2.7. Группа симметрии тензора и тензорной функции

1. Пусть А — по-прежнему некоторый элемент подмножества О(E) Ì L(E) Ì E Ä E, так что А: х à х × А, х Î E, — ортогональное преобразование пространства E. С каждым A Î O(E) можно связать аналогичное по своим свойствам преобразование и любого другого из пространств E, E Ä E, , E Ä E Ä E, ..., образуемых тензорами над E различной валентности.

Действительно, с заданием А определены и тензоры AA (= A Ä A), AAA (= A Ä A Ä A) и т. д.,—тензорные степени данного А. Так как А — двухвалентный тензор и, в отличие от умножения, которое мы обозначаем точкой, при тензорном умножении валентность произведения всегда есть сумма валентностей сомножителей, s-я степень A^s = ААА ... А — тензор валентности 2s. Поэтому в точности на тех же основаниях, которые позволяют отождествить с А линейное преобразование пространства E, с A^s можно отождествить линейное преобразование пространства E Ä E Ä . . . Ä E. Принцип этого отождествления проиллюстрируем, воспользовавшись каким-либо базисом е₁ е₂, е₃ для E. Тогда x = xⁱe_i, x × A = xⁱe_i × A и

                                                        A: x = xⁱe_i -> хⁱе_i × А,   х Î E.                                                (1)

Аналогично,

                                                              А²: Т = t^ijе_iе_j ®t^ijе_i × Ае_j × А,  T Î E Ä E,

                                                          А³: T = t^ijke_ie_je_k ® t^ijke_i × Ae_j × Ae_k × A,  T Î E Ä E Ä E                  

и т. д. Вообще

                                                                А^s:  T = A^s(T),  T Î E Ä E Ä . . . Ä E                                      (2)

и, с фиксированием любого базиса e₁, e₂, e₃ Î E,

                                     А^s(Т) = А^s(t^{i(1)i(2)…i(s)}e_i(1)e_i(2) … e_i(s)) = t^{i(1)i(2)…i(s)}э_i(1)э_i(2) . . . э_i(p) = e_i(p) × A..           (2’) 

В соответствии с этим отображение (2) вполне определяется тензором А, а вследствие невырожденности последнего является обратимым линейным отображением множества Ä{E: i = 1, 2, .., s} на это же множество: обратное отображение точно также определяется тензором А^-1 (удовлетворяющим условию А × А^-1 = A^-1 × A = I, п. 1, 2.6). При s = 1 отображение (2) сводится к (1), которое, подчеркнем, при А Î О(E) представляет собой ортогональное преобразование пространства E, т. е. сохраняет «скалярные инварианты» — скалярные произведения и длины векторов из E. Но когда А Î О(E), отображение (2) обладает аналогичным свойством и при любом целом s ³ 1.

Так, в соответствии с изложенным в 2.3, каждому Т Î E Ä E, т. е. двухвалентному тензору над E, можно сопоставить систему из трех, зависящих от Т и только от Т, чисел («скалярных инвариантов» данного Т), а именно sp T, sp (T × T), sp (T × T × T). По определению композиции sp ( ) (п. 3, 2.1) sp T = sp (t^ije_ie_j) = t^ije_i × e_j. С другой стороны, согласно (2) и (2') А²(Т) = t^ijэ_iэ_j, где э_i = e_i × A и,   следовательно,  sp A²(T) = t^ijэ_iэ_j = t^ij(e_i ×A) × (e_j × A) = t^ije_i × A × A × e_j. Поскольку по определению (1) 2.6 подмножества О(E) Ì E Ä E, A ×  A = I, отсюда  sp А²(Т) = t^ije_i × I × e_j = sp T. Это справедливо для любого Т Î E Ä E и потому отсюда же sp A²(T × T) = sp (T × T), sp A²(T × T × T)= sp (T × T × T). Таким образом, в случае s = 2 отображение (2) при А Î О(E) — такое (линейное и обратимое) преобразование пространства E Ä E, при котором каждый Т Î E Ä E преобразуется в тензор с теми же, что и для его прообраза, значениями скалярных инвариантов.

Полная система скалярных инвариантов трехвалентного тензора над E состоит из девяти чисел, четырехвалентного — из двадцати семи и т. д., но все остальное остается в силе и здесь. Иными словами, при А Î О(E) отображение (2), удовлетворяющее условию (2'), всегда представляет собой автоморфизм соответствующего из пространств E, E Ä E, E Ä E Ä E,..., который вместе с линейными композициями «сохраняет» все скалярные инварианты тензоров.

