2.6. Автоморфизмы
1. Напомним теперь, что линейное отображение Т:х -> х × Т пространства E в E является обратимым (а вместе с этим свойством в силу конечномерности E — отображением на E) тогда и только тогда, когда для данного Т существует такой тензор Т-1, что Т × Т-1 = Т-1 × Т = I. Для этого в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы Т был невырожденным тензором, т. е. чтобы J3 = l1 l2l3 ¹ 0 (2.2, 3).
Если Т невырожден и а × Т = lа, то а × Т × Т-1 = а = lа × Т-1 и, следовательно, а × Т-1 = a/l. Таким образом, каждый собственный вектор для Т есть собственный вектор и для Т-1 равно как и каждый собственный вектор для Т-1 есть собственный вектор для Т (поскольку (Т-1)-1 = T), т.е. Т и Т-1 всегда соосные тензоры. Если l1, l2, l3 — собственные числа тензора Т, то для Т-1 собственными числами будут 1/l1, 1/l2, 1/l3.
Для любых невырожденных Тu, Tv тензор Тu × Тv также невырожден, ибо (Тu × Tv) × (Tv-1 × Тu-1) = Тu × (Тv × Tv-1) × Tu-1 = Тu × Tu-1 = I, т. е. в силу существования Tu-1, Тv-1 „обратный" тензор существует и для Тu × Тv. Пусть L(E) — подмножество в E Ä E, которое образуют невырожденные тензоры. Как было только что показано, это подмножество устойчиво в отношении композиций Тu × Тv: Tu Î L(E) и Tv Î L(E) всегда влекут и Тu × Тv Î L(E). Закон этих композиций ассоциативен: (Tu × Tv) × Tw, = Tu × (Tv × Tw) (2.1), и тензор I, играющий роль „нейтрального элемента", поскольку T × I = I × T = I, невырожден, т. е. принадлежит подмножеству L (E). Все это вместе взятое означает, что L (E) с этим законом композиции обладает структурой группы. Это видно и из следующих соображений.
Известно, что множество всех линейных и обратимых отображений любого векторного пространства на него же представляет собой группу (с обычной суперпозицией отображений в качестве “группового закона"), которую обычно называют полной линейной группой данного пространства. Но при отождествлении двухвалентных тензоров над E с линейными отображениями E в E подмножество L(E) Ì E Ä E как раз и превращается в базисное множество полной линейной группы пространства E, а групповой ее закон — в закон композиций Tu × Tv (суперпозиция отображений Тu: х ® (х × Тu) и Tv: x ® x × Tv есть отображение по . закону х -> (х × Тu) × Тv = х × (Тu × Тv), т. е. тензор Тu × Тv).
2. В соответствии с определениями 1.3 первой главы для „чисто" векторного (неметризованного) пространства каждый элемент полной линейной его группы есть изоморфизм этого пространства на себя (автоморфизм). Но пространство E — векторное пространство со скалярным умножением векторов, т. е. вместе с законами линейных композиций его структуру определяет метрическая форма. Соответственно, для того чтобы отображение E на E не изменяло структуры пространства, нужно, чтобы вместе с линейными композициями „сохранялись" и скалярные произведения векторов. Иными словами, отображение E на E будет автоморфизмом тогда и только тогда, когда оно линейно (и тем самым представимо в виде Т: х ® х × Т, где T Î L(E)) и когда, кроме того, для любой пары х, у векторов из E скалярное произведение их образов совпадает с х × у: (х × Т) × (у × Т) = х × у, х, у Î E. Отсюда х × (Т × Т* — I) × у = 0 и, поскольку это выполняется для любых х и у, Т × Т* = I, что в свою очередь равносильно Т* = Т-1.
Автоморфизмы, евклидова пространства называются также ортогональными его преобразованиями. Часть множества E Ä E, которой канонически соответствует множество всех ортогональных преобразований пространства E, будем обозначать О(E), произвольный элемент множества О(E) — через А. В соответствии со сказанным выше, для каждого А Î О(E) А × А* = А* × А = I. Нетрудно проверить, что и обратно — при А × А* = I отображение по закону х —> х × А будет ортогональным преобразованием пространства E, т. е. А × А* = I влечет А Î О(E). Таким образом, по определению множества О(E)
А Î О(E)<=>А × А*=А* × А = I<=>А*==А-1. (1)
Отметим следующие важные, свойства тензоров из О(E).
