеет вид:

a) q(z) = [(z - l₂)(z - l₃) / (l₁ - l₂)( l₁ - l₃) ] f(l₁) + [(z - l₃)(z - l₁) / (l₂ - l₃)( l₂ - l₁) ] f(l₂) +

            + [(z - l₁)(z - l₂) / (l₃ - l₁)( l₃ - l₂) ] f(l₃)   при  l₁ ¹ l₂ ¹ lз;

б) q(z) = [(z - l₂) / (l₁ - l₂)] f(l₁) + [(z - l₁) / (l₂ - l₁)] f(l₂)    при  l₂ = l₃ ¹ l₁;

в) q(z) = const = f(l₁) (при l₁=l₂ = l₃),

откуда и из определения (18)

f(T) = q(z) = [(T - l₂I) × (T - l₃I) / (l₁ - l₂)( l₁ - l₃) ] f(l₁) + [(T - l₃I)  ×  (T - l₁I) / (l₂ - l₃)( l₂ - l₁) ] f(l₂) +

     + [(T - l₁I)  ×  (T - l₂I) / (l₃ - l₁)( l₃ - l₂) ] f(l₃)   при  l₁ ¹ l₂ ¹ lз;                                         (19)

и соответственно для случаев б) и в).

Запишем (19) в виде

 F(t) = - 1 / [(l₁ - l₂)( l₂ - l₃) ( l₃ - l1₃) {[l₂l₃f(l₁)(l₂ - l₃) + l₃l₁f(l₂)(l₃ - l₁) + l₁l₂f(l₃)(l₁ - l₂)] I –

[f(l₁)( l₂² + l₃²) + f(l₂)( l₃² + l₁²) f(l₃)( l₁² + l₂²)] T +

[f(l₁)( l₂ - l₃) + f(l₂)( l₃ - l₁) + f(l₃)( l₁ - l₂)] T × T}                                                            (19’)   

и обозначим a = l₃ — l₂, так что l₃ = l₂ + a. Внося это выражение в (19') и переходя к пределу при a -> 0, получим

f(T) = 1/(l₁ - l₂)² {[l₂²f(l₁) - l₁l₂(l₁ - l₂)f’(l₂) – (2l₁l₂ - l₁²)f(l₂)] I –

[2l₂(f(l₁) – f(l₂) – (l₁² - l₂²)f’(l₂)] T –

[f’(l₂)( l₁ - l₂) + f’(l₂) – f(l₁)] T × T}.                                                                          (20)

Но при l₂ = l₃, как нетрудно проверить, справедливы выражения

l₁ = 1/3 J₁ ± 2 (1/9 J₁² – 1/3 J₂)^1/2,

l₂ = l₃ = 1/3 J₁ ± (1/9 J₁² – 1/3 J₂)^1/2,

откуда

                                                J₁ = l₁ + 2l₂,  (J₁² – 3 J₂)^1/2 = ±(l₁ - l₂).

 С учетом  этого из (1) 2.5 и (20) получаем

                                                f(T) = [(T - l₂I)f(l₁) – (T - l₁I)f(l₂)],                                                         (21)

т. е. путем указанного предельного перехода из (19) для случая l₂ = l₃ получается точно такое же выражение, как и из определения (18) при выборе соответствующего (случай б)) полинома q(z). Необходимо, однако, чтобы в точке z = l₂ = l₃ выполнялось условие \f{z)\ < ¥, иначе выражение (20) теряет смысл. Аналогичным образом обстоит дело и в случае l₁ = l₂ = l₃; здесь (случай в)) f(Т) = f(l₁)I, с другой стороны, это же выражение для f(Т) получается предельным переходом из (19) (или (19')) лишь если существуют и ограничены f’(l₁) и f’’(l₁). Это означает, что непрерывность тензорной функции f(Т) (эквивалентная, как легко видеть, непрерывности функции f(z)) недостаточна для непрерывности коэффициентов b₀, b₁, b₂ в „трехчленном" представлении (18) функии f(Т). Точнее, коэффициенты b₀, b₁, b₂ — непрерывные функции полной системы  скалярных  инвариантов тензора аргумента Т тогда и только тогда, когда тензорная функция f(Т) дважды   дифференцируема (или, что то же  самое, когда дважды дифференцируема соответствующая скалярная функция f(z)).

В заключение этого пункта подчеркнем еще раз, что изложенным выше способом (определение (18)) функциям f(z) ставятся в соответствие изотропные отображения подмножеств множества E Ä E в E Ä E.

6. Вернемся к изучению, экспоненциальной тензорной функции (п. 4): T -> e^T, T Î E Ä E. Пусть S(E) Ì E Ä E - множество кососимметричных двухвалентных тензоров над E: T Î S(E) <=> T* = — T; O’(E), O’’(E) Ì O(E) — множества всех ортогональных преобразований пространства E соответственно первого и второго рода (п. 3, 2.6).

Покажем, что тензорная функция е^T взаимно однозначно отображает множества S(E) и О'(E) (или S(E) и О"(E)) друг на друга.

Действительно, если Т Î S(E), то Т* = — Т и для тензора A = е^T имеем А* = (е^T)* = е-T =  (е^T)^-1 = A^-1,  т. е. A* = А^-1, откуда ((1) 2.6) А Î О(E). Но раз Т кососимметричен, то его собственные числа суть 0, ij, -ij,  где j² = J₂ (п.2, 2.4). С учетом этого из формулы Лагранжа (19) получаем

                                     A = e^T = I + sin j / j  T + (1 – cos j) / j² T × T,                                      (22)

причем собственные числа тензора А, согласно (15), суть 1, e^ij, e^-ij и тем самым A = е^T — ортогональное преобразование первого рода (п. 4, 2.6). Так как А × А = е^2Т, из (22) получаем

                                                A × A = I + (sin 2j / j) T + [(1 – cos 2j) / j²] T × T.                                 

Исключая с помощью этого уравнения Т×Т из (22) и разрешая полученное уравнение относительно Т, приходим к выражению

                                 T = -(j / 2sin j)[(1 + 2cos j) I - 2(1 + cos j) A + A × A]                            (23)

для функции, обратной к экспоненциальной (22), т. е. к выражению для логарифма Т = ln А (ортогонального преобразования первого рода: A Î О'(E); разумеется, (23) можно получить из формулы Лагранжа (19) точно так же, как и (22)). Осталось лишь проверить, что тензор Т, определенный равенством (23), кососимметричен, если А Î О'(E). Для этого воспользуемся диадным представлением (5) 2.6 тензоров A Î O'(E):  А = аа + (bb + cc) cos j + (bc — cb) sin j, где, напомним, а — собственный вектор тензора А, соответствующий собственному значению +1, и векторы а, b, с образуют ортонормированный базис пространства E. Подставляя указанное диадное представление в (23), получаем, что T = j (cb — bc) и поэтому T* = j (bc — cb) = -T, т. е. Т Î S(E).

Таким образом, Т -> А = е^T, Т Î S(E) есть отображение множества S(E) на О'(E), а А ->Т.= lnА, А Î О(E) —обратное этому отображение О(E) на S(E). Поскольку каждый тензор A Î O"(E) представим в виде А = — I ×А₁ = — А₁, A₁ Î О'(E£) (п. 3, 2.6), очевидно, что Т -> -е^T, Т Î S(E) —(взаимно однозначное) отображение множества S(E) на О"(E).