2. Пусть теперь. Т — какой-либо фиксированный s-валентный тензор и G_T Ì О (E) — такое подмножество, что

                                                     A Î O(E) ó A^s(T) = T.                                                              (3)

Другими словами, это подмножество состоит из таких А Î О(E) Ì E Ä E, при определяемых которыми согласно (2) и (2') преобразованиях пространства E Ä E Ä . . .  Ä E данный его элемент Т не изменяется. Напомним, что в совокупности с умножением по закону А_j, А_w -> А_j × А_w, множество О(E) образует группу, канонически изоморфную группе всех ортогональных преобразований пространства E (п. 3, 4 2.6). Для любого тензора Т над E подмножеству Gт Ì О(E) соответствует подгруппа этой группы, называемая группой симметрии данного Т. Тензор Т называется изотропным, если G_t = O(E).

Как вытекает из (2'), с заданием любого базиса е₁ е₂, е₃ Î E и, следовательно, разложения Т = t^{i(1)i(2) . . . i(s)}е_i(1)е_i(2) .. .e_i(s) равен­ство, фигурирующее в (3), равносильно равенству

                                                           t^{i(1)i(2) . . . i(s)}е_i(1) × Aе_i(2)  × A .. .e_i(s)  × A                                                (4)

Воспользовавшись одним из разложений (двухвалентного) тензора А по «смешанным» диадам: A = A^j_ke^ke_j имеем е_i × A = e_i  × A^j_ke^ke_j = A^j_ie_j (поскольку e_ie^j = d^j_i по определению сопряженного базиса). Поэтому (4) в свою очередь сводится к равенствам

                    t^{j(1)j(2) . . . j(s)}Aⁱ⁽¹⁾_j(1)Aⁱ⁽²⁾_j(2) . . . A^i(s)_j(s) = t^{i(1)i(2) . . . i(s)},   i(1), . . . , i(s), j(1), . . . , j(s) = 1, 2, 3.        (5)

Так как для каждого А Î О(E) и каждого базиса е₁, е₂, е₃ Î E векторы е₁  × А, е₂  × А, е₃  × А также образуют базис для E, при желании вместо преобразования тензоров по правилу (2') можно рассматривать соответствующие (порождаемые преобразованиями э_i = е_i  × А) преобразования их компонент. С этой точки зрения равенства (5) означают, что преобразование э_i = е_i  × А не изменяет компонент данного Т. Действительно, из Т = t^{i(1)i(2) . . .i(s)}e_i(1)e_i(2) . . . e_i(s) = t^{i(1)i(2) . . .i(s)}э_i(1)э_i(2) . . . э_i(s) при э_i = e_i × А = А^j_iе_j – имеем t^{i(1)i(2) . . . i(s)} = t^{j(1)j(2) . . . j(s)}Aⁱ⁽¹⁾_j(1)Aⁱ⁽²⁾_j(2) . . . A^i(s)_j(s), откуда и из (5) t^{i(1)i(2) . . . i(s)} = t^{i(1)i(2)…i(s)}.

Заметим, что это справедливо при любом выборе исходного базиса е₁ е₂, ез Î E. Кроме того, из А Î О(E) следует, что в силу (5) совпадают не только контравариантные, но и ковариантные и любого рода «смешанные» компоненты данного Т в базисах, преобразующихся друг в друга с помощью тензора А. В самом деле, по определению сопряженного тензора (п. 4, 2.1) при А = A^j_ieⁱe_j будет А*=А^j_iе_jеⁱ, поэтому А × А* = A^j_iA^k_lg_jkeⁱe^l, А* × А = A^j_iA^k_lg^ilе_jе_k (где по-прежнему g_ij = еi × е_j, g^ij = eⁱe^j – компоненты тензора I) и равенства A ×A* = A* ×A = I эквивалентны равенствам A^j_iA^k_lg_ik = g_ik, A^j_iA^k_lg^il = g^jk. С учетом этих равенств и того факта, что «поднятие и опускание индексов» осуществляется с помощью компонент метрического тензора (1.10.1) немедленно получается, что вместе с (5) справедливы равенства

     t_{i(1)i(2)…i(s)}Аⁱ⁽¹⁾_j(1)Aⁱ⁽²⁾_j(2). . . A^i(s)_j(s) t_{j(1)j(2)…j(s)},     tⁱ⁽¹⁾_{i(2)i(3)…i(s)}A^j(1)_i(1)Aⁱ⁽²⁾_j(2). . . A^i(s)_j(s) = t^j(1)_{j(2)j(3)…j(s)}  

и т. д.