1) Для любых A1 Î О(E) и А2 ÎО(E) будет и A1 × A2 Î O(E); действительно, так как (А1 × А2)* = А2* × А1* при A1 × A1* = I и A2 × A2 = I имеем A1 × A2 × (A1 × A2)* = A1 × A2 × A2* × A1* = A1 × A1* = I;
поэтому подмножество О (У) Ì E Ä E является подгруппой груплы L (E), о которой шла речь в п. 1. 2) Все собственные числа любого А Î О(E) имеют единичный модуль: |lk| = 1, k = 1, 2, 3. В самом деле, для каждого вещественного из этих чисел а × А = А* × а = lkа, а ¹ 0, откуда а × А × А* × а = lk2a × a, а × а = lk2а × а (поскольку А × А* = I) и, следовательно, |lk| = 1. Заметим, кроме того, что, поскольку характеристическое уравнение для А и А* всегда имеет одинаковые коэффициенты (п. 2, 2.3), а согласно (1) А* = А-1, одну и ту же систему чисел эти коэффициенты должны представлять и для А и А-1, С учетом выражения J3 = l1l2l3 и сказанного в п. 1 данного параграфа о собственных числах взаимно обратных тензоров, отсюда l1l2l3 = 1/(l1l2l3) следовательно, |J3| = |l1l2l3I = 1 для каждого А Î О(E). Но для любого тензора Т Î E Ä E собственные числа — корни уравнения (8) 2.3 — или все вещественные, или же вещественно только одно из них, а два остальные суть сопряженные комплексные числа. Если для некоторого А Î О(E) реализуется второй из этих случаев и вещественным является, например, l1, то на основании доказанного |l1| = 1 и, следовательно, l1 = ± 1, в силу этого из l1l2l3l имеем |l2l3|=1 и, поскольку l2 = l3*, |l2| = |l3| = 1, т. е. рассматриваемое предложение справедливо и в этом случае.
Из сказанного вытекает также, что это предложение равносильно следующему: для любого А Î О(E) с точностью до нумерации собственных чисел l1 = 1 или -1, l2 = е-ij = cos j + i sin j, l3 = е-ij (где i = (-1)1/2 и j — некоторое, зависящее от А, вещественное число).
3) Для любого А Î О(E) и любого ортонормированного базиса а,, а2, а3 ортонормированный базис пространства E образуют и векторы а1 × А, а2 × А, а3 × А. Как и определяемое предыдущим предложением, это свойство является характеристическим.
3. Так как на основании сказанного для каждого тензора А Î О{E) скаляр J3 = l1l2l3 имеет значение +1 или -1, подмножество O(E) Ì L(E) Ì E Ä E имеет смысл разбить на части О' (E), О" (E) такие, что
А Î О’(E) Û J3(A) = 1, А Î О’’(E) Û J3(A) = -1. (2)
Ортогональные преобразования пространства E, соответствующие тензорам из О'(E), называются ортогональными преобразованиями первого, а тензорам из О"(E) — второго рода.
Напомним, что для любого Т Î E Ä E вместе с J3 = l1l2l3 имеем J3 = 1/3 sp (Т × Т × Т) — 1/2 sp T sp(Т × Т) + 1/6 (sp T)3. Если воспользоваться смешанными разложениями (4) 2.1, то отсюда J3 = det ||tji|| = det ||tij||. С учетом этого очевидно, что значение коэффициента J3 характеристического уравнения для тензора Tu × Tv всегда равно произведению значений этого коэффициента для тензоров-сомножителей. Отсюда и из (2) вытекают, в частности, следующие важные факты:
а) Аj Î О'(E) и Аw Î О'(E) всегда влекут Аj × Аw Î О'(E); тем самым суперпозиция и любой конечной системы ортогональных преобразований первого рода есть ортогональное преобразование первого рода;
б) для любой конечной системы A1, А2, ..., As тензоров из О(E) произведение А × А × ... × As принадлежит О'(E), если система содержит четное число элементов подмножества О" (E) и А1 × А2 × ... × As Î O’’(E), если это число нечетно.
Так как х × I = х при всяком х Î E, следовательно, все собственные числа метрического тензора равны +1, I Î О'(E), т. е. I: х ® х × I = х — тождественное отображение E на E, является ортогональным преобразованием первого рода. Отсюда, из предложения а) и того очевидного факта, что А Î О' (E) => А* = А-1 Î О' (E), следует, что подмножество O'(E) Ì O(E) есть подгруппа группы, которую образует O(E) Ì L(E), а потому и подгруппа полной линейной группы L(E) пространства E. Подмножество же О" (E) подгруппы не образует, ибо, как вытекает из б), устойчивым («замкнутым») относительно упомянутого умножения не является.