Таким образом, определение (3) группы симметрии тензора можно сформулировать также так: A Î G_t тогда и только тогда, когда А Î O(E) и при преобразованиях базисов, порождаемых тензором А, компоненты тензора Т не изменяются. Подчеркнем существенную роль условия А Î O(E), равносильного согласно (1) п.2.6 равенствам А × А* = А* × А = I,- которые, как только что мы видели, обеспечивают равноправие компонент различного «строения» при использовании этого определения группы G_T.

3. Естественным образом определяется и понятие группы симметрии тензорной функции. Рассмотрим, например, какую-либо функцию Ф на E Ä E, отображающую это пространство в E Ä E  Ä E, т. е.      .

                                                 Ф: Т --> Ф(Т),    T Î E Ä E,                                                       (6)

и для каждого Т Î E Ä E — двухвалентного тензора — значение Ф(Т) этой функции есть трехвалентный тензор над E. Любой А Î О(E) порождает по формулам вида (2), (2') автоморфизм и каждого из пространств E Ä E, E Ä E Ä E. Пара Т, Ф(Т) — элемент графика функции Ф — преобразуется при этом в пару А²(Т), А³(Ф(Т)). Но по закону (6) А²(Т) à Ф(А²(Т)), и потому пара А²(Т), А³(Ф(Т)) также будет элементом графика функции Ф лишь при условии, что А³(Ф(Т)) = Ф(А²(Т)). Соответственно для того чтобы функция Ф совсем не «чувствовала» рассматриваемых преобразований области определения и области значений, необходимо и достаточно, чтобы это условие выполнялось для каждого значения аргумента:

 Ф(А²(Т)) = А³(Ф(Т)),     T Î E Ä E.

Подмножество G_ф Î О(E), состоящее из всех таких А Î О(E), для которых выполняется (7), снова представляет собой подгруппу группы О(E), которая и называется группой симметрии функции Ф. Если G_Ф = O(E), т. е. с точностью до канонического изоморфизма группа симметрии данной Ф совпадает с полной ортогональной группой, то Ф называется изотропной тензорной функцией.

Эти определения очевидным образом переносятся на случай, когда Ф — функция, аргумент и значения которой суть соответственно г- и s-валентные тензоры над E при любых целых г, s ³ 0. Разница состоит лишь в том, что условие (7) в этом случае будет иметь следующий вид:

                                                Ф(A^r(T)) = A^s(Ф(T)),    T Î E Ä E Ä . . . Ä E (r раз).                               (7)

Подчеркнем также, что понятие группы симметрии имеет чисто алгебраический характер и условия его применимости не содержат никаких требований о непрерывности или гладкости функции и т. п. Тем не менее, это понятие имеет фундаментальное значение не только с точки зрения алгебры. Большое число примеров, иллюстрирующих этот факт, доставляет физика, в первую очередь теория симметрии строения и свойств материальных тел. Можно привести примеры и иного рода. Однако сначала вернемся к определениям п.2 и рассмотрим несколько простых предложений о группах симметрии тензоров.

4. Пусть T₁ Т₂, ... , Т_р — тензоры одинаковой валентности. Вследствие линейности преобразований, определяемых формулами (2) и (2'), из Т = c₁T₁ + c₂T₂ + . . . + c_pT_p вытекает A^s(T) = c₁A^s(T₁) + c₂A^s(T₂) + . . .  + c_pA^s(T_p). С учетом этого из определения (2) очевидным образом следует, что группа симметрии тензора c₁T₁ + c₂T₂ + . . . + c_pT_p всегда содержит группу G_T(1)∩G_T(2)∩…∩G_T(p)   — пересечение групп симметрии для Т₁ Т₂, ..., Т_р.                                                                                       

В частности, если Т₁ Т₂, ... , Т_р — изотропные тензоры, то и группа симметрии для c₁T₁ + c₂T₂ + . . . + c_pT_p будет совпадать с О(E). Иными словами, любая линейная комбинация изотропных тензоров также является изотропным тензором. Действительно, если G_T(1) = G_T(2) = ... = G_T(p) = O(E) и, следовательно, G_T(1)∩G_T(2)∩…∩G_T(p), to группа симметрии для c₁T₁ + c₂T₂ + . . . + c_pT_p должна одновременно содержать О(E) (на основании только что сформулированного предложения) и содержаться в О(E) (поскольку, по определению, группа симметрии любого Т над E — подгруппа группы О(E)).

Для любого данного Т тензоры (той же валентности), компоненты которых в каком-либо базисе отличаются от компонент тензора Т лишь порядком индексов, обычно называются изомерами последнего. Так, для каждого вектора x = xⁱe_i пространства E — одновалентного тензора над E — множество всех его изомеров содержит лишь один элемент, а именно сам этот вектор х. Для каждого Т Î E Ä E такое множество состоит уже из двух элементов, включая вместе с данным Т тензор Т*, ибо в силу T = t^ije_ie_j имеем T* = t^jie_ie_j = t^ije_je_i (п. 4, 2.1). Другими словами, изомеры любого Т Î E Ä E суть образы этого тензора при тождественном автоморфизме пространства E Ä E и автоморфизме по правилу Т.--> Т*. Аналогичным образом обстоит дело и с тензорами любой валентности: для каж­дого s-валентного Т над E множество всех его изомеров состоит из s тензоров, представляющих собой образы данного Т при определенных автоморфизмах пространства E Ä E Ä . . . Ä E (s – раз).

Очевидно, что всегда, когда равенства (5) выполняются для системы З^s чисел t^{i(1)i(2)…i(s)} компонент данного s-валентного тензора в каком-либо базисе, эти равенства справедливы и для любой системы, получающейся из t^{i(1)i(2)…i(s)} в результате перестановки индексов. Но это значит, что для любого тензора Т над E все его изомеры имеют ту же, что и Т, группу симметрии.

Заметим, далее, что когда А = -I и s — любое нечетное число, e_i(1) × Ae_i(2)  × . . .  ×  e_i(s)A = - e_i(1)e_i(2)…e_i(s) и, следовательно, равенство (4) для ненулевого Т = t^{i(1)i(2)…i(s)}e_i(1)e_i(2)…e_i(s) заведомо выполняться не может. Иными словами, тензор  -I Î О" (E) Ì О (E) («тензор инверсии», см. п. 3 2.6) будет элементом группы G_t для Т нечетной валентности тогда и только тогда, когда Т = 0. Тем самым для Т нечетной валентности G_T = O(E), т. е. группа симметрии совпадает с полной ортогональной группой тогда и только тогда, когда Т=0.

Рассмотрим тензоры четной валентности. При s = 2 из (2') имеем А²(Т) = А²(t^ijе_iе_j) = t^ijе_i × Ae_j × А = А* × Т × А, и потому для двухвалентного Т определение (3) можно записать так:

                                                         A Î G_T Û A* × T × A.

Равенство А* × Т × А = Т означает, в частности, что в результате определяемого тензором А Î О(E) ортогонального преобразования пространства E каждая главная ось тензора Т преобразуется в главную же его ось. Соответственно, если G_T = О(E) и тем самым А* × Т × А = Т при любом А Î О(E), то Т - такой двухвалентный тензор, главные оси которого при любом ортогональном преобразовании преобразуются в главные же его оси. Это возможно только тогда, когда для Т каждое направление в E является главным, т. е. когда Т – “шаровой" тензор: Т = сI.

Пусть теперь s — произвольное положительное четное число и Н — какой-либо s-валентный тензор над E. С помощью метрического тензора тензору Н можно сопоставить систему двухвалентных тензоров (компоненты которых получаются свертыванием компонент тензора Н по s - 2 индексам с компонентами тензора I). Учитывая, что на основании только что доказанного I — изотропный тензор, нетрудно видеть, что группа симметрии каждого из этих двухвалентных тензоров содержит G_H. Поэтому при G_H = O(E) каждый из них также должен быть изотропным тензором и, следовательно, представляет собой шаровой тензор. Но любой такой, получающийся путем свертывания из Н и I, двухвалентный тензор будет шаровым, т. е. с точностью до скалярного множителя совпадающим с I только тогда,   когда   Н — линейная   комбинация   изомеров   тензора II... I (= I Ä I Ä ... Ä I) = g^i(1)i(2)g^i(3)i(4)…g^i(s-1)i(s)e_i(1)e_i(2)…e_s(s).   Обратно, при любом целом г > 0 тензор I^r= II... I — изотропный тензор валентности s = 2r, поэтому изотропным тензором является и любой изомер тензора I² и, следовательно, на основании до­казанного в начале этого пункта, любая линейная комбинация изомеров. Таким образом, любой изотропный тензор четной валентности s = 2r представляется линейной комбинацией изомеров тензора II ... I. В случае s = 2 это возвращает нас к уже известному факту: любой двухвалентный изотропный тензор есть тензор вида cl, с Î R.