Рассмотрим произвольный A Î О'(E). В соответствии с (2) по крайней мере одно из собственных чисел тензора А равно +1, и поэтому существует такой вектор а, |а| = 1, что а × А = а. Пусть b, с — какие-либо из векторов, с которыми система а, b, с — ортонормированный базис для E. Так как базис а × А, b × А, с × А также должен быть ортонормированным и а × А = а, векторы b × А, с × А представляются линейными комбинациями векторов b, с и это преобразование пары векторов должно сохранять их длины и взаимную ортогональность. Отсюда
b × A = cos jb + sin jс, с × А = cos (j + mp/2)b + sin (j + mp/2)с, m = ±1, ±3, … . (3)
Нетрудно проверить непосредственно, что в (3) содержатся все представления векторов b × А, с × А через b, с, при которых вместе с b × b = c × c= 1, b × c = 0 аналогичные условия выполняются и для пары b × А, с × А.
С другой стороны, поскольку a, b, c Î E - ортонормированный базис, I = аа + bb + ее, и поэтому А = I × А = аа × А +bb × А + cc × A = aa + cos j bb + sin j be + cos (j + mp/2) cb+sin (j + mp/2) cc. Отсюда J3 = 1/3 sp (A × A × A) – 1/2 sp A sp (A × A) + 1/6 (sp A)3 = sin (mp/2) и, так как должно быть J3 = 1 (ибо A Î O'(E)), с точностью до несущественного слагаемого, m = 1 или m = -3. В силу равенства а × А = а направление в E, определяемое ортом а, не изменяется в результате преобразования А: х -> х × А, х Î E. Выражениям же (3) при m = 1 или m = -3 соответствует поворот ортогональной к а плоскости как твердого целого на угол j возле оси с ортом а. Но это означает, что на угол j возле этой оси поворачивается как целое само пространство E. Если условиться о «правиле знаков», то из двух указанных значений m допустимым будет лишь одно — первое, если считать углы поворота положительными тогда, когда поворот происходит против часовой стрелки при взгляде вдоль оси со стороны конца к началу орта оси. Тогда
а × А = а, b × A = cos j b + sin j c, с × А = — sin j b -|- cos j с (4)
и с помощью, по-прежнему, тождества А = аа × А + bb × А + сс × А
А = аа -f (bb + cc) cos j + (bc — cb) sin j, A Î О'(E). (5)
Подчеркнем, что речь шла о произвольном тензоре из О' (E). Поэтому можно утверждать, что для всякого А Î O’(E) найдутся такие, зависящие от А, орт а и число j, что в результате преобразования А: х —> х × А, х Î E, пространство E поворачивается как целое на угол j возле оси с ортом а. Пользуясь (5) и выражениями (4) 2.3, нетрудно проверить, что с точностью до слагаемого, кратного 2p, значение этого угла совпадает с числом j, которое фигурирует во второй формулировке предложения 2) п. 2, т. е. с которым корнями характеристического уравнения для А служат числа 1, еij, е-ij.
При j = 0 из (5) А = I. Так как для I все собственные числа равны +1, для тензора -I = ( — 1)I, очевидно, все эти числа равны -1. Поэтому –I Î О"(E) и отображение -I: х -> -х, х Î E, называемое обычно инверсией пространства E, есть ортогональное преобразование второго рода.
Пусть теперь А обозначает произвольный элемент множества О’’(E) Ì О(E). В силу (2) и предложения 2) п. 2 для каждого A Î O’’(E) по крайней мере одно из собственных чисел равно —1, и потому существует такой а, | а | = 1, что а × А = -а. Для тензора А1 = —А отсюда а × А1 = а, а на основании предложения б), доказанного в начале данного параграфа, А Î О"(E) и –I Î О"(E) влекут А1 = - I × А Î О' (E). Но в силу этого, на основании изложенного, преобразованию А1: x -> x × A1 должен соответствовать поворот пространства E возле направления с ортом а, поэтому при любых b, с, с которыми система а, b, с представляет собой ортонормированный базис для E, А1 = — А = аа + (bb-f-се) cos ^ -f- (be — cb) sin ty, откуда, если <|> + it обозначить через ср,
A = aa + (bb + cc) cos f + (bc — cb) sin f, A Î O"(E). (6)
При j = p согласно (6) A= —I. Пусть, далее, Аа —тензор, определяемый равенством (6) при j = 0:
Аа = —aa + bb + cc. (7)
Учитывая, что а, b, с Î E — ортонормированный базис, для каждого х Î E имеем x = (x × a)a + (x × b)b + (x × c)c, откуда и из (7) х × Аа= — (х × а)a + (x × b)b + (х × с)с. Отсюда следует, что преобразование Аа: х -> х × Аа оставляет неизменной плоскость, ортом нормали к которой служит а, а каждый ортогональный к этой плоскости вектор х преобразует в вектор —х (зеркальное отражение пространства E в упомянутой плоскости). Напомним, что I = aa + bb + cc. Отсюда и из (7)
Aa = —2аа + 1. (8) Это выражение подчеркивает тот факт, что заданием направления в E вполне определяется и зеркальное отражение пространства E в плоскости, ортогональной данному направлению. С другой стороны, из (6) и (8)
А = (аа + (bb + cc) cos j + (bc — cb) sin j) × Aa, A Î O" (E). (9)
Таким образом, любое ортогональное преобразование второго рода можно рассматривать как суперпозицию поворота пространства E и зеркального отражения в плоскости, ортогональной оси поворота. Выражению (6) равносильно также следующее:
A = - I × (aa + (bb + cc) cos (j + p) (bc – cb) sin (j + p)). (10)
Поэтому любое ортогональное преобразование второго рода можно рассматривать и как суперпозицию инверсии с поворотом пространства, причем согласно (9) и (10) — с поворотом возле той же для данного A Î O’’(E) оси, что и в предыдущем случае, но на другой угол. Отметим также, что сомножители в правой части каждого из представлений (8) и (9) можно поменять местами (в то время как для произвольных A, Ah Î O(E) A × Ah ¹ Ah × A).