Пусть теперь s =4. Тогда любой четырехвалентный тензор - линейная комбинация изомеров тензора II = g^ij'g^kle_ie_je_ke_l. Надо заметить, что вследствие симметрии тензора I среди упомянутых изомеров лишь три линейно независимых, а именно g^iJg^kle_ie_je_ke_l, g^kjg^ile_ie_je_ke_l, g^ikg^Jle_ie_je_ke_l. Поэтому любой изотропный четырехвалентный тензор есть линейная комбинация трех этих тензоров:

                    Н Î E Ä E Ä E Ä E, G_H = O(E) Û H = (c₁g^ijg^kl + c₂g^kjg^il + c₃g^ikg^jle_ie_je_ke_l.                 (9)

Множество всех изомеров тензора III содержит 15 линейно независимых элементов, тензора IIII — 91 и т. д.

5. Подчеркнем, что термин „изотропный тензор" выше всюду понимался в смысле определения, сформулированного в п. 2 и отождествляющего изотропию с инвариантностью относительно любого ортогонального преобразования. Иногда, однако, этот термин трактуется иначе, а именно изотропным называется всякий такой Т над E, который не „чувствует" хотя бы ортогональных преобразований первого рода, т. е. для которого G_T содержит подмножество O'(E) Ì O(E), не обязательно совпадая с О(E)

Для тензоров четной валентности это определение эквивалентно предыдущему. В самом деле, поскольку при любом четном s A^s = (—A)^s, для любого Т четной валентности А Î G_T всегда влечет и  - А Î G_T. Отсюда и из того, что всякий А Î О"(E) представляется в виде А = — I × А_j = — A_j, где А_×j Î О'(E) (п. 3, 2.6), вытекает, что для Т четной валентности О'(E) Ì G_T  всегда влечет О"(E) Ì G_T, а потому и G_T = O(E) = О'(E) U О" (E).

Оба определения равносильны и в применении к однова­лентным тензорам: очевидно, что G_a = O' (E), т. е. вектор а не изменяется при любом повороте пространства E тогда и только тогда, когда совпадает с нулевым вектором и, сле­довательно, когда G_a = О(E). Для более высоких нечетных валентностей дело обстоит по-другому: здесь G_T ⊃ О'(E) не равносильно G_T = O(E) и поэтому не влечет Т = 0.

Действительно, обозначим через Е следующий трехвалентный тензор:

                              Е = е₁е₂е₃ — е₁е₃е₂ + e₂e₃e₁ — е₃е₂е₁ + e₃e₁e₂ — e₂e₁e₃.                         (10)

Можно убедиться (проще всего путем прямых вычислений, с учетом (.10) и формул (2), (2')), что А³(Е) = J₃Е для любого А Î О(E),   где по-прежнему

J₃ = det||Aⁱ_j|| = 1/3 sp (A × A × A) – 1/2 sp (A sp (A × A) + 1/6 (sp A)³.

В соответствии с (3) и определениями (2) 2.6 отсюда следует, что Ge = O'(E). Любой трехвалентный тензор, группа симметрии которого совпадает с О'(E), есть линейная комбинация изомеров тензора Е. Но, как видно из (10), любой из этих изомеров совпадает или с самим тензором Е или с (— 1)Е = —Е. Поэтому Н Î E Ä E Ä E, G_H = O'(E) <=> H = cE, _C Î R.

Можно показать также, что при s = 5 всякий s-валентный тензор, группа симметрии которого совпадает с О'(E), представляется линейной комбинацией изомеров тензора EI (= Е ÄI), при s = 7— тензора ЕII и т. д.