С помощью предложений, доказанных ранее, к этим фактам можно было бы добавить и некоторые другие важные выводы о суперпозиции ортогональных преобразований. Пусть например, у, z — какие-либо ненулевые векторы из E, Ау и Az— тензоры соответствующих зеркальных отражений пространства E: Ау = -2 yy/|y|2 - I, Аz = -2zz/|z|2 + I (зеркальных отражений
в плоскостях, ортогональных соответственно к у и z). На основании уже упоминавшегося предложения б) п. 3 Аw Î О"(E) и Ah Î O"(E) всегда влекут Аw × Аh Î О'(E), и потому Ay × Az Î O'(E). Иными словами, любые два последовательно выполненные зеркальные отражения равносильны некоторому ортогональному преобразованию первого рода и тем самым — повороту пространства E возле некоторой оси. Очевидно, что этой осью будет пересечение плоскостей отражения. С учетом этого можно показать, что для любого А Î О'(E) найдутся такие у, z, что A = Ayw × Az, т. е. что любой поворот пространства E можно представить в виде суперпозиции двух зеркальных отражений. Отсюда и из доказанного выше следует в свою очередь, что любое ортогональное преобразование второго рода лредставимо суперпозицией трех зеркальных отражений, в то время как суперпозиция любых четырех отражений на основании предложения б) п. 3 снова дает нам элемент из О'(E) и т. д.
4. Подведем итог сказанному выше об автоморфизмах пространства E. Так как E - векторное пространство со скалярным произведением векторов, автоморфизмом этого пространства будет не всякое линейное его отображение на себя: невырожденное линейное отображение А: х -> хw × А, х Î E,— автоморфизм пространства E тогда и только тогда, когда тензор А Î E Ä E удовлетворяет условиям (1), т. е. принадлежит подмножеству О(E) Ì L(E) Ì E Ä E. Множество всех автоморфизмов образует подгруппу полной линейной группы пространства E, называемую (полной) ортогональной его группой.
Условиями (2) множество О (E) в свою очередь разбивается на части О'(E), O’’(E). Для каждого тензора А Î О(E) существуют такие единичный вектор а и число j Î R, что
1) если А Î О'(E), то корнями характеристического уравнения для А являются 1, eij, e-ij а с присоединением к а любых b, с, с которыми система а, b, с — ортонормированный базис пространства E, тензор А представляется разложением {5); с геометрической точки зрения последнее означает, что в результате преобразования А: х -> х × А пространство E поворачивается как целое на угол j возле направления с ортом а;
2) если А Î O’’(E), то корнями его характеристического уравнения будут -1, eij, e-ij, а вместо (5) имеет место представление (6), при котором преобразование пространства E по правилу х -> х × А сводится к повороту на угол j возле оси с ортом а и зеркальному отражению (до или после поворота, безразлично) в плоскости, ортогональной этой оси (или, если угодно, — к инверсии пространства и повороту на угол j + p возле этой же оси).
Подчеркнем, что поворот в каждом случае происходит так, как будто пространство представляет собой абсолютно твердое тело, ибо, сохраняя скалярные произведения векторов, автоморфизмы (ортогональные преобразования) евклидова пространства оставляют неизменными и длины векторов (расстояния между точками). Поэтому теория автоморфизмов пространства E заключает в себе, в частности, и все то, из чего складывается теория конечных поворотов в кинематике абсолютно твердого тела. Надо заметить, что в рамках описанного подхода, при котором тензоры не арифметизируются обычным образом, т. е. не отождествляются с их образами при координатных представлениях пространства E Ä E, решения всех основных, задач теории конечных поворотов твердого тела сводятся к почти что чисто алгоритмическому использованию предложения а) п. 3.